TEMA 22 OPOS 2024

TEMA 22

EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA). INTERVENCIÓN EDUCATIVA.

Índice

0. INTRODUCCIÓN. 1. EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. 1.1. El aprendizaje de los números. 1.2. El cálculo numérico. 2. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES. 2.1. Números naturales. 2.2. Números enteros. 2.3. Números fraccionarios. 2.4. Números decimales. 3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

4. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. 5. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA). 5.1. Operaciones de cálculo. 5.2. Procedimientos de cálculo (cálculo escrito, mental, estimación y calculadora). 6. INTERVENCIÓN EDUCATIVA. 7. CONCLUSIÓN. 8. BIBLIOGRAFÍA.

0. INTRODUCCIÓN

“Los números son el alfabeto universal del lenguaje de las matemáticas. Con números se puede demostrar cualquier cosa”. Thomas Carlyle. Las matemáticas se presentan como elemento imprescindible para la vida cotidiana: - ayudándonos a comprender la realidad, - contribuyendo a la formación intelectual y - potenciando las capacidades cognitivas de niños/as. El área de matemáticas (en adelante MAT) son un conjunto de saberes asociados a los números y las formas, permitiendo analizar situaciones variadas. Además, estructura el conocimiento que se obtiene de la realidad, la analiza y logra una información nueva para conocerla, valorarla y tomar decisiones (Castro, 2001).

LOMLOE: Cap. 1 art. 16.2 establece que la finalidad de la Educación Primaria es facilitar a los alumnos y alumnas los aprendizajes de la expresión y comprensión oral, la lectura, la escritura, el cálculo, la adquisición de nociones básicas de la cultura, y el hábito de convivencia así como los de estudio y trabajo, el sentido artístico, la creatividad y la afectividad, con el fin de garantizar una formación integral que contribuya al pleno desarrollo de la personalidad de los alumnos y alumnas y de prepararlos para cursar con aprovechamiento la Educación Secundaria Obligatoria. Art. 7 del Real Decreto 157/2022, objetivos de la etapa se destaca el g) “Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana”. Decreto 101/23: principios pedagógicos- Habilidades de cálculo

1. EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO

Los niños/as llegan a la escuela con una gran variedad de conocimientos numéricos que han ido adquiriendo en su vida cotidiana. Es necesario que los docentes conozcan esos preconceptos para poder diseñar estrategias que les permitan cuestionar y reformular esas ideas y favorecer las situaciones que den significado a los números dando así respuesta al bloque de saberes básicos “Sentido numérico” que aborda el Anexo II del Real Decreto 157/22. De 1 de marzo, el cual se caracteriza por el desarrollo de destrezas y modos de pensar basados en la comprensión, la representación y el uso flexible de números y operaciones.

1.1. EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROSCarrillo (2016): los números son y han sido un elemento fundamental en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático en los primeros años de escolarización. El valor del aprendizaje de los números: - Relevante significado matemático. - Contribución al desarrollo de la capacidad cognitiva. - Importancia para la vida cotidiana. - Instrumento para el desarrollo de las competencias clave. - Elementos básicos para posteriores conocimientos en las diferentes áreas del saber. - Responden a las necesidades e intereses de los niños/as. - GRAN VALOR FUNCIONAL.

La alfabetización numérica en primaria estará dirigida al dominio de algoritmos del cálculo escrito y la utilización de números y cantidades en contextos de la vida diaria. Dicho aprendizaje será aplicado a la resolución de problemas y se distinguirán, al mismo tiempo, diferentes tipos de números que los niños/as han de aprender a lo largo de dicha etapa. Los números y las operaciones aritméticas son fundamentales e intervienen en multitud de actividades:- Para contar: puede ser cardinal u ordinal. - Para numerar (asignar números a los objetos) según diversos propósitos: para delimitar o señalar, para ubicar, para localizar, para nominar …- Para medir.- Para operar: sumar, restar, etc.

