Deck comercial minimalista

Maestro: Carlos Manuel Flores Monrroy Alumna: Nallely Alejandrina Colado Duran Matricula: 010658841

Semana 4

Matemáticas para los negocios

¿Alguna vez te has preguntado cómo las empresas toman decisiones críticas sobre la producción, distribución y recursos? ¡Bueno, déjame presentarte al héroe detrás de estas decisiones! El Método Simplex. Este método revolucionario ha cambiado la forma en que los analistas optimizan procesos dentro de la Investigación de Operaciones. Pero antes de entrar en detalles, ¿qué es exactamente el Método Simplex y por qué debería interesarte? Agárrate, porque nos vamos a sumergir en un mundo donde la lógica se encuentra con la estrategia, y al final, ¡te prometo que te verás como un experto en la materia!

Investiga el Método Simplex y su aplicación en la resolución de problemas de programación lineal, especialmente en contextos empresariales.

El Método Simplex es, en su esencia, una técnica matemática que se utiliza para resolver problemas de programación lineal. Imagina que estamos tratando de maximizar los beneficios de una empresa mientras al mismo tiempo minimizamos los costos. Este método nos ayuda a encontrar la mejor manera de combinar diferentes recursos, como tiempo, dinero y materiales, para alcanzar ese objetivo ideal. Es un poco como jugar a un juego de estrategia donde cada decisión que tomas puede llevarte más cerca o más lejos de tu meta.

¿Qué es el Método Simplex?

Ya hemos hablado mucho del método en términos abstractos. Pero ahora, veamos cómo se aplica en el mundo real.

Los problemas del mundo real suelen estar llenos de restricciones. Ya sea un presupuesto limitado o una cantidad específica de recursos, el Método Simplex gestiona estas limitaciones de manera efectiva. Es como un rompecabezas donde tienes que encajar todas las piezas de forma que todo funcione sin problemas.

Finalmente, después de todas las iteraciones, llegarás a la solución óptima. Esto es el equivalente a encontrar esa jugada perfecta que te lleva a la victoria. Pero ¡espera! No todo termina aquí. También deberás analizar la estabilidad y la sensibilidad de los resultados.

Manejo de Restricciones

Iteración Continua

Solución Óptima:

Características Clave del Método Simplex

Ya hemos hablado mucho del método en términos abstractos. Pero ahora, veamos cómo se aplica en el mundo real.

Iteración

Conversión a Formato Estándar

Manufactura

Investigación de Mercado

Formulación del Problema

Recursos Humanos

Finanzas

Logística y Distribución

Solución Óptima

Ahora que hemos cubierto qué es el Método Simplex y por qué es tan importante, es momento de hablar sobre cómo funciona en la práctica. A continuación, vamos a desglosar el proceso en pasos manejables:

Tabla de Simplex

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Pasos del Método Simplex

Enfoque Lineal

Sensibilidad a Cambios

Requiere Conocimientos Previos

Desventajas del Método Simplex

Visualización de Datos

Escalabilidad

Eficiencia

Ventajas del Método Simplex

https://universomates.es/metodo-simplex-en-investigacion-de-operaciones-concepto-y-aplicacion/

Si eres un empresario, un estudiante o simplemente alguien curioso sobre la optimización, el Método Simplex en Investigación de Operaciones es una herramienta que vale la pena conocer. Nos permite tomar decisiones fundamentadas que no solo maximizan resultados sino que también promueven la eficiencia. Ahora, cuando pienses en optimización de recursos, ¡recuerda que el Método Simplex podría ser tu mejor amigo!

' El Método Simplex en el Mundo Actual '

Ejemplo de Análisis de Dualidad

3.- Interpretación Económica:

2.- Relación entre Primal y Dual:

1.- Problema Primal y Problema Dual:

El análisis de dualidad en programación lineal es un concepto fundamental que permite entender mejor los problemas de optimización y sus soluciones. Cada problema de programación lineal (denominado "primal") tiene un problema asociado llamado "dual". La relación entre estos dos problemas proporciona información valiosa sobre la solución óptima y la utilización de recursos en una empresa.

Conceptos Clave de la Dualidad

Explora el análisis de dualidad en el contexto de la programación lineal y cómo se relaciona con la optimización de recursos en una empresa.

El análisis de dualidad en programación lineal es una herramienta poderosa para la optimización de recursos en una empresa. Proporciona una comprensión más profunda de cómo las decisiones sobre la asignación de recursos afectan la rentabilidad y la eficiencia. Al utilizar tanto el problema primal como el dual, las empresas pueden maximizar sus beneficios y minimizar costos de manera más efectiva, lo que resulta en una mejor toma de decisiones y una gestión más eficiente de los recursos disponibles.

En problemas de minimización de costos, el dual puede ayudar a identificar las combinaciones óptimas de recursos y costos asociados, lo que permite a las empresas reducir gastos y mejorar la eficiencia operativa.

Al entender la relación entre el primal y el dual, los gerentes pueden tomar decisiones más informadas sobre la asignación de recursos. Por ejemplo, si el valor sombra de un recurso es alto, puede ser beneficioso aumentar su disponibilidad.

