APUNTES UD.6 FUNCIONES

Curso 2023/24

Clase 2º ESO

ud-6 las funciones

i.e.s. cristobal de monroy

NELSON MANDELA

"La educación es el arma más poderosa que posees para cambiar el mundo"

"Lo único que se interpone entre tú y tu sueño es la voluntad de intentarlo y la creencia de que es posible conseguirlo"

Joel brown

TABLA DECONTENIDO

07.F. LINEALES

09.resumen

01.presentación

08.f. cuadráticas

06.características

11.evaluaciones

10.s. aprendizaje

12.ANEXOS

05.función

04.coordenadas

03.variables

02.evaluacion inicial

variable independiente vs. variable dependiente

03

Variable / CONSTANTE

• Constante: valor que no cambia. Siempre se mantiene igual (pi = 3.1415, g=9.8)
• Variable: magnitud que puede tomar diferentes posibles valores.

04. variable independiente vs. variable dependiente

Variable independiente

Se suele representar con la letra X. Es aquella variable que puede ser controlada o manipulada por el investigador

variable dependiente

Se suele representar con la letras Y. Es una cantidad cuyo valor depende de como cambia o se modifica la variable dependiente.

Ejemplos

04. variable independiente vs. variable dependiente

Seres creativos

Hace falta diversión para la creatividad, creatividad para innovar, innovar para tener éxito... Diversión es éxito.

Seres exploradores

Convertimos a la comunicación visual en una experiencia cuando añadimos interactividad, animación y storytelling.

TABLA DECONTENIDO

07.F. LINEALES

09.resumen

01.presentación

08.f. cuadráticas

06.características

11.evaluaciones

10.s. aprendizaje

12.ANEXOS

05.función

04.coordenadas

03.variables

02.evaluacion inicial

coordendas en el plano

¿Cómo me posiciono en el plano?

04

04. Coordenadas en el plano

ejes de coordenadas o cartesianos

• Formado por dos ejes perpendiculares denominados como ejes de coordenadas o cartesianos.
• Eje horizontal x): abcisas. Variable independiente
• Eje vertical (y): ordenadas. Variable dependiente
• Punto de corte de los ejes: origen de coordenadas
• Divide el plano en cuatro cuadrantes: I, II, III, IV

+ Info

PERSONAJE

• Se los debemos a Descartes.
• El Discurso del Método.
• Pienso luego existo

04. COordenadas en el plano

ejes de coordenadas o cartesianos (II)

• Hemos establecido el sistema de referencia. ¿Cómo identificamos un punto del plano?
• Partimos del origen (O)
• Recorremos distancia en horizontal (Dcha./Izqda.)
• Recorremos distancia en vertical (Arriba/Abajo)

COORDENADAS = PAR DE NÚMEROS

• Un punto P serán un par de números P(x,y)
• x: primera coordenada o abcisa. Distancia respecto a eje vertical. Puede ser + o -.
• y: segunda coordenada u ordenada. Distancia respecto a eje horizontal. Puede ser + o -

04. COordenadas en el plano

EJERCICIO Nº1

• Brújula
• Oásis
• La X marca el lugar
• Barco

EJERCICIO Nº2

• Guardad las coordenadas para presentarlas en GEOGEBRA

• Terminad el polígono D1, D2, D3, D4, A22, A21, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, A25

• Unid los puntos antes marcados siguiendo el orden B1 B2 B3… B8 y la línea poligonal con vértices todas las letras C: C1 C2 C3… C8

• Unir en primer lugar los puntos antes marcados siguiendo el orden A1 A2 A3… A36 A1

04. coordendas en el plano

ejercicio para PRACTICAR

Aprovechando nuestros conocimientos de coordenadas en el plano, vamos a generar una figura en el plano que tendremos que adivinar al finalizar el ejercicio

+ Info

En el siguiente mapa de España se han ubicado una serie de ciudades, empleando un sistema cartesiano y tomando como origen de coordenadas, el kilómetro cero de Puerta del Sol en Madrid.

04. coordenadas en el plano

trabajemos con coordenadas

A la hora de llevar a cabo la gestión de una emergencia, en el Centro de Control de Emergencias, una de las primeras cuestiones que hemos de aprender es a orientarnos en un plano y ser capaz de identificar las coordenadas del emplazamiento en el que se ha producido la emergencia, de cara a organizar el rescate, ya sea por tierra, mar o aire.

+ MAPA

04. coordendas en el plano

trabajemos con coordenadas

El sistema de coordenadas cartesianas no es la única forma de posicionar un elemento sobre un plano. Como ejemplo de otro sistema de posicionamiento, podemos ver la siguiente pantalla de un radar. ¿Con qué dos parámetros creéis que podemos fijar un punto en el radar?