A lo largo de la etapa de educación primaria uno de los objetivos básicos de la educación matemática será el desarrollo progresivo del "sentido numérico", entendido como "una buena intuición sobre los números y sus relaciones", que debe desarrollarse gradualmente como resultado de explorar los números, usarlos en una variedad de contextos, y relacionarlos entre sí, superando el limitado aprendizaje de los algoritmos tradicionales. El sentido numérico se concibe como una forma de pensar, una manera de aproximarse al trabajo con los números en el aula (Coriat, 2001). Los componentes del sentido numérico que se deben lograr de manera progresiva se describen con tres estándares generales: 1) Comprender los números, las diferentes formas de representarlos, las relaciones entre ellos y los conjuntos numéricos; 2) Comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras; 3) Calcular con fluidez y hacer estimaciones razonables.

Para el primer ciclo de primaria se propone el logro de las siguientes expectativas: - Contar con comprensión y reconocer “cuántos hay” en conjuntos de objetos. - Usar múltiples modelos para desarrollar una comprensión inicial del valor de posición y el sistema de numeración de base diez. - Desarrollar la comprensión de la posición relativa y magnitud de los números, de los aspectos cardinal y ordinal y sus conexiones. - Desarrollar un sentido de los números naturales, representarlos y usarlos de manera flexible, incluyendo la relación, composición y descomposición de los números. - Conectar las palabras números y los numerales con las cantidades que representan, usando diversos modelos físicos y representaciones. Para el segundo y tercer ciclo de primaria se espera que los niños/as sean capaces de: - Comprender la estructura del valor de posición del sistema de numeración decimal y ser capaz de representar y comparar números naturales y decimales. - Reconocer representaciones equivalentes para los mismos números y generarlos mediante composiciones y descomposiciones de otros números.

Asimismo, para una adecuada aplicación y desarrollo del concepto de número podemos utilizar diferentes tipos de materiales, como son: - Bloques Lógicos de Dienes: Usados en la fase prenumérica en actividades de agrupamientos y clasificación. Son 48 piezas manipulables que atienden a 4 atributos como: color, tamaño, grosor y forma. - Bloques multibase de Dienes: Utilizados para comprender el sistema de numeración de forma manipulativa. Son piezas de madera en forma de cubo.

- Regletas de Cuisenaire: se emplean para formar series del 1 al 10 y establece equivalencias y ordenación de series numéricas. - Ábaco: Utilizado para la enseñanza del sistema de numeración y el cálculo de operaciones. Son unas varillas donde se insertan unas bolas. Cada varilla representa un orden de unidades del sistema numérico.

1.2. EL CÁLCULO NUMÉRICODel concepto de número surge la palabra cálculo que en su origen significa "contar con piedras". Las matemáticas comienzan cuando la humanidad se ve en la necesidad de contar objetos. Los cálculos que el alumnado realiza se basan en hechos numéricos, es decir, resultados que se almacenan en la memoria y que en el momento adecuado hay que recordar. Los números tienen su aplicación en las operaciones aritméticas y en las estrategias de cálculo que se contextualizarán en la resolución de problemas. Roa (en Castro, 2001) nos dice que gran parte de las matemáticas en la etapa de Primaria está dedicada a enseñar a los niños/as los ALGORITMOS de cálculo (conjunto de reglas que sirven para resolver una operación) que les servirán para automatizar las operaciones aritméticas. El aprendizaje del cálculo numérico en educación primaria se basa en la interiorización del procedimiento (algoritmo) propio de cada operación y su automatización.

