Capítulo 5 - Distribuciones de probabilidad discretas

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

CAPÍTULO 5

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es una lista de todos los resultados numéricos posibles y mutuamente excluyentes, que indica. además, la probabilidad de ocurrencia de cada resultado.

Por ejemplo, en la tabla siguiente se presenta la distribución del número de Interrupciones por día en una gran red de computadoras. La lista de la tabla es exhaustiva debido a que todos los resultados posibles están Incluidos. Por consiguiente, las probabilidades suman 1. La figura es una representación gráfica de la tabla.

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La media, µ, de una distribución de probabilidad es el valor esperado de su variable aleatoria. Para calcular el valor esperado, se multiplica cada resultado posible, x, por su probabilidad correspondiente, P (X= xi) y luego se suman esos productos.

Valor esperado, µ, de una variable aleatoria discreta

donde:

Para la distribución de probabilidad del número de interrupciones por un día en una gran red de computadoras, el valor esperado se calcula de la siguiente manera, utilizando la ecuación.

Cálculo del valor esperado para el número de interrupciones por día.

El valor esperado es 1.40. El valor esperado de 1.4 para el número de interrupciones por día no es un resultado posible, ya que el número real de interrupciones en un día determinado debe de ser un valor entero. El valor esperado representa el número medio de interrupciones en un día determinado.

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTANDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La varianza de una distribución de probabilidad se calcula multiplicando cada diferencia posible elevada al cuadrado (x,- E(X)]' por su probabilidad correspondiente, P(X=x), y luego se suman los productos resultantes. la ecuación siguiente define la varianza de una variable aleatoria discreta

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La ecuación define la desviación estándar de una variable aleatoria discreta

La varianza y la desviación estándar del número de interrupciones por día se calculan como se muestra, utilizando las ecuaciones anteriores.

De esta manera, el número medio de Interrupciones por día es 1.4, la varianza es 2.04, y la desviación estándar es aproximadamente 1 .43 interrupciones por día.

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

MODELO MATEMATICO

Un modelo matemático es una expresión matemática que representa una variable de interés

Cuando se dispone de una expresión matemática, es posible calcular la probabilidad exacta de la ocurrencia de cualquier resultado especifico de la variable. La distribución binomial es uno de los modelos matemáticos más útiles. Se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de eventos de interés en una muestra de n observaciones. La distribución binomial tiene cuatro propiedades básicas:

• La muestra consta de un número fijo de observaciones, n
• Cada observación está clasificada en una de las dos categorías mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas.
• La probabilidad de una observación sea clasificada como el evento de interés, π , es constante de una observación a otra. Por consiguiente, la probabilidad de que una observación no sea el evento de interés, 1-π , es constante a lo largo de todas las observaciones.
• El resultado de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otra observación.

Regresemos a la sección sobre el sistema de Información contable de Saxon Home lmprovement Company, y supongamos que el evento de Interés se define como un formato de pedido marcado. Usted está Interesado en el número de formatos de pedido marcados en una muestra determinada de estos. ¿Qué resultados pueden ocurrir? Si la muestra contiene cuatro pedidos, uno podría ser que ningún pedido aparezca marcado, o que uno, dos, tres o cuatro formatos de pedido estén marcados. No podría ocurrir ningún otro valor. ya que el número de formatos de pedido marcados no puede exceder al tamaño muestral, n, y no puede ser menor que cero. Por lo tanto, el rango de la variable aleatoria binomial va de 0 a n. Suponga que observa el siguiente resultado en una muestra de cuatro pedidos.

¿Cuál es la probabilidad de que haya tres formatos de pedido marcados en una muestra de cuatro pedidos en esta secuencia en particular? Como la probabilidad histórica de un pedido marcado es 0.10, la probabilidad de que cada pedido ocurra en la secuencia es:

Cada resultado es independiente de los otros, ya que los formatos de pedido se seleccionaron de una población muy grande o casi infinita, y cada formato de pedido solo puede seleccionarse una vez. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra esta secuencia en particular es:

Este resultado Indica solo la probabilidad de tres formatos de pedido marcados (eventos de Interés) de una muestra de cuatro formatos de pedido en una secuencia especifica. Para calcular el número de maneras de seleccionar x objetos a partir de n objetos, independientemente de la secuencia, se utiliza la ecuación:

Con n= 4 y x=3, existen cuatro secuencias posibles

Por lo tanto, la probabilidad de tres formatos de pedido marcados es igual a

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La ecuación anterior replantea lo que antes se dedujo de manera intuitiva. La variable binomial X puede tomar cualquier valor entero x desde 0 hasta n. En la ecuación, el producto

