BRICKS PRESENTATION

Geometria euclidea

Giorgia Vagnarelli, Aurora Lunetta, Matteo Vultaggio

Poliedri

Solidi di rotazione

Area dei solidi

Area piramidi

Area solidi rotazione

Estensione ed equivalenza solidi

Volume dei solidi

Volume di piramidi

Volumi solidi di rotazione

POLIEDRI:

Un poliedro è una figura solida, limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido RELAZIONE DI EULERO Detti F, S e V rispettivamente, il numero delle facce, quello degli spigoli è quello dei vertici di un poliedro, allora: F+V-S=2

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PRISMI

Definizione:Il cubo è un parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni congruenti

Definizione: Un prisma definito è un poliedrocostituito dalla parte di prisma indefinito compresa tra due piani paralleli che lo intersecano

Definizione:Un parallelelpipedo è un prisma le cui basi sono parallelogrammi

Teorema: Le facce opposte di un parallelelpipedo sono congruenti e parallele Teorema: Le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in uno stesso punto che le divide in due segmenti congruenti

Definizione:Un prisma retto è retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi

Definizione:Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto in cui le basi sono rettangoli

Piramidi

Piramide

Triedro

Angoloide

Una piramide è la parte di angoloide fra il suo vertice e un piano che interseca tutti i suoi spigoli

Un triedro è un angoloide con tre spigoli

Consideriamo un poligono convesso e un punto V non appartenente al suo piano. Chiamiamo angoloide il solido costituito da tutte le semirette di origine V che passano per i punti del poligono

Piramidi particolari

DEFINIZIONEUna piramide retta si dice regolare quando la sua base è un oiligono regolare TEOREMA Se si taglia una piramide di vertice V con un piano parallelo alle basi si ha che: La sezione e la base sono poligoni simili I lati e i perimetri dei poligononi sono proporzionali alle distanze del piano e del vertice V Le misure delle superfici sono proporzionali ai quadrati delle misure di queste distanze

DEFINIZIONEUna piramide è retta quando nella sua base ci si può inscrivere una circonferenza, il cui centro è la proiezione ortogonale del vertice della piramide sul piano di base TEOREMA In una piramide retta le altezze delle facce laterali passano per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenza inscritta e sono tra loro congruenti. Una qualunque di queste altezze si chiama apotema

"Un poliedro regolare è un poliedro in cui le facce sono poligoni regolari congruenti, gli angoloidi sono tutti congruenti e anche i diedri sono congruenti"

Solidi di rotazione

DEFINIZIONEUn cilindro è un solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno a uno dei suoi lati

DEFINZIONEUna sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro

DEFINIZIONEUn cono è un solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei cateti TEOREMAIn un cono, le misure delle aree del cerchio di base e del cerchio ottenuto dalla sezione parallela al piano di base, stanno tra loro come i quadrati delle misure delle distanze dal vettice

Parti della superficie sferica e della sfera

La calotta sferica e il segmento sferico a un base sono le parti in cui una superficie sferica e una sfera restano divise da un piano secante

Il fuso sferico e lo spicchio sferico sono le parti in cui una superficie sferica e una sfera restano divise da due semipiani aventi comeorigine comune una retta passante per il cenro della sfera

La zona sferica e il segmento sferico a due basi sono le parti di superficie sferica e di una sfera comprese tra due piani parallelli e secanti

area dei solidi

La superfice di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue faccie

si suddividono in:

• aree dei prismi
• aree di piramidi
• aree di solidi di rotazione

uno sviluppo è composto dalle superfici di base e superfici laterali econ la loro addizzione si ottiene la superfice totale

la figura si chiama sviluppo e permette lo studio delle aree delle superfici dei poliedri

aree di prismi

PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO

CUBO

PRISMA RETTO

Al=2(a+b)c At=2(ab+ac+bc)

Ab=s² At=6s²

Al=2phAb=2ph+2Ab

aree di piramidi

TRONCO DI PIRAMIDE RETTA

PIRAMIDE RETTA

Al=(p+p')aAt=(p+p')a+Ab+Ab'

Al=paAt=pa+Ab

aree di solidi di rotazione

Sb = πr2

Slat = πr ⋅ a

St=πr (a + r)

la superfice laterale di un cono è l'elemento separatore della coppia di classi contigue delle superfici delle piramidi regolari inscritte nel cono e circoscritte al cono

