Matemática - Módulo A6

Taxa de variação

Matemática - Módulo A611.º EISofia Teixeira, n. 2 Kayk Barbosa, n. 10 Escola Básica e Secundária de Ermesinde

00

Índice

1. Taxa média de variação de uma função;
2. Taxa instantânea de variação de uma função num ponto;
3. Derivada de uma função num ponto;
4. Função derivada;
5. Derivada de funções polinomiais;
6. Derivada de algumas funções racionais e irracionais;
7. Derivada de funções trigonométricas;
8. Regras de derivação;
9. Diferenciabilidade e monotonia de uma função;
10. Diferenciabilidade e extremos locais.

Taxa média de variação

01

Dada uma função real de variável real f e um intervalo [a, b] contido no seu domínio, chama-se taxa média de variação de f no intervalo [a, b] ao quociente:tmv[a,b]=(f(b)-f(a))/(b-a)

A taxa média de variação representa a inclinação da reta secante entre os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) no gráfico da função.

Resolução de um exercício de taxa média de variação

01

Taxa instantânea de variação

02

Se p(t) é a posição de um objeto no instante t, então a velocidade instantânea ou simplesmente velocidade, v, do objeto no instante t=t0 é dada por:v=lim (h→0) (f(a+h) - f(a)) / h

A taxa instantânea de variação representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (a, f(a)).

Resolução de um exercício de taxa instantânea de variação

02

Derivada de uma função

03

Ou, fazendo x-x0=h:f'(x0)=lim (h→0) (f(x0+h)-f(x0))/(h) Se f admite derivada no ponto x0 diz-se que é diferenciável em x0 ou derível em x0. A derivada de f no ponto x0 é a taxa instantânea de variação de f em x0.

Seja f uma função real de variável real e x0 um ponto do seu domínio.Chama-se derivada de f no ponto x0 e representa-se por f'(x0) ao seguinte limite, se existir e for finito: f'(x0)=lim (h→0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)

Resolução de um exercício de derivada de uma função

03

Função derivada

04

Seja f uma função real de variável real.A função derivada de f, ou simplesmente derivada de f, é uma nova função f' tal que:

• o domínio de f' é o conjunto de todos os pontos em que f tem derivada (finita), ou seja, Dr={x ∈ Df: f é diferenciável em x};

• a cada x ∈ Df' faz corresponder f'(x) .

Resolução de um exercício de função derivada

04

Derivada de funções polinomiais

05

1. Se f(x)=xn, n ∈ ℕ, então f'(x) = nx(n-1) ou (xn)'=nx(n-1) ;
2. Se f(x)= axn, n ∈ ℕ , então f'(x)=nax(n-1) ou (axn)'=nax(n-1) ;
3. A função derivada da soma (diferença) de duas funções é igual à soma (diferença) das derivadas das funções parcelas.

Resolução de um exercício de derivada de funções polinomiais

05

Derivada de algumas funções racionais e irracionais

06

1. Se f(x)=xn, n ∈ ℝ, então f'(x) = nx(n-1) ou (xn)'=nx(n-1) ;
2. Se f(x)= axn, n ∈ ℝ, então f'(x)=nax(n-1) ou (axn)'=nax(n-1) .

Resolução de um exercício de derivada de algumas funções racionais e irracionais

06

Derivada de funções trigonométricas

07

• Se f(x)=sin x, x ∈ ℝ, então f'(x)=cos x;
• Se f(x)=cos x, x ∈ ℝ, então f'(x)=-sin x;
• Se f(x)=tan x, x ≠ (kπ)/2, k ∈ Z, então f'(x)=1/cos2 x.

Resolução de um exercício de derivada de funções trigonométricas

07

Regras de derivação

08

Regras de derivação

08

Diferenciabilidade e monotonia de uma função

09

Observando o gráfico de uma função é, geralmente, possível:

• dizer se num dado ponto a derivada é positiva, negativa ou nula;
• dados dois pontos em que a derivada é positiva ou negativa, dizer em qual dos pontos a derivada é maior;
• fazer uma estimativa do valor da derivada da função num ponto.

Resolução de um exercício de diferenciabilidade e monotonia de uma função

09

Diferenciabilidade e extremos locais

10

Seja f uma função contínua num intervalo [a, b] e x0 ∈ ]a, b[.

• Se f é crescente em [a, x0] e decrescente em [x0, b], então f tem um máximo relativo no ponto x0;
• Se f é decrescente em [a, x0] e crescente em [x0, b], então f tem um mínimo relativo no ponto x0.

Resolução de um exercício de diferenciabilidade e extremos locais

10

Manual de Matemática "Taxa de variação" do Módulo A6

Referências

FIM!