+ MAPA

04. coordenadas en el plano

OTRAS FORMAS DE POSICIONARnos

¿Cómo podríamos posicionar un barco en el rádar¿Cómo nos posicionamos en la superficie terrestre?¿Y la altura?https://www.geogebra.org/m/H5SAVTXy

+ Info

POSICIONAMIENTO EN EL ESPACIO

Para posicionarnos sobre la superficie de una esfera, como es el caso de nuestro planeta, resulta más conveniente hacerlo con dos ángulos: Latitud (ángulo respecto a ecuadro) y Longitud (ángulo respecto a meridiano de Greenwich)

04. coordenadas en el plano. extensión a la tercera dimensión

Una forma sencilla de posicionarnos en el espacio, es extender las coordenadas cartesianas que hemos visto en el plano incluyendo un tercer número que nos dé la altura. Así cada punto del espacio vendrá dado por (x,y,z)

Intentemos el test propuesto

POSICIONAMIENTO EN EL ESPACIO

04. coordenadas en el plano. extensión a la tercera dimensión

Apliquemos las coordenadas geográficas, para posicionarnos sobre la superficie terrestre. Necesitamos:

• Latitud: distancia anguar respecto al Ecuador
• Longitud: distancia angular respecto al meridiano 0º (Greenwich)

TABLA DECONTENIDO

07.F. LINEALES

09.resumen

01.presentación

08.f. cuadráticas

06.características

11.evaluaciones

10.s. aprendizaje

12.ANEXOS

05.función

04.coordenadas

03.variables

02.evaluacion inicial

concepto de función

¿qué es una función?¿cómo se define?

05

05. concepto de función

FUNCIÓN COMO APLICACIÓN

Supongamos que A y B son dos conjuntos. Una función, habitualmente representada con la letra f, es una aplicación o regla tal que a cada elemento del conjunto A asocia un único elemento de B.

Enunciado

Expresion algebraica

Tabla

Gráfica

¿Cómo puede venir definida una función?

05. concepto de función

Función definida mediante una gráfica

Función definida mediante una tabla

Función definida poruna expresión algebraica

Función definida porunenunciado

veamos las siguientes gráficas. unas son funciones y otras no. ¿sabríaS IDENTIFICARLAS?

05. concepto de función

¿qué es una función y qué no lo es?

Recordemos que según la definición de función, se trata de una aplicación que a cada uno de los posibles valores de una variable independiente (X) le asigna un único valor de una variable independiente (Y).

Resolver

05. concepto de función

EJERCICIO Nº1

El precio de un kilo de queso especial de cabra, que se produce en una granja de Alcalá de Guadaira, es de 18 € y se vende al peso. Construye una taba de valores con seis cantidades diferentes, que relacione el peso del queso con su precio.

a) Representa la gráfica de la altura del globo en función del tiempo b) ¿Cuánto tiempo (minutos) duró el vuelo? c) ¿Cuánto tiempo (minutos) el globo en alcanzar la altura máxima d) ¿Cuál fue la altura máxima (metros) alcanzada? e) ¿Cuánto duró el descenso?

Resolver

05. concepto de función

EJERCICIO Nº2

El ordenador incorporado al equipo de un globo aerostático ha ido anotando las lecturas del altímetro durante una ascensión recreativa:

a) Representa la función, empezando con los valores adecuados en el eje Y para que se aprecien bien las diferencias de áreas. b) Comprueba que la ecuación de esta función es: y = 10x – x2

Resolver

05. concepto de función

EJERCICIO Nº3

De una familia de rectángulos cuyo perímetro es 20 cm hemos medido su base y su área. Estos son los resultados:

a) ¿A qué distancia da la vuelta?b) ¿En qué lugar se para?¿Cuánto duró la parada?¿Cuánto tiempo estuvo el coche en marcha?

ejercicio nº4

Un coche sale de Sevilla en dirección a las zonas de playa. A partir de la gráfica, descríbeme el viaje

06. características de una funcion

a) ¿Qué dosis corresponde a los siguientes pesos? 50 kg, 40 kg, 70 kgb) ¿A qué peso corresponde la máxima dosis?¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas obesas?c) ¿Qué peso tenía una persona a la que suministraron 40 mg?

