Recta tangente a una circunferencia en un punto determinado

Ecuación de una recta tangente

a una circunferencia

en un punto determinado

Unidad II: Circunferencia

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Empezando con...

Recta tangente a una circunferencia

Ejemplo:

En general, una recta tangente es una recta que interseca a cualquier otro objeto geométrico en un solo punto. Por tanto, una recta tangente a una circunferencia es una recta que interseca a la circunferencia en un único punto de esta.

Por ejemplo: x = 3 es una recta tangente a la circunferencia porque la interseca en el punto (3, 0).

Ecuación de la recta tangente a una circunferencia

Unidad II: Circunferencia

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Para determinar la ecuación de la tangente de una circunferencia, es necesario analizar cómo se relaciona la tangente con el radio de la circunferencia. Observa la siguiente imagen: En concreto, la principal característica de la recta tangente es que siempre es perpendicular al segmento del radio que va del centro al punto en el que la tangente corta la circunferencia.

Donde A representa el centro de la circunferencia, B el punto en el que la recta tangente corta a la circunferencia, respresenta el radio de la circunferenica y C la recta tangente.

Paso

Determinar la pendiente de la recta tangente

• El primer paso para determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia en un punto concreto es encontrar la pendiente del radio de la circunferencia.

• La expresión de la pendiente de la recta que pasa por centro (h, k) y el punto de tangencia es :

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Ejemplo para determinar la pendiente del radio de la circunferencia

Una circunferencia con ecuación con un punto tangencial P(3, 3). ¿Cuál es la pendiente del radio de la circunferencia?

Solución:

• Como en la ecuación de la circunferencia no hay términos con x o y, el centro de la circunferencia es el origen (0,0).
• Para calcular la pendiente, aplicamos la ecua ción de la pendiente:

Es decir, la pendiente del radio de la circunferencia es m = 1

Determinar la pendiente de la tangente de la circunferencia

Recordando...

Las pendientes de dos rectas perpendiculares guardan una relación de ser el recíproco inverso una de la otra. Sabemos que la recta tangente y el segmento que une al centro y al punto de tangencia( (radio de la circunferencia) son perpendiculares. Entonces, si la pendiente del radio es m, la pendiente de la tangente es:

La relación que se cumple es que m * m' = -1

Ejemplo de la pendiente de la tangente

Considera la circunferencia con ecuación con un punto tangencial T(5,4). ¿Cuál es la pendiente de la tangente de la circunferencia?

• La expresión de la pendiente de la recta tangente es:

• Sustituimos con los valores del centro de la circunferencia (h, k) y los valores del punto tangencial (5, 4) para obtener la pendiente:

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Considera que el punto tangencial es lo mismo que el punto de tangencia.

Reflexiona

Determinar la ecuación de la tangente de la circunferencia

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La ecuación de la recta tangente de la circunferencia

Construyendo la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en su forma punto pendiente

Finalmente, podemos construir una ecuación para la recta tangente de una circunferencia siendo esta:

Ahora conocemos la pendiente de la recta tangente en términos de un punto (x1, y1) por el que pasa. Para determinar la ecuación de la recta tangente, se utilizará la ecuación punto-pendiente de una recta

Ejemplo para determinar la ecuación de la tangente de la circunferencia

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Ejemplo

Determina la ecuación de la recta tangente de la circunferencia en el punto R(0, 4).

Primero calculamos la pendiente de la recta tangente con la expresión:

Sustituyendo los valores, la pendiente de la recta tangente es:

FInalmente, se sustituyen los valores en la ecuación punto-pendiente para obtener la ecuación de la recta tangente:

Puntos claves

Ecuación de una recta tangente a una circunferencia dado un punto.

• Una recta tangente a una circunferencia es una recta que la interseca en un único punto .
• Para determinar la ecuación de la recta tangente se requiere las coordenadas del punto de tangencia y la ecuación de la circunferencia.

• Para determinar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia, se requiere calcular la pendiente del radio que une el centro de la circunferencia con el punto de tangencia.

Puntos clave

Ecuación de una recta tangente a una circunferencia dado un punto.

• Para calcular la pendiente de la recta tangente se considera el valor inverso y recíproco de la pendiente del radio.
• Para determinar la ecuación de la recta tangente se sustituye el valor de la pendiente y las coordenadas del punto de tangencia en la fórmula de la ecuación general de la recta.

Si conocemos la pendiente del radio de la circunferencia...

Se puede aplicar la expresión:

• En este ejemplo particular, si se calcula la pendiente del radio de la circunferencia:

• Después, se calcula la pendiente de la tangente, aplicando la expresión inicial:

Por lo tanto, se llega al mismo resultado por distintos métodos, pero recuerda no confundir las expresiones para calcular la pendiente del radio de la circunferencia y la pendiente de la tangente de la circunferencia.