De forma GENERAL, Roa (en Castro, 2001) establece que las operaciones de cálculo son: - Cálculos exactos sencillos (mentalmente) - Cálculos más complicados (medición de un algoritmo y la utilización de un soporte para escribir) - Cálculos que no requieran una respuesta exacta (estimación). Los números tienen su aplicación en la etapa de educación primaria en las operaciones y estrategias de cálculo de la siguiente forma: a) Operaciones. Se realizan operaciones de suma, resta, multiplicación y división con los tipos de números, según su ciclo. b) Estrategias de cálculo. El aprendizaje incorpora progresivamente estrategias de composición aditiva y multiplicativa de números, de descomposición sustractiva y partitiva de números, de construcción y memorización de tablas de multiplicar, de automatización de algoritmos para operaciones estándar y de adquisición de mecanismos de cálculo mental y escrito.

c) Aplicación didáctica. El aprendizaje del cálculo se basa en la interiorización del procedimiento de cada operación y en la automatización. Se consigue con la práctica sistemática y comprensión de relaciones entre operaciones numéricas. d) Desarrollo de habilidades. Los procedimientos del cálculo aportan agilidad mental, dominio, rapidez y precisión en la realización de operaciones, memorización comprensiva, autonomía personal y confianza en la capacidad de obtención de resultados. A lo largo de la Educación Primaria el alumnado irá aprendiendo las diferentes reglas de cálculo para automatizar las operaciones aritméticas. Junto al aprendizaje de estas se deben desarrollar procedimientos de cálculo mental, estimaciones, así como a utilizar la calculadora.

2. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES

Los números se clasifican en cinco tipos principales: números naturales «N», números enteros «Z», números racionales o fraccionarios «Q» (donde se incluyen los números decimales), números reales «R» (incluyen a los irracionales) y números complejos «C» (es una combinación de un número real y un número imaginario. Ejemplo: 3+2i). El conocimiento de los números naturales, decimales y fraccionarios, y su escritura en diferentes sistemas de representación, ocupan una parte muy significativa del aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Primaria. Los números son objetos matemáticos relevantes por su contribución significativa al desarrollo cognitivo y al pensamiento matemático de los alumnos/as. Ello supone que deban ser considerados como una parte esencial del currículo matemático en Educación Primaria.

2.1. NÚMEROS NATURALES.El conjunto de los números naturales se identifica con letra N= 0,1,2,3,4,5…Tienen como relaciones de orden “menor o igual que” ”mayor o igual que” simbolizando como <,> respectivamente y como operaciones fundamentales la suma y el producto (+y-). Son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de cantidades. De este modo, se podría afirmar que el numero natural se utiliza para dos propósitos fundamentalmente: - para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada (ordinal) y - para especificar un tamaño de un conjunto finito (cardinal) tradicionalmente los números se clasifican en números primos y compuestos. Los números naturales se pueden ubicar en una semirrecta de modo que a cada número le corresponde un punto de la semirrecta numérica.

Cabe destacar el NÚMERO CERO como la última cifra que se incorporó en los sistemas de numeración para expresar la ausencia de un determinado valor de posición. Puede crear dificultades en su aprendizaje que debemos eliminar trasmitiendo la sensación de que es un número más (Castro, 2001). Algunas actividades serían el llavero de las tablas de multiplicar, juego “el parchís”, mural de una recta numérica o elaborar una cinta métrica.

2.2. NÚMEROS ENTEROS. Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos, así como el cero. Con este término nos referimos a los elementos del conjunto Z (…, -2, -1, 0, +1. +2…). Carrillo (2016): podemos distinguir entre: - Enteros positivos: Colocan el signo + delante del número natural. - Enteros negativos: Colocan el signo – delante del número natural. Los números enteros se pueden representar, ordenar y comparar en la recta numérica. Tal y como afirman estos autores, los números enteros se usan fundamentalmente para expresar estados (como por ejemplo temperaturas), cambios o variaciones (subidas o bajadas de temperaturas) y comparaciones (comparaciones entre la temperatura en dos ciudades o momentos). Algunas actividades pueden ser el termómetro, dibujamos el nivel del mar o juego hundir la flota.