06. características de una funcion

ejercicio nº5

En las instrucciones de un medicamento, que hay que administrar a un diabético, se establece que la dosis del mismo, expresada en mg, está en función del peso del paciente según la gráfica:

a) ¿Qué año fallecieron más personas?b) ¿En qué años no falleció nadie?c) ¿En qué tramos es la gráfica creciente?¿En cuales decreciente?d) ¿En qué otros añox se alcanzaron valores máximos?

ejercicio nº6

El número de personas fallecidas en accidente de ferrocarril durante el periodo 1974-1987 lo refleja este gráfico:

06. características de una funcion

05. concepto de función

puntos, intervalos y semirrectas

INTERVALO

Conjunto de números reales (rango de valores) limitado por dos extremos a y b, que pueden o no estar incluidos. Pueden ser:

• Intervalo cerrado: [a, b]. Ambos extremos incluidos.
• Intervalo abierto: (a,b). Ambos extremos excluidos.
• Intervalor semiabiertos:
• Por la izquierda: (a, b]
• Por la derecha: [a,b)

05. concepto de función

puntos, intervalos y semirrectas

EJERCICIOS

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES

Las funciones son utilizadas en matemática, física, química, medicina, estadística, economía, ingeniería, psicología, etc.Se pueden aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, al establecer relaciones que existen entre magnitudes o variables. Veámos algunos ejemplos.Coste de un producto en función de la cantidad comprada.Movimiento de un proyectil lanzado.Crecimiento de una población en función dle tiempo.etc..

06. METODOLOGÍA

TABLA DECONTENIDO

07.F. LINEALES

09.resumen

01.presentación

08.f. cuadráticas

06.características

11.evaluaciones

10.s. aprendizaje

12.ANEXOS

05.función

04.coordenadas

03.variables

02.evaluacion inicial

característcas de una función

dominio, recorrido, continuidad, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, puntos de corte

06

06. características de una función

conceptos

Ciertas propiedades nos van a permitir analizar y clasificar las funciones, refieriéndose a puntos especiales, a la forma y comportamiento de la curva.

• Dominio y recorrido.
• Continuidad.
• Puntos de Corte eje X y eje Y
• Crecimiento y decrecimiento (monotonía)
• Máximos y mínimos.

Las funciones son una forma de expresar la relación entre dos conjuntos de elementos, llamados dominio y recorrido.

• Dominio: Se representa por Dom(f) y corresponde con valores de x, para los que existe la variable y
• Recorrido: Llamamos recorrido o imagen de una función f(x) y se representa por Im(f) a los valores que toma la variable dependiente y.

conceptos clave

Conceptos clave a recordar.

• Función.
• Conjunto inicial -> Dominio
• Conjunto final -> Recorrido

DOMINIO Y RECORRIDO

06. características de una función

Ejemplos

Función Discontinua

Función Continua

Se dice que una función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que la gráfica se rompe (punto de discontinuidad). Se suele decir que una función es continua en todo su dominio excepto en aquellos puntos x=a donde presente algún tipo de discontinuidad.

06. características de una funcion

continuidad

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, f(x) es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

Función Discontinua

Función Continua

• Discontinuidad evitable: es aquella que se da cuando no existe el valor de la función para un punto x = a o ese valor está desplazado.
• Discontinuidad de salto: es aqeulla que se produce cuando en un punto x=a los valores de la función, al acercarnos por la izquierda y por la derecha no coinciden. Según como sea el salto que se produce en ese punto x=a, tendremos
• Discontinuidad de salto finito.
• Discontinuidad de salto infinito.

06. características de una funcion

Tipos de discontinuidad

En aquellos puntos donde la función deja de ser continua se produce una discontinuidad. Existen varios tipos de discontinuidades.

• Con el eje y. Resolver ecuación de segundo grado

• Con el eje x. f(0) = 02- -5·0+6=6

ejemplo

Puntos de corte de f(x)=x2-5x+6

PUNTOS DE CORTE con los ejes

Los puntos de corte con los ejes coordenados son puntos importantes cuando queremos reresentar una función.Llamamos punto de corte con los ejes a aquellos puntos donde la función f(x) corta con los ejes de ordenadas y abcisas.

• Con el eje x: Los puntos de corte con el eje de abcisas se obtienen igualando a cero f(x)=0 y resolviendo la ecuación que se obtiene. Se llaman también raíces. La coordenada es (a,0)
• Con el eje y: Si existe es único y se obtiene sustituyendo el cero en la función f(x), es decir calculando f(0). La coordenadas es (0,f(0))

06. características de una función

• Máximo: punto en el que la ordenada toma el mayor valor.
• Mínimo: punto en el que la ordenada toma el menor valor.

monotonía

• Creciente: una función es creciente en un tramo cuando al aumentar la variable x (cuando se recorre de izquierda a derecha), aumenta la variable y.
• Decreciente: una función es decreciente es decreciente en un tramo cuando al aumentar la variable x (cuando se recorre de izquierda a derecha), disminuye la variable y.

