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15 de mayo de 2024

José María Vázquez de la Torre Prieto

Centro del Profesorado de Castilleja de la Cuesta

Foro Andaluz para el impulso del razonamiento matemático

El razonamiento matemático a través de la resolución de problemas

El laboratorio de Matemáticas

"La didáctica moderna no concibe ya la clase como una sala de conferencias sino como un taller de trabajo: ya la palabra maestro se va pareciendo cada vez más a la de maestro de taller y cada vez menos a la de conferenciante". (P.Puig Adam, 1956)

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EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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¿Cuál es el intruso?

De manera general, entendemos por razonar la acción de ordenar ideas en la mente para llegar a una conclusión.

EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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Razonar en matemáticas tiene que ver con: - Dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones. - Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.

EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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- Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos. - Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente.- Utilizar argumentos propios para exponer ideas.

EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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Para favorecer el razonamiento debemos: - Propiciar una atmósfera que estimule a los estudiantes a explorar, comprobar y aplicar ideas. - Crear en el aula un ambiente que sitúe el pensamiento crítico en el mismo centro del proceso docente.

EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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EJEMPLOS

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¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez?

EJEMPLOS

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Total: 1 + 4 + 9 = 1 + 22 + 32 = 14

3x3:1 cuadrado 3x3, 4 cuadrados 2x2 y 9 cuadrados 1x1.

Total: 1 + 4 = 1+22 = 5

Total: 1

2x2:1 cuadrado 2x2 y 4 cuadrados 1x1.

1x1: 1 cuadrado

¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez?

EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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Un cuadrado 8 x 8

TOTAL1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 =1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 204

¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez?

EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

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LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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"... un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello.” (George Polya, prefacio a la primera edición en inglés de How to solve it. Princeton University Press. 1945)

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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En Educación Infantil los niños y niñas están en una fase fundamental para adquirir habilidades y conocimientos que sentarán las bases de su futuro aprendizaje.La resolución de problemas promueve un aprendizaje activo, significativo y contextualizado, que favorece el desarrollo integral de los niños y niñas.Además se trabajan diferentes áreas del conocimiento fomentando la interdisciplinariedad y la conexión entre diferentes áreas del aprendizaje, lo que promueve una comprensión más profunda y coherente del mundo que les rodea.

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EDUCACIÓN INFANTIL

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La resolución de problemas promueve habilidades sociales y emocionales, siendo una herramienta muy útil para atender a la diversidad respetando los diferentes tiempos de cada alumno.Se puede comenzar planteando problemas sencillos, teniendo en cuenta realidades cercanas al alumnado, y utilizar materiales manipulativos , ya que éstos enriquecen la experiencia de aprendizaje, al poder experimentar con formas, cantidades, medidas y patrones.

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EDUCACIÓN INFANTIL

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En estos primeros años, la resolución de problemas debería referirse a una variedad de contextos.1. ¿Cuántos días faltan para las vacaciones?2. Hay 43 tarjetas en este grupo, ¿cuántos paquetes de 10 tarjetas podemos hacer?3. Si nuestra clase tiene 15 alumnas y hoy han venido 10 alumnas, ¿cuántas han faltado a clase?

EJEMPLOS

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Muchos problemas deben referirse a la clasificación, la forma o el espacio. 1. ¿Cuántos bloques caben en esta estantería?2. ¿En qué se parecen estas figuras y en qué se diferencian?

EJEMPLOS

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“La resolución de problemas es la espina dorsal de la enseñanza de las matemáticas desde la época del papiro de Rhind”George Polya, 1986

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA Y SECUNDARIA

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La resolución de problemas debe estar presente en la enseñanza de las Matemáticas y para ello el docente necesita ser consciente de lo que conlleva hacer resolución de problemas en el aula, es decir, debe tener claro qué puede conseguir, cuál es su finalidad y algunos elementos propios del proceso como estrategias y heurísticos que pueden ayudar al alumnado a progresar como resolutor.

¿QUÉ ENTENDEMOS POR RESOLVER UN PROBLEMA?

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*Informe Cockcroft. Las matemáticas si cuentan. Edición española en Estudios de Educación. Ministerio de Educación y Ciencia. Madrid 1985.

“La enseñanza de las matemáticas en todos los niveles debería incluir:- Exposición por parte del profesor.- Discusión entre el profesor y los alumnos y entre los propios alumnos.- Trabajo práctico apropiado.- Consolidación y práctica de las destrezas y rutinas básicas.- Resolución de problemas, incluyendo la aplicación de las matemáticas a situaciones de la vida cotidiana.- Trabajo de investigación.”