2.3. NÚMEROS FRACCIONARIOS.La RAE define “fracción” como una expresión que indica “la división de algo en partes” o “las partes de un todo”. Para representar la fracción a/b se denomina a “a” numerador y a “b” denominador de la fracción. El denominador hace referencia a las partes en las que se divide un todo determinado y el numerador a las partes del mismo que hemos tomado. Las fracciones se dividen en dos tipos:• Fracción común: es la fracción cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros, 8/3 • Fracción decimal: es la fracción que tiene como denominador la unidad seguida de ceros, 8/10 Otra clasificación, sin importar que sea decimal o común, puede ser: • Fracciones propias: son las fracciones que tienen el numerador menor que el denominador, 4/8 • Fracciones impropias. Son las fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador, 8/7 • Fracciones unitarias. Son las que tienen el mismo numerador y denominador, 5/5 Algunas actividades para trabajar dichos aspectos pueden ser “mi libro de recetas”, puzle fraccionario o las notas musicales.

2.4. NÚMEROS DECIMALES. Aquellos números que poseen una parte no entera. Tienen dos partes separadas por una coma. La parte que se encuentra a la izquierda de la coma es la parte entera e indica el número de unidades enteras, y la parte situada a la derecha de la coma es la parte decimal que indica el número de unidades decimales. Clasificación de los números decimales: - Números decimales exactos: son valores cuya parte decimal posee un número limitado de cifras decimales como estos: 0,75; 2,6563; 6,32889. - Números decimales periódicos: tienen un número ilimitado o infinito de cifras decimales, pero que se repiten en un patrón o período determinado que es visible dentro de un número de cifras variable en cada caso, por ejemplo: 1,333333333…; 6,0505050505…; 5,325483254832548…

Dos tipos: • Números decimales periódicos puros: donde los números decimales son parte del mismo grupo como: 3,63636363… • Números decimales periódicos mixtos: donde existen cifras que están fuera del periodo o patrón de cifras decimales, como en: 9,36666666… - Números decimales no periódicos: tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón. números irracionales, como: El número π. Varias actividades para realizar en el aula serían mido “mi cuerpo” o eurobingo.

3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

De la necesidad primitiva de contar y expresar el resultado del recuento surgen los primeros sistemas de numeración. Cuanto más avanzado era el grupo humano, más sofisticados eran sus modos de representar y manejar números: ►Representación simple: -Es el sistema de numeración más primitivo y más sencillo. -Está basado en la realización de correspondencias uno a uno. -Los materiales manipulativos fueron los primeros instrumentos que sirvieron al hombre para cuantificar su realidad. -Es idéntico a lo que ocurre en el niño/a que aún no ha alcanzado la noción abstracta de número y se vale de los dedos para expresar cantidades pequeñas.

►Agrupamientos: - Civilizaciones antiguas se percataron de que era demasiado dificultoso escribir tantos palotes como objetos a cuantificar: agrupamiento o base. - Agrupando los objetos por conjuntos, conseguir aumentar considerablemente el número de objetos contados. - La base cinco fue tomada por pueblos que aprendieron a contar con una sola mano. La base diez, por su parte, fue la más difundida de todas y su adopción es hoy día casi universal. Ejemplos de estos sistemas de numeración de agrupamiento múltiples son el egipcio y el romano: El principio fundamental es el número como resultado de sumar los valores de los signos escritos. Sistema de numeración egipcio: - Ante la necesidad de escribir los números de forma simbólica, surge la posibilidad de designar las unidades de distinto orden con un signo. - Utiliza la base 10 y símbolos para la unidad, para diez, para cien y para mil.