06. características de una función

puntos extremos

Ejemplos

• Máximo absoluto: Un punto x=a es el máximo absoluto si además de ser máximo, es el punto más alto de la gráfica. En caso contrario se trata de un máximo relativo.
• Mínimo absoluto: Un punto x=a es el mínimo absoluto si además de ser mínimo, es el punto más bajo de la gráfica. En caso contrario se trata de un mínimo relativo.

PUNTOS EXTREMOS. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS

06. características de una función

a) ¿Durante cuánto tiempo se hizo este estudio? b) ¿En qué momento del año 1999 se vendieron menos bonos? c) ¿Y en cada uno de los años 2000 y 2001? d) ¿En qué momento del año 2001 se produce la máxima venta? e) ¿A qué lo atribuyes? f) ¿En qué periodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de bonos? g) ¿En qué estación del año es decreciente la venta?

Una compañía de transporte público recogió en una gráfica la información que tiene sobre la venta de bonos para viajar en sus líneas.

ejemplo nº1

Función Continua

06. características de una funcion

a) Dominio y recorridob) Calcula f(-4), f(4) y f(8)c) Continuidadd) Cortes con los ejese) Crecimiento y decrecimientof) Máximos y mínimos, absolutos y relativos.

ejemplo nº2

Función Continua

06. características de una funcion

Veamos las características principales de varias gráficas. Crecimiento, decrecimiento, continuidad, recorrido, etc.

ejemplo nº3

Función Continua

06. características de una funcion

a) Dominio y recorridob) Calcula f(0), f(-2) y f(2)c) Continuidadd) Cortes con los ejese) Crecimiento y decrecimientof) Máximos y mínimos, absolutos y relativos.

Observa la gráfica siguiente y estudia sus propiedades:

ejemplo nº3

Función Continua

06. características de una funcion

TABLA DECONTENIDO

07.F. LINEALES

09.resumen

01.presentación

08.f. cuadráticas

06.características

11.evaluaciones

10.s. aprendizaje

12.ANEXOS

05.función

04.coordenadas

03.variables

02.evaluacion inicial

funciones lineales

funciones constantes, funciones proporcionales y funciones afines. aplicaciones

07

1.5 / 1 = 3/2 = 4.5/3 = ... = 6/4

Precio de manzanas según la cantidad de Kg:

1x36 = 2x18 = 3x12 = ... = 6x6

Tiempo en realizar obra según número de albañiles:

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar las parejas de valores correspondiente obtenemos un valor constante.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número distinto de cero, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número

Proporcionalidad directa

proporcionalidad inversa

REPASO PORPORCIONALIDAD

Recordemos a continuación los conceptos de proporcionalidad directa e inversa que ya habéis estudiado tanto en el curso pasado como en este mismo año. Diferenciamos principalmente entre proporcionalidad directa e inversa.

07. funciones lineales

ejemplo nº1

Lucas tiene un dron que utiliza para grabar imágenes de su pueblo, desde las alturas. Sabemos que el modelo de dron que tiene asciende a dos metros por segundo. Ana por su parte tiene un helicóptero teledirigido capaz de ascender a medio metro por segundo. Empezamos a subir desde el suelo (0 ).

07. funciones lineales

magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir a la primera por un número, la segunda queda multiplicada por el mismo número.

+ Info

LUCAS

ana

ejemplo nº1

Lucas tiene un dron que utiliza para grabar imágenes de su pueblo, desde las alturas. Sabemos que el modelo de dron que tiene asciende a dos metros por segundo. Ana por su parte tiene un helicóptero teledirigido capaz de ascender amedio metro por segundo.

07. funciones lineales

¿Qué es realmente la m?

representación gráfica

• La representación gráfica en el plano cartesiano de dos magnitudes directamente proporcinales es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
• Una función lineal tiene como expresión y = m·x
• Una función lineal corresponde a una relación de proporcionalidad directa.
• La relación de proporcionalidad directa es una función lineal de la forma y = m·x.

07. funciones lineales

magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir a la primera por un número, la segunda queda multiplicada por el mismo número.

La pendiente m de una recta y = mx es la medida de su crecimiento. Así pues tenemos:

• Si m es positiva, la recta es creciente.
• Si m es negativa, la recta es decreciente.
• Si m es cero, la recta es constante

07. funciones lineales

concepto de pendiente

Hemos visto que el parámetro m corresponde con la relación de proporcionalidad que hay entre la variable x y la variable y. Se denomina pendiente.

La pendiente m de una recta y = mx es la medida de su crecimiento. Así pues tenemos:

• Si m es positiva, la recta es creciente.
• Si m es negativa, la recta es decreciente.
• Si m es cero, la recta es constante

07. funciones lineales

GEOGEBRA

Os incluyo un vídeo para aprender a manejar un software que nos será de gran utilidad para representar funciones: Geogebra.