Representa la probabilidad de exactamente x eventos de interés a partir de n observaciones en una secuencia partícular

El término

Es el número de combinaciones de los x eventos de interés a partir de n observaciones posibles. Por lo tanto, dado el número de observaciones, n, y la probabilidad de un evento de interés, π, la probabilidad de x eventos de interés es:

EJEMPLO

DETERMINACION DE P(X= 3), DADOS n=4 Y π=0.1

Si la probabilidad de un formato de pedido marcado es 0.1, ¿Cual es la probabilidad de que haya tres formatos de pedido marcados en una muestra de cuatro? SOLUCION Utilizando la ecuacion, la probabilidad de que haya tres formas de pedido marcados en una muestra de cuatro es:

MEDIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL

La media, µ, de la distribucion binomial es igual al tamaño muestral, n, multiplicado por la probabilidad de un evanto de interes, π.

MEDIA ESTANDAR DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL

cálculo de probabilidades binomiales

Para las cadenas de comida rápida es muy Importante tomar pedidos precisos en la ventanilla de servicio al automóvil, De manera periódica. QSR Magazine publica los resultados de sus encuestas. La precisión se mide como el porcentaje de pedidos que se entregan de manera correcta. Recientemente. el porcentaje de pedidos ertregados de manera correcta en Werdy's fue de aproximadamente 89%. Suponga que usted va a la vertana de servido al automóvil de Wendy's y hace un pedido. Al mismo tiempo, y de manera Independiente. dos amigos suyos hacen pedidos en la ventanilla de servido al automóvil de la misma tienda. ¿Cuáles ron las probabilidades de que los tres, ninguno de los tres y al menos dos de los tres pedidos se entreguen de manera correcta? ¿Cuáles son la media y la desviación estándar de la distrtbución binomial para el número de pedidos entregados de manera correcta?

SOLUCION

Como hay tres pedidos y la probabilidad de un pedido correcto es de 0.89. n= 3 y π= 0.89. utilizando las ecuaciones de la media d e distribucion binomial y la desviacion estandar de la distribucion binomial.

Utilizando la ecuación de distribucion binomial

El numero de pedidos entregados correctamente en una muestra de tres pedidos es de 2.67 y la desviacion estandar es 0.5419. La probabilidad de que los tres pedidos sean entregados de manera correcta es de 0.7050 o 70.50%. La probabilidad de que ninguno de los pedidos se entregue de manera correcta es de 0.0013 o 13%. La probilidad de que almenos dos pedidos se entregen correctamente es de 0.9664 o 96.64%.

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DISTRIBUCIÓN POISSON

Muchos estudios se basan en conteos de las veces en que ocurre un evento de en particular en cierta área de oportunidad. Un área de oportunidad es una unidad continua o un intervalo de tiempo, volumen o cualquier área física donde pueda haber más de una ocurrencia de un evento. Ejemplos de variables que siguen la distribución Poisson son los efectos en la superficie de un evento de refrigerador, el número de veces que falla una red en un día, el número de personas que llegan a un banco y el número de pulgas que viven en un perro. podemos usar la distribución Poisson para calcular probabilidades en situaciones como estas, siempre que se cumplan las siguientes propiedades:

• Usted está interesado en contar el número de veces que ocurre un evento en particular en un área de oportunidad dada. El área de oportunidad se define como tiempo, longitud. área de superficie, etcétera
• La probabilidad de que un evento ocurra en un área de oportunidad dada es la misma para todas las áreas de oportunidad.
• El número de eventos que ocurren en un área de oportunidad es independiente del número de eventos que ocurren en cualquier otra área de oportunidad.
• La probabilidad de que dos o más event0 6 ocurran en un área de oportunidad se aproxima a cero a medida que esta se vuelve más pequeña.

La distribución Poisson tiene una característica, llamada λ. (la letra griega minúscula lambda) que es la media o el número esperado de eventos por unidad. La varianza de una distribución Poisson también es Igual a λ , y la desviación estándar es Igual a λ. El número de eventos, X. de la variable aleatoria Poisson oscila de 0 a infinito. La ecuación siguiente es la expresión matemática para la distribución Poisson que permite calcular la probabilidad de X= x eventos, dado que se esperan λ eventos.

EJEMPLO

CALCULO DE PROBABILIDADES POISSON

Se sabe que el numero de lesiones de trabajo mensual en una panta de manufactura, sigue una distibucion Poisson, con una media de 2.5 lesiones de trabajo mensuales. ¿Cual es la probabilidad de que en un mes determinado no ocurran lesiones de trabajo? ¿Y que ocurra al menos una lesion de trabajo?

SOLUCIÓN:

¡Muchas gracias!