Sistema de numeración romano: - Tiene también como base el número 10 utiliza los siguientes símbolos: I para la unidad, X para diez, C para cien, M para mil, etc. - Utiliza, además, signos intermedios: V para cinco, L cincuenta y D quinientos. Clasificación los sistemas de numeración en dos grandes tipos: a) Sistemas de numeración no posicionales: - El valor de los símbolos que componen el sistema es fijo y no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del número.- El sistema de los números egipcios y romanos es un sistema no posicional.- Es muy complejo diseñar algoritmos de uso general (por ejemplo, para sumar, restar, multiplicar o dividir). - Los sistemas de numeración no posicionales fueron muy prácticos, pero satisfacían únicamente el conteo; tenían grandes limitaciones en cuanto al cálculo.

b) Sistemas de numeración posicionales: - Los sistemas de numeración usados en la actualidad son posicionales.- El valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado como de la posición que ese símbolo ocupa en el número. - El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior. - En nuestro sistema de numeración posicional y decimal (SND), esta base es diez.Los distintos órdenes son las sucesivas potencias de diez, que reciben nombres especiales: unidad, decena, centena..., etc. A este primer principio se le une un segundo, el posicional.

El sistema de numeración decimal presenta las siguientes características fundamentales: - La base del sistema es diez y se escribe 10, un grupo de diez unidades y cero unidades sin agrupar. - Todo número es suma de potencias de la base. - Adopta un símbolo específico para cada uno de los números inferiores a la base llamados cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 y 9. - Una cifra a la izquierda de otra representa potencias de la base inmediatamente superiores. - Cada cifra presenta dos valores, uno según su forma y otro por el lugar que ocupa, de modo que la primera de la derecha expresa unidades de primer orden (unidades), la segunda unidades de segundo orden (decenas), la tercera de orden tres (centenas)... etc. - Para expresar la ausencia de unidades de algún orden se emplea la cifra cero, 0. Un aprendizaje profundo y reflexivo de las nociones de valor posicional y agrupamiento permitirán el desarrollo del cálculo. Como recurso para poner en práctica dichos contenidos nombramos el Proyecto Gauss del Ministerio de Educación.

4. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS.

Siguiendo la teoría de conjunto, estudiada por Piaget, en los grupos de números se pueden establecer relaciones de equivalencia y relaciones de orden entre los números. Según Santamaría (1995) las relaciones de equivalencia y de orden cumplirían las siguientes propiedades: a) Relaciones de equivalencia: supone establecer las relaciones entre varios elementos de un mismo conjunto caracterizados por ser iguales o equivalentes. Por ejemplo, se podría aplicar a las fracciones: 5/2, 10/4 y 20/8. 1. Propiedad reflexiva: “a” es igual a sí mismo. 2. Propiedad simétrica: “a” es igual a “b” y “b” es igual a “a”. 3. Propiedad transitiva: “a” es igual a “b” y “b” es igual a “c”, entonces, “a” es igual a “c”.

b) Relaciones de orden: supone establecer relaciones de orden entre los elementos de un mismo conjunto. Por ejemplo, entre los números 5, 15, 25, se podría establecer la relación ser igual o más grande que: 1. Propiedad reflexiva: “a” es igual de grande que “a” 2. Propiedad antisimétrica: “b” es más grande que “a” 3. Propiedad transitiva: “a” es más grande que “b”, “b” es más grande que “c”, por lo tanto, “a” es más grande que “c” Teniendo en cuenta la inclusión de los números naturales (N), en los números enteros (Z), los enteros como parte de los racionales (Q) y todos ellos dentro de los reales ®, en la Primaria se trabajarán los siguientes tipos de relación: - Mayor o menor que - Igual que - Múltiplos de - Divisores de - Equivalencia entre fracciones - La raíz cuadrada de los números como lo contrario de las potencias - La suma de números como lo contrario de la resta - La división de los números como lo contrario a la multiplicación. - La multiplicación como la suma de las mismas cantidades “n” veces. - La potencia como la multiplicación del mismo número “n” veces. - Los números primos como números que sólo se pueden dividir por sí mismos y por 1. - El concepto de doble o triple, mitad …

5. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA).