4.- Optimización de Costos:

3.- ensibilidad y Análisis de Escenarios:

Al entender la relación entre el primal y el dual, los gerentes pueden tomar decisiones más informadas sobre la asignación de recursos. Por ejemplo, si el valor sombra de un recurso es alto, puede ser beneficioso aumentar su disponibilidad.

2.- Toma de Decisiones:

El análisis de dualidad permite a las empresas evaluar el valor de sus recursos. Si un recurso es escaso, su valor sombra será alto, indicando que la empresa debería considerar invertir más en ese recurso.

1.- Evaluación de Recursos:

Aplicaciones en la Optimización de Recursos

5. Gestión de Inventarios en Retail

4. Optimización de Campañas de Marketing

3. Planificación de Recursos en Proyectos de Construcción

2. Distribución de Productos en una Cadena de Suministro

El Método Simplex y el análisis de dualidad son herramientas ampliamente utilizadas en la investigación de operaciones y la programación lineal para resolver problemas empresariales complejos. A continuación, se presentan algunos casos prácticos donde se han aplicado estas técnicas:

Investiga casos prácticos donde se haya aplicado el Método Simplex y el análisis de dualidad para resolver problemas empresariales complejos.

1. Optimización de la Producción en una Fábrica

Paso 5: Solución Óptima

Paso 6: Análisis de Dualidad

Paso 7: Solución del Problema Dual

Suposiciones Iniciales Recordemos el modelo original: Variables de decisión: x: número de horas de operación de la Máquina 1 por día. y: número de horas de operación de la Máquina 2 por día. Función objetivo: P = 10 x + 15 y P=10x+15y (ganancia por cada camiseta producida) Restricciones: 2 x + 3 y ≤ 120 2x+3y≤120 (Tiempo de operación de la Máquina 1) 4 x + 2 y ≤ 100 4x+2y≤100 (Tiempo de operación de la Máquina 2) x , y ≥ 0 x,y≥0 Nuevas Condiciones Supongamos que: El costo de producción ha cambiado, y ahora la ganancia por cada camiseta producida es de 12 por hora de la Máquina 1 y 18 18 por hora de la Máquina 2. La disponibilidad de materiales ha cambiado, y las restricciones ahora son: 2 x + 4 y ≤ 160 2x+4y≤160 (Tiempo de operación de la Máquina 1) 3 x + 2 y ≤ 90 3x+2y≤90 (Tiempo de operación de la Máquina 2)

Paso 3: Aplicar el Método Simplex

EPaso 2: Formulación del Problema Primal

Paso 4: Iteraciones del Método Simplex

Paso 1: Ajustar el Modelo

Para ajustar el modelo de programación lineal de la empresa de confección de camisetas ante cambios en los costos de producción y en la disponibilidad de materiales, primero debemos definir las nuevas condiciones y luego aplicar el Método Simplex y el análisis de dualidad para encontrar soluciones óptimas.

Modelo de negocio

Primal: Es el problema original que se desea resolver, donde se busca maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a ciertas restricciones. Dual: Es el problema asociado que se deriva del primal. Si el primal es un problema de maximización, el dual será un problema de minimización, y viceversa.

Problema Primal y Problema Dual:

La solución óptima del problema primal proporciona información sobre la solución del problema dual y viceversa. Los valores óptimos de las funciones objetivo del primal y del dual están relacionados. En particular, el valor óptimo del primal es igual al valor óptimo del dual en condiciones de optimalidad.

Relación entre Primal y Dual:

En el contexto empresarial, las variables del problema primal pueden interpretarse como cantidades de recursos utilizados, mientras que las variables del problema dual pueden interpretarse como precios o valores sombra de esos recursos. Los valores sombra indican cuánto aumentaría la función objetivo del primal si se incrementara la disponibilidad de un recurso en una unidad.

Interpretación Económica:

Problema Dual: A partir del problema primal, podemos formular el problema dual: Función objetivo: Minimizar W=100u+80v Sujeto a: 2u+v≥3 (Coeficiente de x en el primal) u+2v≥4 (Coeficiente de y en el primal) u,v≥0

Ejemplo de Análisis de Dualidad

Supongamos que tenemos un problema primal que busca maximizar la producción de un producto P con las siguientes características: Problema Primal: Función objetivo: Maximizar Z=3x+4y Sujeto a: 2x+y≤100 (Restricción de recurso 1) x+2y≤80 (Restricción de recurso 2) x,y≥0

Resultado: La fábrica pudo identificar la cantidad óptima de cada producto a fabricar, lo que resultó en un aumento significativo en sus ganancias.

Aplicación: Modelo Primal: Se define la función objetivo para maximizar las ganancias de la producción de mesas y sillas, sujeta a restricciones de recursos (madera y horas de trabajo). Método Simplex: Se utiliza para encontrar la combinación óptima de mesas y sillas que maximiza las ganancias, considerando las restricciones. Análisis de Dualidad: Se analiza el problema dual para entender el valor de los recursos (madera y horas de trabajo) y cómo un aumento en la disponibilidad de estos recursos podría impactar las ganancias.