Ya en 1985, en el informe Cockcroft* sobre la educación matemática, en el párrafo 243 aparece lo siguiente:

¿QUÉ ENTENDEMOS POR RESOLVER UN PROBLEMA?

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*Juan Emilio García Jiménez. Material curso Resolución de problemas.

*RESOLVER UN PROBLEMA

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Es como entrar en una mansión en la oscuridad. Entras a una habitación y durante meses, incluso años, caminas a tumbas, rebotando contra los muebles. Lentamente aprendes donde está cada mueble y buscas el botón de la luz. La enciendes y todo el cuarto está iluminado. Entras despacio en la habitación siguiente y continúas el proceso.(Andrew Wiles)

RESOLVER UN PROBLEMA

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¿QUÉ ES UN PROBLEMA MATEMÁTICO?

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PAPEL DEL DOCENTE

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- Lee el problema. Trata de entenderlo bien.

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- Escribe lo que vayas haciendo.

- Lee el problema. Trata de entenderlo bien.

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- Trabaja sistemáticamente. - Busca y utiliza regularidades.

- Escribe lo que vayas haciendo.

- Lee el problema. Trata de entenderlo bien.

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- Usa el “ensayo y error”.

- Trabaja sistemáticamente. - Busca y utiliza regularidades.

- Escribe lo que vayas haciendo.

- Lee el problema. Trata de entenderlo bien.

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- Utiliza un buen sistema de registro.

- Usa el “ensayo y error”.

- Trabaja sistemáticamente. - Busca y utiliza regularidades.

- Escribe lo que vayas haciendo.

- Lee el problema. Trata de entenderlo bien.

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- Explica lo que has hecho.

- Utiliza un buen sistema de registro.

- Usa el “ensayo y error”.

- Trabaja sistemáticamente. - Busca y utiliza regularidades.

- Escribe lo que vayas haciendo.

- Lee el problema. Trata de entenderlo bien.

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- Comprueba tu trabajo.

- Explica lo que has hecho.

- Utiliza un buen sistema de registro.

- Usa el “ensayo y error”.

- Trabaja sistemáticamente. - Busca y utiliza regularidades.

- Escribe lo que vayas haciendo.

- Lee el problema. Trata de entenderlo bien.

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- Generaliza la resolución del problema.

- Comprueba tu trabajo.

- Explica lo que has hecho.

- Utiliza un buen sistema de registro.

- Usa el “ensayo y error”.

- Trabaja sistemáticamente. - Busca y utiliza regularidades.

- Escribe lo que vayas haciendo.

- Lee el problema. Trata de entenderlo bien.

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Fases en la resolución de problemas

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No es difícil encontrar estudios sobre estrategias que ayudan al alumno cuando éste tiene que enfrentarse a un problema matemático.Desde Polya en 1982, hasta Brandsford y Stein en 1993, pasando por Mason, Burton y Stacey en 1988. Las fases de estas estrategias nos pueden dar indicaciones sobre como abordar un problema.

Proceso para resolver un problema

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Proceso para resolver un problema

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Proceso para resolver un problema

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Proceso para resolver un problema

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Proceso para resolver un problema

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*Mª Luz Callejo. UNO: revista de didáctica de las matemáticas

*Sin embargo, investigaciones realizadas en diferentes lugares del mundo acerca de la resolución de problemas realistas han puesto de manifiesto un fenómeno conocido como «suspensión del sentido común» que muestra una cierta atrofia del proceso anterior, sobre todo en la primera y en la última fase, pues la actividad de los estudiantes se reduce con frecuencia a la selección y realización de una o varias operaciones aritméticas o algoritmos utilizando los datos del enunciado, sin considerar las características y limitaciones de la situación real ni valorar si la solución tiene sentido (Verschaffel, Greer y De Corte, 2002).

Proceso para resolver un problema

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Suspensión del sentido común

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1. Ana invitó a 5 chicas y 3 chicos a su fiesta de cumpleaños. ¿Cuántos años cumplía?2. Cada día María guarda dinero en su hucha de cerdito y apunta cuánto tiene en ella. El lunes tenía 3 euros en su hucha de cerdito. El martes tenía 4 euros en ella. El miércoles tenía 8 euros en su hucha de cerdito. ¿Cuánto dinero acumuló?3. Un granjero tenía 12 cerdos. Fue al mercado y vendió 8 gallinas. ¿Cuántos cerdos le quedan?4. Isabel va a una escuela. Elena va a una escuela. Marcos va a una escuela. ¿A cuántas escuelas van?

Redactar enunciados que tengan datos discutibles o absurdos para fomentar el espíritu crítico

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*Importancia de la cultura social de la clase de matemáticas

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*Importancia de la cultura social de la clase de matemáticas

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- Proponer verdaderos «problemas» para que los estudiantes exploren, analicen y busquen estrategias de resolución.- Representados de diversos modos, por medio de una situación, un dibujo, un enunciado, etc.- Podrán faltar o sobrar datos, y el número de soluciones podrá ser cero, una o varias.