A medida que el alumnado en las primeras etapas de primaria comprende el significado de los números naturales y sus relaciones, , es necesario que desarrollen de manera comprensiva el significado de las operaciones aritméticas. Para ello, la práctica de la numeración en el aula debería centrarse en estrategias de cálculo que desarrollen la flexibilidad y la fluidez. La capacidad operatoria del alumnado refleja la evolución interna de sus posibilidades mentales. Va desde operaciones concretas, relacionadas con los objetos y su manipulación, hasta las operaciones formales, asociadas a la formulación y a la verificación de hipótesis. CE nº1: “Interpretar situaciones de la vida cotidiana proporcionando una representación matemática de las mismas mediante conceptos, herramientas y estrategias para analizar la información más relevante”.

5.1. OPERACIONES DE CÁLCULO.La noción de operación y la concreción de la misma en operaciones aritméticas se convierten en los instrumentos para la resolución de los problemas de la vida cotidiana que nos hace utilizar el conocimiento matemático, siendo herramientas para el desarrollo de las competencias clave. Gran parte de la matemática escolar está dedicada a enseñar a los alumnos y alumnas cómo realizar los cálculos con las cuatro operaciones básicas, al estudio de los algoritmos de cálculo. Lo característico de los algoritmos es la repetición de una serie de pasos elementales y sencillos de recordar (Roa, 2001). A. Algoritmo de la suma. Es necesario, como mínimo, tener un conocimiento de la estructura del sistema de numeración decimal y de cómo se cuentan los objetos. Más tarde facilitará el conocimiento de las sumas básicas, la tabla de sumar y las propiedades conmutativa y asociativa.

Propiedades de la suma: • Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo: 4+2 = 2+4 • Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo: (2+5) + 4= 2 + (5+4) • Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo: 4 x (7+3) = 4 x 7 + 4 x 3 • Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original.

B. Algoritmo de la resta. Como ocurre con el algoritmo de la suma, para lograr una correcta comprensión de este algoritmo es necesario, como mínimo, un conocimiento de la estructura del sistema de numeración decimal y una cierta habilidad en el conteo. Además, el conocimiento de las sumas básicas, la tabla de sumar, el dominio del contar descendente y del doble conteo, simultáneo, ascendente y descendente facilitará el proceso. El algoritmo se complica cuando algún dígito del minuendo es menor que el correspondiente del sustraendo. Para resolver esta situación es imprescindible conocer que la regla de formación de una unidad de un determinado orden, a partir de diez unidades del orden inmediato inferior, es reversible en el sentido de que pueden obtenerse diez unidades de un determinado orden a partir, por “rotura”, de una unidad de orden inmediato superior. Propiedades de la resta: Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a-0=a

C. Algoritmo de la multiplicación. Para lograr una satisfactoria comprensión del algoritmo es necesario, como mínimo, conocer la estructura del sistema decimal de numeración, la descomposición de números, un cierto dominio de los productos básicos (la llamada tabla de multiplicar) y de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Esto permitirá agilizar cálculos y evitar errores. Propiedades de la multiplicación: • Propiedad conmutativa: El producto de dos números es el mismo independientemente del orden en que se coloquen los factores. Escrito en forma simbólica: a x b = b x a. • Propiedad asociativa: Forma 1: (a x b) x c multiplicando los dos primeros a x b y lo que resulte por el tercero c.; y Forma 2: a x (b x c) multiplicando los dos últimos b x c y lo que resulte por el primero, a; en ambos casos se obtiene el mismo resultado. • Propiedad distributiva: Multiplicación de un número por la suma de otros dos. Se obtiene el mismo resultado si sumamos primero los dos números y multiplicamos la suma por el factor, que si multiplicamos primero cada uno de los sumandos y sumamos los dos resultados obtenidos en los productos. La expresión mediante símbolos es: a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