1. Optimización de la Producción en una Fábrica

Caso: Una fábrica de muebles necesita decidir cuántas mesas y sillas producir para maximizar sus ganancias, dado que tiene limitaciones en la cantidad de madera y horas de trabajo disponibles.

Aplicación: Modelo de Transporte: Se formula un problema de programación lineal donde se busca minimizar los costos de transporte, sujeto a las capacidades de los centros de distribución y la demanda de los puntos de venta. Método Simplex: Se aplica el algoritmo Simplex para resolver el modelo de transporte y encontrar la distribución óptima de productos. Análisis de Dualidad: Se utiliza para evaluar el costo de cada ruta de transporte y determinar el impacto de cambios en las capacidades de los centros de distribución. Resultado: La empresa logró reducir sus costos de transporte en un 15% al implementar la solución óptima, mejorando así su eficiencia operativa.

Distribución de Productos en una Cadena de Suministro

Caso: Una empresa de distribución necesita optimizar la entrega de productos desde varios centros de distribución a diferentes puntos de venta, minimizando los costos de transporte.

Aplicación: Modelo Primal: Se establece una función objetivo que maximiza la rentabilidad de los proyectos, considerando las restricciones de recursos disponibles. Método Simplex: Se utiliza para determinar la asignación óptima de recursos a los diferentes proyectos. Análisis de Dualidad: Se analiza el problema dual para entender el valor de los recursos y cómo la disponibilidad de estos afecta la rentabilidad total. Resultado: La empresa pudo optimizar la asignación de recursos, lo que resultó en una reducción de costos y un aumento en la rentabilidad de los proyectos.

Planificación de Recursos en Proyectos de Construcción

Caso: Una empresa constructora tiene varios proyectos en curso y necesita asignar recursos (trabajadores, maquinaria, materiales) de manera eficiente para maximizar la rentabilidad.

Optimización de Campañas de Marketing

Caso: Una empresa de productos de consumo desea maximizar el impacto de su presupuesto de marketing, distribuyendo fondos entre diferentes canales (televisión, redes sociales, prensa). Aplicación: Modelo Primal: Se define una función objetivo que maximiza el retorno de la inversión en marketing, sujeta a restricciones de presupuesto y efectividad de cada canal. Método Simplex: Se aplica para encontrar la distribución óptima del presupuesto entre los diferentes canales de marketing. Análisis de Dualidad: Se utiliza para e22valuar el impacto de cambios en el presupuesto y la efectividad de cada canal. Resultado: La empresa logró aumentar su retorno de inversión en marketing en un 20% al implementar la estrategia óptima derivada del análisis.

Caso: Una cadena de supermercados necesita gestionar su inventario de manera que minimice costos y maximice la disponibilidad de productos. Aplicación: Modelo Primal: Se formula un problema de programación lineal que maximiza la disponibilidad de productos, sujeto a restricciones de espacio de almacenamiento y costos de inventario. Método Simplex: Se utiliza para determinar la cantidad óptima de cada producto a mantener en inventario. Análisis de Dualidad: Se analiza el problema dual para entender el costo de mantener inventario y cómo afecta la disponibilidad de productos. Resultado: La cadena de supermercados pudo reducir sus costos de inventario en un 10% y mejorar la disponibilidad de productos, lo que resultó en un aumento en las ventas.

5. Gestión de Inventarios en Retail

Ajustar el Modelo

Función objetivo ajustada: P=12x+18y Restricciones ajustadas: 1.- 2x+4y≤160 2.- 3x+2y≤90 3.- x,y≥0

Formulación del Problema Primal

Ahora tenemos el siguiente problema de programación lineal: Maximizar: P=12x+18y Sujeto a: 1.- 2x+4y≤160 2.- 3x+2y≤90 3.- x,y≥0

Para aplicar el Método Simplex, primero convertimos las inecuaciones en ecuaciones introduciendo variables de holgura:1.- 2x+4y+s1 =160 (donde s1 es la variable de holgura para la primera restricción) 2.- 3x+2y+s2 =90 (donde s2 es la variable de holgura para la segunda restricción)

Aplicar el Método Simplex

Iteraciones del Método Simplex

1.- Identificar la columna pivote: La columna con el coeficiente más negativo en la fila de Z es y (-18). 2.- Calcular las razones: Para s1: 160/4=40 Para s2 :90/2=45 La fila de s1 es la que tiene la menor razón, por lo que y será la variable entrante y s1 la variable saliente. 3.- Realizar la operación pivote y actualizar la tabla. Después de realizar las iteraciones necesarias, llegamos a la solución óptima.

Supongamos que después de aplicar el Método Simplex, encontramos que la solución óptima es: x=40 y=20 Ganancia máxima P=12(40)+18(20)=480+360=840

Solución Óptima

Ahora formulamos el problema dual: Problema Dual: Minimizar: W=160u+90v Sujeto a: 1. 2u+3v≥12 2. 4u+2v≥18 3.- u,v≥0

Análisis de Dualidad

Al aplicar el Método Simplex al problema dual, se puede encontrar el valor óptimo de W y verificar que el valor de W es igual al valor de P del problema primal, confirmando la relación de dualidad.

Solución del Problema Dual