Cuadratura Gaussiana

Equipo II

CUADRATURA GAUSSIANA

ANALISIS Y MÉTODOS NUMERICOS II

Introducción.

El método de cuadratuara de Gauss es un excelente método para evaluar integrales definidasd de funciones, por medio de sumatorias simples y fáciles de implementar. Por otra parte, es una aplicación bastante interesante de los polinomios ortogonales.

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Las cuadaraturas de Gauss- Legendre es el nombre de una clase técnica que aplica dicha estrategia para obtener una aproximación más precisa de la integral.

Recordemos.

A continuación se muestra una mejor forma de elegir una recta con la cual se mejora la aproximación de la integral definida.

Objetivo

El objetivo de la cuadratura de Gauss - Legendre es determinar las abscisas x1, x2 y dos coeficientes w1, w2, como se muestra en la fórmula.

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+ Info

¿En qué consiste?

Un método para obtener una aproximación mas precisa de la integral. La cuadratura de Gauss, selecciona los puntos de evaluación de manera óptima y construida para dar el resultado de un polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los coeficientes wi para i=1...n. Gauss toma como conjunto ortogonal a los polinomios de Legendre que son ortogonales en el intervalo de [-1,1] (dominio de cuadratura). De manera que la fórmula que se utiliza es la siguiente:

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Hay que notar que una integral con respecto a x entre los límites finitos a y b se pueden transformar como una integral en t con límites [-1, 1] , por medio de la transformación:

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Ventajas

La cuadratura Gaussiana brinda mayor precisión a comparación de los métodos del Trapecio y Simpson, pero en ocaciones es necesario utilizar polinomios de mayor grado para alcanzarla.

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Desventajas.

• No se puede aplicar a datos discretos.

• Se requiere conocer las raíces y los pesos para los polinomios interpolantes de Lagrange.

• Usar un polinomio de mayor grado no garantiza mejor precisión.

• No es posible estimar el error sin conocer el resultado exacto.

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El método se puede extender a tres o más puntos.Podemos aplicar el método a todo el intervalo de interés o se puede dividir en varios subintervalos y aplicar el método de Gauss a cada uno de ellos. Brinda mejor precisión que otros métodos , pero su aplicación está limitada a funciones analíticas y tampoco podemos estimar el error.

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Transformación del intervalo de integración

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CODIGO EN PYTHON.

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CODIGO EN PYTHON.

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Código en Mathematica

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Para n=2

Código en mathematica

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Para n=3

Geogebra

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EJERCICIO DE EXCEL

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