*La naturaleza de las tareas matemáticas propuestas a los estudiantes

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- El docente debe seleccionar y proponer secuencias de problemas adecuados, proporcionar información cuando sea necesario y facilitar un ambiente en la clase para que el alumnado pueda trabajar individualmente y en interacción con otros, discutir y reflexionar.

* El papel del docente

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- Las ideas expuestas por cualquier estudiante merecen respeto y respuesta y han de ser el motor de la clase.- Se ha de potenciar la autonomía de los estudiantes en la búsqueda de diferentes estrategias de resolución y considerar los errores como situaciones de aprendizaje.

* La cultura social del aula

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Además del uso de material auténtico, se han de potenciar los distintos sistemas de representación: lenguaje oral, gráfico, simbólico, etc.

*Los recursos matemáticos como soporte del aprendizaje

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Los problemas propuestos deben ser accesibles a todos los estudiantes, de modo que todos puedan mejorar su competencia matemática.

*La equidad y la accesibilidad

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Pero la habilidad para resolver problemas no solo se adquiere resolviendo muchos problemas ni conociendo las distintas fases de resolución, sino tomando soltura y familiaridad con una variedad de técnicas de resolución (heurísticas).Según Schoenfeld (1980), un heurístico es una “insinuación o sugerencia general o estrategia, independiente de cualquier tópico particular o materia de estudio, que ayuda al resolutor a aproximarse y comprender un problema y ordenar eficientemente sus recursos para resolverlo”

Heurísticos

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Heurísticos

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Entre las heurísticas que se suelen considerar apropiadas nos encontramos las siguientes:- Resolver un problema más sencillo. - Buscar un diagrama adecuado.- Hacer una tabla. - Observar pautas.- Empezar desde atrás. - Deducción. - Descomponer el problema en subproblemas. - Ensayo y error. - Reducción al absurdo. - Búsqueda de incoherencias.- Dar el problema por resuelto. - Buscar una regla general.- Analizar el problema, representar y organizar la información.

Heurísticos

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Resolver un problema más sencillo

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*Juan Emilio García Jiménez. Material curso Resolución de problemas.

María y seis de sus amigas pasaron un día en un parque de atracciones. Al final de la mañana decidieron emparejarse para subir a un carrusel. Cada una subiría con cada una de las otras una vez.¿Cuántos viajes debieron hacer? Y si fuese toda una clase, por ejemplo de 30 alumnos y alumnas, ¿cuántos viajes se harían en este caso?

*Representar gráficamente el enunciado

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Representar gráficamente el enunciado

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María leyó que dos de cada cinco personas tienen los ojos azules. Decidió usar esta idea para predecir cuántos de los 30 alumnos de su clase tendrían ojos azules.¿Cuántos crees que predijo?¿Y cuántos tendrán los ojos azules en un colegio de 350 alumnos?

Representación por medio de tablas

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Representación por medio de tablas

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La cabeza de un pez es 1/3 de larga que la longitud de todo el cuerpo, la cola es tan larga como la cabeza y el cuerpo juntos. La longitud del pez es de cuarenta y ocho centímetros. ¿Cuánto mide cada parte del pez?

Representación por medio de dibujos

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Alejandro compró para su tienda 18 cajas de manzanas a un precio de saldo de 3 cajas por 69 €. Las cajas de manzanas normales cuestan 32 € cada una.¿Cuánto ahorró Alejandro comprando las manzanas de saldo?

Hacer preguntas para dividir el problema en subproblemas

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- ¿Cuántos grupos de 3 cajas pueden hacerse con 18 cajas?- ¿Cuánto costarán 18 cajas si tres valen 69 €?- ¿Cuánto costarán 18 cajas a 32 € cada una?- ¿Cuál es la diferencia de precio entre 1 caja de manzanas a 69 € las 3 cajas y una caja a 32 €?

Hacer preguntas para dividir el problema en subproblemas

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*Club Matemático.

*CENA DE GALA

El restaurante “El glotón” debe preparar la sala para la Cena de Gala de los 122 participantes a un congreso. El restaurador tiene a su disposición 12 mesas de 8 personas y 12 mesas de 6 personas.Los organizadores del congreso han pedido prepararlas de manera que en las mesas utilizadas no queden puestos vacíos. ¿Cuántas mesas de cada tipo pueden ser preparadas para satisfacer la petición de los organizadores? Indicad vuestras soluciones y explicad cómo las habéis hallado.

