Ellisse

ELLISSE e moto dei pianeti

JOANNES KEPLER:TADUZIONE

"Orbita planetae non est circulus. Ergo ellipsis est iter" ("Astronomia nova", Joannes Kepler 1609) "L'orbta dei pianeti non è circolare pertanto l'ellissi è il percorso" "Divisa orbita in particulas minutissimae aequales: accrescete ils moras planetae per eas, in proportione intervallorum inter eas et Solem" ("Astronomia nova", Joannes Kepler 1609) "Dividi l'orbita nelle più piccole particelle uguali: aumenta attraverso di esse i ritardi dei pianeti, in proporzione alle distanze tra loro e il Sole" "Proportio quae est inter binorum quorumcunque Planetarum tempora periodica, sit sesquialtera proportionibus mediarum distantiarum, id est Orbium ipsorum" ("Armonices mundi", Joannes Kepler 1619) "La proporzione che esiste tra i tempi periodici di qualsiasi coppia di Pianeti, è la metà della proporzione delle loro distanze medie, cioè delle loro orbite"

Definizione dell'ellisse

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Assegnati nel piano due punti, F1 e F2 si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la somma delle distanze di P da F1 e F2

Caratteristiche dell'ellisse

'L’ellisse ha due assi di simmetria che si incontrano in un punto chiamato ‘centro dell’ellisse’ e lo dividono in parti uguali toccando il perimetro e creando i vertici, gli assi si tagliano in 4 semiassi.

Costruzione geo'metrica dell'ellisse

L'eccentricità indica la forma più o meno schiaccaita dell'ellisse ed è il rappoto tra distanza focale e la lunghezza dell'asse maggiore .

Equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse delle x Equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse delle y

Leggi fisiche del moto dei pianeti

In fisica le orbite dei pianeti sono spiegate da varie leggi. Le prime leggi che regolano il moto degli astri sono le leggi di Johannes Kepler, che enunciano:

• -I pianeti si muovono attorno al Sole su orbite che sono ellissi, di cui il Sole occupa uno dei fuochi.

• -Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempo

• -Il rapporto fra il quadrato del periodo di rivoluzione T attorno al Sole e il cubo del semiasse maggiore a dell’orbita è lo stesso per tutti i pianeti:

Inoltre Newton formulò la legge di gravitazione universale:

Dimostrazione del moto ellittico di un pianeta.

Per dimostrare che il moto di un pianeta è ellittico abbiamo scelto come software geogebra, usando, formule fisiche e geometriche per realizzare un approssimazione di quella che dovrebbe essere la traiettoria del moto. In primis si è studiata la formula della forza di attrazione tra due corpi: F=G*Mm/d² Dove M è la massa del sole, m quella di un pianeta e d la loro distanza. Sostituendo la forza nella seconda legge della dinamica (F=m*a) si ottiene: a=G*M/d² Infine per comodità nella rappresentazione grafica si è imposto: G*M=1 Ottenendo quindi: a=1/d²Al variare della distanza dal sole (posizionato all’origine degli assi) varia quindi l’accelerazione a, per questo il moto lo simuliamo a tratti (ottenendo una sequenza di punti), scegliendo un punto di partenza sull’asse x (Coordx0 nel file), una velocità verticale iniziale (v0 nel file) e intervalli di tempo (Δt nel file), tutti variabili tramite slider. Si sceglie una velocità iniziale altrimenti il pianeta andrà inevitabilmente a impattare col sole (se la distanza non è tale da rendere quasi nulla la forza d’attrazione).

Si va quindi ad aprire il foglio di calcolo ed inserire le voci per i punti della traiettoria (tra parentesi vi sono i nomi usati nel file): -Coordinata lungo x (Coordx) -Coordinata lungo y (Coordy) -Distanza dal sole (d) -Accelerazione lungo x (ax) -Accelerazione lungo y (ay) -Velocità lungo x (vx) -Velocità lungo y (vy) Per d (in quanto vettore posizione) si impone che sia uguale al teorema di pitagora tra Coordx e Coordy. Nella prima riga si scelgono come valori per la posizione e velocità i seguenti: -Coordx=Coordx0 -Coordy=0 -vx=0 -vy=v0 Dato che a noi interessa l’accelerazione lungo x e y si usano i rapporti base della goniometria (seno e coseno) e la precedentemente menzionata formula dell’accelerazione, ottenendo: -ax=cos*1/d²=Coordx/d*1/d²=Coordx/d³-ay=cos*1/d²=Coordy/d*1/d²=Coordy/d³Quindi per determinare la posizione sia lungo x che y di un punto si usano le rispettive formule orarie x=xp+vxp*Δt e y=yp+vxp*Δt, dove p sta per “precedente” in quanto ci si riferisce alla posizione e velocità raggiunte nel punto precedente. Per quanto riguarda la velocità si hanno formule simili, ovvero vx=vxp+axp*Δt e vy=vyp+ayp*Δt (nel file abbiamo deciso di dividere per due axp*Δt per facilitare la resa grafica).Infine abbiamo quindi esteso per molte righe le formule, creando quindi molti punti tramite lo strumento “lista di punti”. Ciò che abbiamo ottenuto è, per valori di Coordx0 e v0 che non fanno uscire dall’orbita il pianeta (e un Δt molto piccolo, per un esito più realistico), una traiettoria pressoché ellittica.

distanza focale

e=

lunghezza dell'asse maggiore

L' eccentricità di un ellisse assume valori compresi tra 0 e 1, se equivale a 0 si forma un cerchio mentre se equivale ad 1 viene creato un segmento.

Equazione canonica di un ellisse:

= 1

Se a è maggiore di b i fuochi sono sull'asse x Se a è minore di b i fuochi sono sull'asse y Se l'ellisse ha i fuochi sull'asse x b corrisponde al semiasse minore e c alla distanza fuoco-centro.Se l'ellisse ha i fuochi sull'asse y a corrisponde al semiasse minore e c sempre alla distanza fuoco-centro.c è legata ad a e b secondo le seguenti formule:Con i fuochi sull'asse x: c²=a²-b²Con i fuochi sull'asse y: c²=b²-a²