S=4πr²

parti della superfice sferica

cilindro

tronco di cono

superfice sferica

cono

la superfice laterale di un tronco di cono è l'elemento separatore della coppia di classi contigue delle superfici laterali dei tronchi di piramide inscritti e da quelle dei tronchi di piramide circoscritti al tronco di cono

la superfice laterale di un cilindro è l'elemento della coppia di classi contigue della superfice laterale di prismi regolari alle basi del cilindro inscritto nel cilindro e da quelle dei prismi ragolari circoscritti al cilindro

CALOTTA E ZONA SFERICA S=2πRh FUSO SFERICO

S=(απr2/90°)

Al=π a(r' + r)

Slat = 2πrh

Ab + Ab' = π r'² + π r²

Sb = πr2

At=Al + Ab + Ab'

At=πr (a + r)

estensione ed equivalenza dei solidi

estensione dei solidi

confronto fra solidi

DEFINIZIONEdata la relazione tra solidi,definiamo volume di un solido la classe di equivalenza alla quale il solido appartiene

POSTULATO DI DE ZOLT:un solido non può essere equivalente a una sua parte POSTULATO LEGGE DI ESCLUSIONE: dati due solidi A e B qualunque, o A è equivalente a B oppure A è prevalente a B (A>B) o A è suvvalente a B (A<B) e ciascun caso esclude gli altri due

solidi congruenti

POSTULATO:due solidi equivalenti sono sempre equivalenti

somma e differanza di solidi

POSTULATO:solidi ottenuti come somma o differanza di solidi congruenti o equivalenti sono equivalente

equivalenza di solidi notevoli

principio di calvalieri

solidi equicomposti

prismi,piramidi,cilindri,coni

TEOREMA: due prismi che hanno basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti TEOREMA: una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma che abbia base e altezza congruenti a quelle della piramide TEOREMA: un prisma e un cilindro che hanno basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti TEOREMA: una piramide e un cono che hanno basi equivalenti e basi congruenti sono equivalenti DEFINIZIONE: data una sfera di centro O,a essa circoscriviamo un cilindro equilatero e consiederiamo i due con di vertice O coincidenti con quelle del cilindro.Definiamo anticlessidra il solido ottenuto dalla differenza fra il cilindrobe i due coni. TEOREMA: la sfera è equivalente alla sua anticlessidra

POSTULATO:due solidi che possono essere disposti in modo che ogni piano parallelo a un altro piano fissato,scelto come riferimento,li tagli secondo sezioni equivalenti, sono equivalenti

DEFINIZIONE:due solidi si dicono equicomposti(o equicomponibili ) se sono scomponibili in solidi rispettivamente congruenti TEOREMA: due solidi equicomposti sono equivalenti

VOLUME DEI SOLIDI

VOLUMI DI PIRAMIDI

VOLUMI DI SOLIDI DI ROTAZIONE

VOLUMI DEI PRISMI

VOLUME PRISMI

Cubo: è un parallelepipedo rettangolo che ha tutte le basi congruenti. con spigolo a V= a^3

Parallelepipedo rettangolo: sappiamo che i volumi dei parallelepipedi rettangoli che hanno basi congruenti sono proporzionali alle relative altezze. V= AbxH

Prisma: il volume del prisma è equivalente al volume del parallelepipedo rettangolo che ha base e altezza congruenti. V= AbxH

VOLUME DI PIRAMIDI

PIRAMIDE

TRONCO DI PIRAMIDE

La piramide: è equivalente a un terzo del volume di un prisma di base equivalente e altezza congruente, quindi il suo volume è un terzo del volume del prisma.V= 1/3 AbxH

Il tronco di piramide: la misura del volume di un tronco di piramide con le basi di area A e a e altezza H è: V=1/3H (A+a+ axA

VOLUMI DI SOLIDI DI ROTAZIONE

TRONCO DI CONO

CONO

CILINDRO

Il tronco di cono: con raggio r e r' e altezza H ha il volume:V= 1/3 pi x H x (r^2 + r'^2 + r x r')

Un cilindro: è equivalente a un prisma con base equivalente e altezza congruente. V=AbxH in cui Ab=pi x r^2

Il cono: è equivalente alla piramide .V= 1/3 Ab x H

sfera

V= 4\3 pi (h\2) ^3+ pi xr'^2 x h/2 + pi r''^2 x h/2

Vs= a°/ 270° pi R^3

Volume segmento a una base

SFERA

volume spicchio sferico

volume segmento sferico a due basi

Il volume di una sfera di raggio r è: V= 4\3 pi r^3

V= 4/3 pi (h/2) + pi x r^2 x h/2