07. funciones lineales

concepto de pendiente. GEOGEBRA

Juguemos con las pendientes utilizando Geogebra.

ejercicio nº3

En una urbanización se consume por término medio al día tres mil litros de agua. Representa gráficamente el consumo de agua a lo largo de una semana. Escribe la fórmula de dicha función. ¿Es una recta?¿Es una función lineal?

ejercicio nº2

Bob anda muy deprisa, recorre 5 km a la hora. Representa gráficamente el paseo diario de Bob relacionando el tiempo con espacio recorrido. Esribe la fórmula de dicha función. ¿Es una función?¿Es una función lineal?

05. funciones lineales

ejercicio nº1

María quiere comprar una cinta que vale 0.7 euros el metro. Representa gráficamente lo que deberá pagar según los metros de cinta que comp

INTRODUCCIÓN

Lucas y sus padres quieren realizar unas tomas de la Giralda de Sevilla utilizando para ello un dron. Tras lograr los permisos necesarios se sitúan sobre la terraza de las azucenas, ubicada a 65,30 metros de la calle. Sabemos que el modelo de dron que tienen asciende a 2 metros por segundo.

07. funciones AFINES

Resolver

Obtengamos la tabla de valores a partir de lo anterior.

INTRODUCCIÓN

Lucas y sus padres quieren realizar unas tomas de la Giralda de Sevilla utilizando para ello un dron. Tras lograr los permisos necesarios se sitúan sobre la terraza de las azucenas, ubicada a 65,30 metros de la calle. Sabemos que el modelo de dron que tienen asciende a 2 metros por segundo.

07. funciones AFINES

Nosotros llamaremos funciones lineales a aquellas que se representan mediante líneas rectas.

f(0) = m·0 + n = n

Las nuevas funciones que estamos estudiando, que tienen la forma y = mx+n, se las llama funciones afines:

• El parámetro m es la pendiente. a igual que antes tenemos:
• Si m es positiva, la recta es creciente.
• Si m es negativa, la recta es decreciente.
• Si m es cero, la recta es constante
• El parámetro n se denomina coordenada en el origen. Las funciones afines no parten ahora del (0,0), sino de un punto por encima o por debajo. Este punto es n, dado que:

07. funciones AFINES

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN AFINES

En matemáticas, a las funciones y = mx, que representaban una proporcionalidad directa, se las conoce como funciones lineales.

Conocidos dos puntos de la recta (x1, y1) y (x2, y2), podemos calcular la pendiente de la recta que los une haciendo:

cálculo de la pendiente

07. funciones AFINES

Las nuevas funciones que estamos estudiando, que tienen la forma y = mx+n, se las llama funciones afines:

• El parámetro m es la pendiente. a igual que antes tenemos:
• Si m es positiva, la recta es creciente.
• Si m es negativa, la recta es decreciente.
• Si m es cero, la recta es constante
• El parámetro n se denomina coordenada en el origen. Las funciones afines no parten ahora del (0,0), sino de un punto por encima o por debajo. Este punto es n, dado que:

07. funciones LINEALES

RESUMEN

En matemáticas, a las funciones y = mx, que representaban una proporcionalidad directa, se las conoce como funciones lineales.

EJERCICIO 1

Relaciona, fijándote en los parámetros que conocemos de una recta, las gráficas siguientes con sus expresiones analíticas:

07. funciones LINEALES

ejercicio nº3

Una empresa A, de reparaciones a domicilio, cobra 20 € por desplazamiento y 10 € cada hora de trabajo. Otra empresa B cobra 10 € por desplazamiento y 15€ por cada hora de trabajo. Halla la ecuación de cada una de ellas y represéntalas. Si se tienen que contratar los servicios de una empresa, ¿Cuál interesa más?

ejercicio nº2

Los puntos A(3,2), B(8,2) y C(6,6) determinan un triángulo. Calcula las ecuaciones de las rectas que determinan sus lados

Un muelle mide 30 cm y se alarga otros 10 cm por cada kilogramo que se cuelga de él. Sabiendo que se puede colgar más de 7,5 kg, expresa algebraicamente la función que relaciona la longitud, L, del muelle con la masa, m, que se va colgando de él y represéntala gráficamente con la ayuda de una tabla de valores

07. funciones LINEALES

EJERCICIO Nº1

Tomamos un punto cualquiera de la recta y nosfijamos en sus coordenadas x e y. La pendiente será m = y / x.

El parámetro m se denomina pendiente.

