FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN

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La factorización de polinomios es convertir un polinomio en un producto de polinomios irreducibles.

Polinomios irreducibles

Si un polinomio tiene una raíz x1 se puede factorizar en:

Si el polinomio factor resultante Q(x) tiene, a su vez, otra raíz x2 se puede seguir factorizando:

En general, un polinomio de grado n, con n raíces, se puede factorizar así:

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1. Factor común

2. Factorizar por grupos

3. Trinomio cuadrado perfecto

4. Factorizar un trinomio

5. Trinomios de la forma x² +ab +(a + b)x

6. Diferencia de cuadrados

7. Suma y diferencia de cubos

8. Diferencia de potencias de grado par

9. Cuatrimonio cubo perfecto

10. Si el polinomio es de grado superior a 2

11. Polinomios irreducibles

1. Factor común

Existe una expresión algebraica, con parte literal o no, tal que, es factor común en cada término del polinomio, (Especialmente, si no hay término independiente):

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2. Factorizar por grupos

Un polinomio que se pueda dividir en grupos de igual número de monomios, en los que, al factorizarlos, se obtenga un polinomio repetido en todos los grupos. Y este polinomio repetido, a su vez, será factor común. Se habrá sacado factor común dos veces.

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Trinomio cuadrado perfecto

3.

Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de desarrollar un binomio al cuadrado. Este es un caso de producto notable.

4. Factorizar un trinomio

Sumar y restar.

Para un trinomios de cuarto grado:

Es una diferencia de cuadrados que se factoriza por suma por diferencia:

La diferencia es: 4x².

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5. Trinomios de la forma x² +ab +(a + b)x

Los trinomios de forma x² +ab +(a + b)x se factorizan así:

6. Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados es otro caso de producto notable.

Un binomio que sea diferencia de dos monomios al cuadrado es igual al producto del binomio suma de las bases por el binomio resta de las bases:

Suma de cubos

7. Suma y diferencia de cubos

resta de cubos

Diferencia de potencias de cuarto grado

8. Diferencia de potencias de grado par

Factorizando

Se puede factorizar polinomios tanto con la suma como con la resta de las bases:

La suma de potencias de grado par no es factorizable, pero sí la diferencia. En este segundo caso se puede dividir tanto por la suma como por la diferencia de las bases de los monomios potencia:

con la suma de las bases:

con la resta de las bases:

9. Cuatrimonio cubo perfecto

El cuatrinomio cubo perfecto se factoriza, ya que es la operación inversa al cubo de un binomio:

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10. Si el polinomio es de grado superior a 2

• Cuando el polinomio es de grado superior a 2 y sus raíces son enteras, se puede factorizar mediante el teorema del resto y la regla de Ruffini.

• El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x) / (x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

• Una consecuencia del teorema del resto es el teorema del factor: Un polinomio P(x) es divisible por (x – a), si, y solo si, el resultado de reemplazar en P(x), x por a, resulta P(a) = 0. El resto de la división será nulo.

• Las raíces obtenidas son divisores del término independiente del polinomio (el término que no tiene x).

• La regla de Ruffini (o división sintética), es un buen instrumento para aplicar el teorema del resto, cuando existe alguna raíz a entera.

11. Polinomios irreducibles

Un polinomio irreducible o polinomio primo es aquel que no puede descomponerse en factores. No tiene raíces enteras.

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