Ensayo y error

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Materiales manipulativos y la resolución de problemas

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Materiales manipulativos

Los materiales manipulativos pueden ser extraordinariamente útiles para favorecer el razonamiento; sin embargo, no son suficientes por sí solos. Quienes confieren la utilidad a los materiales son, por una parte, el docente que propone y motiva actividades con ellos en un momento determinado (observaciones, construcciones, transformaciones o simplemente mecanizaciones) y, por otra parte, los mismos niños y niñas con su actuación.

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*Lluis Segarra

*Ejemplo

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Ejemplo

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Números triangulares

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Números tetraédricos

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Stick de hockey

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Suma de una fila - Potencia de 2

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Números primos

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Triángulo de Sierpinski

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Sucesión de Fibonacci

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Números combinatorios

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Materiales manipulativos y situaciones de aprendizaje

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*Beltrán-Pellicer, P. y Alsina, Á. (2022). La competencia matemática en el currículo español de Educación Primaria.Márgenes, Revista de Educación de la Universidad de Málaga, 3(2), 31-58. http://dx.doi.org10.24310/mgnmar.v3i2.14693

*Problemas contextualizados

El uso de contextos en la clase de matemáticas, puede contribuir a facilitar el aprendizaje de esta disciplina, pero sobre todo a comprender cuál es el sentido de las matemáticas, cuáles son sus verdaderas funciones: - Formativa: teniendo en cuenta que los contextos permiten pasar progresivamente de situaciones concretas o situaciones abstractas (matematización progresiva).- Instrumental: al considerar que los contextos son, en realidad, herramientas que favorecen la motivación, el interés o el significado de las matemáticas.- Aplicada: al fomentar el uso de las matemáticas en contextos no exclusivamente escolares y, por lo tanto, contribuir a la formación de personas matemáticamente más competentes. (Alsina, 2011, p. 14)

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Son situaciones y actividades que implican el despliegue por parte del alumnado de actuaciones asociadas a competencias clave y competencias específicas y que contribuyen a la adquisición y desarrollo de las mismas. Esta propuesta de situaciones representa una herramienta para integrar los elementos curriculares de las distintas áreas mediante tareas y actividades significativas y relevantes para resolver problemas de manera creativa y cooperativa, reforzando la autoestima, la autonomía, la reflexión y la responsabilidad.

Situaciones de aprendizaje

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La modelización matemática permite al profesorado considerar el entorno físico y social para abordar “situaciones problema” en contextos vinculados con el alumnado, así como favorecer “la comprensión de conceptos, ya que los estudiantes percibirán a la matemática como una disciplina íntimamente relacionada con su cotidianidad” (Arguedas y Porras, 2008).El uso de materiales manipulativos como el geoplano, favorece la modelización matemática.

Modelización matemática

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El uso adecuado de materiales manipulables por parte de nuestro alumnado en la clase de matemáticas convirtiéndose ésta en un taller de trabajo, fomenta la observación, la experimentación y la reflexión necesarias para construir sus propias ideas matemáticas. El trabajo con materiales debe ser un elemento activo y habitual en clase, y no puede reducirse a la visualización esporádica de algún modelo presentado por el docente. Algunos materiales no suelen ser baratos, pero pueden ser construidos fácilmente.

Materiales manipulativos

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Ejemplo de SdA - 1º ESO

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ACTIVIDADES DE MOTIVACIÓN

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ACTIVIDADES DE ACTIVACIÓN

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ACTIVIDADES DE ACTIVACIÓN

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Policubos. Fuente: Antonio Omatos. https://www.aomatos.com

ACTIVIDADES DE ACTIVACIÓN

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ACTIVIDADES DE ACTIVACIÓN

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Geoplano virtual

El Geoplano: Inventado por el profesor CALEB GATTEGNO hacia 1950 y difundido en España por el profesor Puig Adam.

ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN

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Material virtual

ACTIVIDADES CON UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS

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ACTIVIDADES CON UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS

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ACTIVIDADES CON UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS

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ACTIVIDADES CON UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS

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ACTIVIDADES CON UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS

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* Fuente: José Luis Alonso Borrego

*TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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TEOREMA DE PITÁGORAS

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Laboratorio de Matemáticas.
Materiales manipulativos en los centros.
Especialidad de Matemáticas o de Ciencias en el Grado de Educación Primaria.

Criterios de admisión en el MAES Especialidad de Matemáticas.
Profesorado apasionado por las Matemáticas y que lo transmita a su alumnado.
Visibilidad de buenas prácticas y de recursos para el aula de Matemáticas.
Comunicación con las familias.
Formación permanente del profesorado en cómo enseñar Matemáticas.
Impulsar las sociedades de profesorado de Matemáticas.
Programa Estalmat.