• Si m es positiva, la recta es creciente.
• Si m es negativa, la recta es decreciente.
• Si m es cero, la recta es constante

Funciones del tipo y = f(x) = m·x

REPASO GENERAL

07. funciones LINEALES

Un punto (A,B) pertenece a la recta y = m·x + n, si al poner x = A, y evaluar la expresión m·A + n, debe tomar valor B.Supongamos recta y = 2x - 3.¿El punto (1, -1) pertenece a la recta? Ponemos x= 1 y calculo 2·1 -3 = -1, luego efectivamente pertenece.¿El punto (0,-2) pertence a la recta? 2·0-3 = -3, luego No pertenece

¿Pertenece un punto a una recta?

Corte con eje x o raíz: valor de x necesario para que y = 0. Resolvemos ecuación:0 = m·x + n; m·x = -n; x = -n/m

Corte con eje y: f(0) = m ·0 + n = n : COORDENADA EN ORIGEN

Conocidos dos puntos de la recta (x1, y1) y (x2, y2), podemos calcular la pendiente de la recta que los une haciendo:

El parámetro n se denomina coordenada en el origen. Las funciones afines no parten ahora del (0,0), sino de un punto por encima o por debajo.

El parámetro m se denomina pendiente. Representa inclinación

• Si m es positiva, la recta es creciente.
• Si m es negativa, la recta es decreciente.
• Si m es cero, la recta es constante

Funciones del tipo y = f(x) = m·x + n

REPASO GENERAL

07. funciones LINEALES

y = mx + n = 3x - 13

Como (4,-1) pertenece a la recta: -1 = 4·3 + n; -1 = 12+n; n = -13

y = mx + n = 3x + n

Paso Nº2. Sabemos que todo punto que pertenece a la recta, debe cumplir la expresión de la recta. Cojamos un punto de dicha recta, por ejemplo (4,-1). Sabemos ya que m=3, luego la ecuación de la recta es

Paso Nº1. Calculamos la pendiente. Dados dos puntos se tiene:

Hay varias formas de hacerlo. Veámos la más sencilla, usando la expresión que conocemos y = f(x) = mx + n.

Como ya hemos visto en clase, una recta queda perfectamente definida si conocemos dos puntos. Supongamos que esos puntos son A(4,-1) y B(5,2). ¿Cual es la ecuación de la recta?

ECUACIÓN DE UNA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS (o un punto y la pendiente)

07. funciones LINEALES

05. funciones lineales

VIDEO DE REPASO

Aquí os dejo un video de repaso que tendreis que visualizar, respondiendo a las diferentes cuestiones que contiene.Únete a la clase en: https://edpuzzle.com/join/talmueb

TABLA DECONTENIDO

07.F. LINEALES

09.resumen

01.presentación

08.f. cuadráticas

06.características

11.evaluaciones

10.s. aprendizaje

12.ANEXOS

05.función

04.coordenadas

03.variables

02.evaluacion inicial

funciones cuadráticas

parábolas. ecuaciones 2º grado. aplicaciones

08

Pero, ¿se utilizan para algo las parábolas?. Veamos algunos ejemplos:

• Antenas empleadas para ver la televisión por satélite.
• Radiotelecopios, en astronomía.
• Hornos solares.
• Faros de los coches.
• Los cables de puentes colgantes adoptan la forma parabólica. Estos forman la envolvente de una parábola.
• Chorros de agua en fuentes.
• https://www.geogebra.org/m/TTbmkJ8m

08. funciones CUADRÁTICAS

concepto de PARÁBOLA

La curva que describe un balón cuando se lanza a canasta es una parábola. También describen parábolas, las bolas de golf o los chorros de agua.

• Si a = 0. ¿Qué tenemos?
• Si a>0 tenemos una parábola que va hacia arriba. Cóncava
• Si a<0 tendremos parábola que va hacia abajo. Convexa

Existen diversas formas de expresar una función cuadrática, como veremos después. La más habitual es f (x) = ax2+bx+c

08. funciones CUADRÁTICAS

EXPRESIÓN DE UNA PARáBOLA

Las líneas rectas en un plano correspondían con funciones lineales. Las parábolas por su parte corresponden con funciones cuadráticas.

Reproducir video de Repaso Ecuación 2º Grado

Para facilitar el estudio llamaremos discriminante, al conjunto de términos que hay en el interior de la raíz cuadrada:

El doble signo delante de la raiz cuadrada quiere decir que tiene dos soluciones posibles:

Las soluciones a una ecuación de segundo grado. ¿Recordais como se calculaba? Sí, efectivamente, a través de la expresión:

AX2 + BX + C = 0

08. funciones CUADRÁTICAS

corte de una parábola con el eje x

Recordemos que los puntos de corte de una función con el eje x, o raíces, corresponde con aquellos valores de la variable x para los que se cumple que f(x) = 0; en nuestro caso corresponde con aquellos valores para los que:.

08. funciones CUADRÁTICAS

corte de una parábola con el eje x

Recordemos que estamos resolviendo la ecuación de segundo grado para obtener el corte de la parábola con el eje x.Al resolver ecuaciones de segundo grado, según como sea el discriminante, podemos encontrarnos con tres posibilidades, cada una de las cuales conduce a un comportamiento de la parábola:

08. funciones CUADRÁTICAS

corte de una parábola con el eje x

Recordemos que estamos resolviendo la ecuación de segundo grado para obtener el corte de la parábola con el eje x.Al resolver ecuaciones de segundo grado, según como sea el discriminante, podemos encontrarnos con tres posibilidades, cada una de las cuales conduce a un comportamiento de la parábola:

08. funciones CUADRÁTICAS

corte de una parábola con el eje x

Recordemos que estamos resolviendo la ecuación de segundo grado para obtener el corte de la parábola con el eje x.Al resolver ecuaciones de segundo grado, según como sea el discriminante, podemos encontrarnos con tres posibilidades, cada una de las cuales conduce a un comportamiento de la parábola:

Si conocemos las coordenadas del vértice (h,k) podemos expresar la parábola a través de su forma canónica:

Si la parábola tiene dos raíces o corte con el eje x, la coordenada de dicho vértice se obtiene a partir de sus coordenadas, como el punto medio.

08. funciones CUADRÁTICAS

vértice de una parábola

• El vértice de una parábola es el punto en el que la parábola cambia de dirección y alcanza el máximo ( (si a es negativa) o mínimo (si a es positiva).

• El vértice es el punto de intersección de la parábola y su eje de simetría.
• En general, las coordenadas del vértice de una parábola viene dada por:

• Con el vértice y los puntos de corte con los ejes ya podemos representar la parábola. Resulta conveniente siempre calcular el valor de la función en abcisas próximas al vértice a derecha e izquierda.

Recopilaremos aquí toda la información relativa a las parábolas que necesitamos para comprenderlas y representarlas.

• Si el coefiente a>0, la parábola va hacia rriba
• Si el coeficiente a<0, la parábola va hacia abajo.
• Calculando f(0) = a·02 + b·0 + c = c, tenemos corte en eje Y
• Calculandol las raíces, es decir ax2+bx+c = 0, obtenemos los cortes con el eje X. Tenemos tres posibilidades.
• Dos soluciones distintas -> dos raíces diferentes.
• Solución doble -> una única raiz
• Sin solución -> No hay corte.
• Un punto característico de la parábola es el vértice, cuyas coordenadas son:

08. funciones CUADRÁTICAS

representación gráfica f. cuadráticas

Ejercicio 1. Representa las siguientes parábolas:a) 2x2 - 4x - 6b) (x + 1)2 + 3c) 2x2 - 10xEjercicio 2. Dada la parábola que se muestra indicar:a) ¿Cuál es su vértice?b) Halla la ecuación de su eje de simetríac) ¿Cuál es la ordenada del punto de abcisa x=4?d) Escribe su ecuación.

repaso de funciones cuadráticas

08. funciones CUADRÁTICAS

06. METODOLOGÍA

TABLA DECONTENIDO

07.F. LINEALES

09.resumen

01.presentación

08.f. cuadráticas

06.características

11.evaluaciones

10.s. aprendizaje

12.ANEXOS

05.función

04.coordenadas

03.variables

02.evaluacion inicial

resumen

2º c. GRUPO DE RESCATE

09

01. stuación de aprendizaje

resumen

06. METODOLOGÍA

fin del tema

próximo tema: geometría

Variable / CONSTANTE

• Constante: valor que no cambia. Siempre se mantiene igual (pi = 3.1415, g=9.8)
• Variable: magnitud que puede tomar diferentes posibles valores.
• La variable dependiente es aquella variable cuyo valor depende de otra variable, que es la variable independiente. Por lo tanto, la diferencia entre una variable dependiente y una variable independiente es que la variable independiente no depende de ninguna otra variable, en cambio, la variable dependiente depende del valor de la variable independiente.

Variable / CONSTANTE

• Constante: valor que no cambia. Siempre se mantiene igual (pi = 3.1415, g=9.8)
• Variable: magnitud que puede tomar diferentes posibles valores.
• La variable dependiente es aquella variable cuyo valor depende de otra variable, que es la variable independiente. Por lo tanto, la diferencia entre una variable dependiente y una variable independiente es que la variable independiente no depende de ninguna otra variable, en cambio, la variable dependiente depende del valor de la variable independiente.

Video de repaso de ecuaciones de segundo grado. Estos conocimientos los necesitareis para encontrar los puntos de corte con el eje X de una función cuadrática. Os adjunto enlace a documento pdf

ejemplo nº5

La siguiente gráfica describe la evolución de la temperatura de un enfermo durante el día

• ¿Qué temperatura tenía a las cuatro de la mañana.
• ¿A qué horas tenía 40ºC?
• ¿A qué hora tuvo más temperatura?¿Cuanto era?
• ¿A qué hora tuvo menos temperatura?¿Cuánto era?

FUNCIÓN DEFINIDA POR UNA gráfica

La forma más frecuente de encontrarnos con una función es mediante su gráfica. En el eje de abcisas (eje x) se representa la variable independiente, mientras que en el eje de ordenadas (eje y) representamos la variable dependiente.

El 90% de la información que asimilamos nos llega a través de la vista? Los recursos visuales son de gran ayuda para reforzar tus clases: imágenes, ilustraciones, gifs, vídeos… No solo porque permanecen en la memoria, sino también porque son más atractivos y más fáciles de comprender.

¿Sabías que...

La interactividad es la pieza clave para captar el interés y la atención de tus estudiantes. Un genially es interactivo porque tu grupo explora y se relaciona con él.

Truquito:

ejemplo nº3

La ecuación del espacio recorrido por un vehículo viene dado por la expresión y = 5 + 3t + 2t2, donde y representa el espacio recorrido en metros y t el tiempo en segundo. ¿Qué espacio habrá recorrido el vehículo al cabo de 5 segundos de iniciar el movimiento?

FUNCIÓN DEFINIDA POR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

En ocasiones, las funciones vienen dadas por una expresión algebraica. La expresión y = f(x) hace referencia a que los valores que tomará la variable dependiente y, vienen dados por una expresión matemática que involucra a la variable independiente x. No siempre empleamos estas letras.

Identifica cada tipo de discontinuidad.

Variable / CONSTANTE

• Constante: valor que no cambia. Siempre se mantiene igual (pi = 3.1415, g=9.8)
• Variable: magnitud que puede tomar diferentes posibles valores.
• La variable dependiente es aquella variable cuyo valor depende de otra variable, que es la variable independiente. Por lo tanto, la diferencia entre una variable dependiente y una variable independiente es que la variable independiente no depende de ninguna otra variable, en cambio, la variable dependiente depende del valor de la variable independiente.

ejemplo nº2

El litro de gasolina se ha situado hace pocas semanas en 1,50 € el litro. ¿La relación entre los litros que ponemos en nuestro depósito y lo que nos cuesta, definen una funcón?¿Podemos extraer valores numéricos a partir de la descripción verbal?

ejemplo nº1

En un teatro cada entrada cuesta 18 €. ¿La relación entre las entradas vendidas y la recaudación es una función? ¿Podemos extraer valores numéricos?

FUNCIÓN DEFINIDA POR UN ENUNCIADO

Cuando una función viene definida por un enunciado o una descripción, la idea que nos podemos hacer de ella es, casi siempre, cualitativamente poco precisa. Pero si el enunciado se acompaña con datos numéricos, la función puede quedar perfectamente determinada.

6. ¿Cuál es la capital más austral (es decir, situada más al sur) del mundo?

5. ¿Cuál es la capital más septentrional (es decir, situada más al norte) del mundo?

4. ¿Dónde se encuentran casi todas las poblaciones con latitud y longitud negativas?

3. ¿Cuál de estas capitales está más cerca del ecuador?

2. ¿Cuál de estas ciudades españolas está más cerca del meridiano de Greenwich?

1. Aproximadamente, ¿qué latitud y longitud tiene Gibraltar?

POSICIONAMIENTO EN EL ESPACIO

ejemplo nº4

El fenomeno de los incendios forestales se ha convertido en uno de los mayores problemas ecológicos que sufren nuestros montes debido a la elevada frecuencia e intensidad que ha adquirido en las últimas décadas. En la tabla siguiente se muestran los ocurridos en Jaen junto al número de hectáreas quemadas.

FUNCIÓN DEFINIDA POR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Con frecuencia se nos dan los valores de una función mediante una tabla en la cual se obtienen directamente los datos buscados. Esta tabla suele recoger, para diferentes valores de una variable independiente, cuales son los valores asociados de otr variable dependiente.

Lucas y sus padres quieren realizar unas tomas de la Giralda de Sevilla utilizando para ello un dron. Tras lograr los permisos necesarios se sitúan sobre la terraza de las azucenas, ubicada a 65,30 metros de la calle. Sabemos que el modelo de dron que tienen asciende a 2 metros por segundo.