D. Algoritmo de la división. El algoritmo de la división difiere del resto de los algoritmos tanto en la colocación de los números como en el sentido en que se realizan las operaciones y, además, el resultado no es un número sino dos (cociente y resto). Para alcanzar una aceptable comprensión del algoritmo se necesita conocer la estructura del sistema decimal de numeración, sumar, restar y multiplicar. Facilitará el proceso la posesión de técnicas de redondeo y estimación, así como la habilidad en el cálculo mental y, en particular, el dominio de la tabla de multiplicar. El algoritmo de la división se suele tratar en un contexto de reparto y en él va a ser fundamental saber, en cada momento, de qué tipo son las unidades que se están manejando, de cuantas unidades de un determinado orden se va disponer cuando no tenga suficientes del orden inmediato superior para repartir y estar siempre pendiente de repartir la mayor cantidad posible de las unidades de que se trata para que cada resto parcial sea menor que el divisor. Propiedades de la división: Elemento neutro: 1. Para cualquier número a, a:1=a

5.2. PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA). A. Cálculo escrito. Las operaciones de un solo dígito están íntimamente ligadas al concepto de cada operación concreta y sus resultados recogidos en las tablas (de sumar y multiplicar) los aprendemos de memoria en la etapa escolar. Los algoritmos permiten extender las operaciones entre números de una sola cifra a números de más de una cifra (Roa, 2001). Un algoritmo posee algunas propiedades: nitidez, eficacia o universalidad. En cuanto a la disposición de los números para el algoritmo, éstos se colocan verticalmente, justificados a la derecha, excepto en la división en que se colocan uno junto a otro y separados por una caja. Se opera de derecha a izquierda, excepto en la división, en que se hace de izquierda a derecha.

Para asimilar los algoritmos escritos usuales de las operaciones aritméticas se utilizan materiales estructurados. El algoritmo aparece en el momento en que el aprendiz es capaz de trabajar con los números en forma simbólica y manipular dichos símbolos, en lugar de hacerlo físicamente con los objetos (Roa, 2001). Entre estos materiales tenemos: objetos sueltos presentados en distintos órdenes de unidades (caramelos, bolsas de caramelos, cajas de bolsas, etc.), bloques multibase, ábacos y el tablero de valor de posición. Pautas a tener en cuenta: ●En la suma: - Los términos de la suma se llaman sumandos. - Las sumas de números enteros no tienen el mismo procedimiento que las sumas de números decimales. - Las operaciones de sumas de fracciones dependerán de si el denominador es común o diferente. - Se irá trabajando al principio sin llevadas y a posteriori, con llevadas.

●En la resta: - Los términos de la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. - La resta de números enteros no tiene el mismo procedimiento que la resta de los números decimales. - Las operaciones de resta de fracciones dependerán de si el denominador es común o diferente. - Al principio se trabajará con cifras donde el minuendo sea siempre mayor que el sustraendo y más adelante con cifras donde en el minuendo haya cifras menores que en sustraendo, siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo. - Para estos casos se puede trabajar con el método de “tomar prestado” al principio y posteriormente se pasará al “método de las llevadas”

●En la multiplicación: - Los términos de la multiplicación se llaman multiplicando (el número que se suma) y multiplicador (el número de veces que se suma). - El algoritmo de la multiplicación en el número decimal es diferente al del número entero, ya que en el primero de ellos se ha de tener en cuenta el lugar en el que colocamos la “coma”. - El algoritmo de la multiplicación en los números fraccionarios supone multiplicar el denominador de una fracción por el de la otra e igualmente hacer con los numeradores. - En cualquier caso, el algoritmo de la multiplicación requiere previamente el dominio de las tablas de multiplicar. - El procedimiento comenzará con multiplicaciones sencillas por una cifra, posteriormente lo realizaremos con las “llevadas” y posteriormente se seguirá con la multiplicación por varias cifras.

● En la división: - Los términos de la división son dividendo, divisor, cociente y resto. - La prueba de la división consiste en que el dividendo es igual a la multiplicación del divisor x el cociente + el resto. - El algoritmo de la división supone saber multiplicar, sumar y restar previamente. El momento de la resta se debe realizar visualmente primero y posteriormente se debe tender a la resta a través del cálculo mental. - La división de los números fraccionarios, supone realizar una multiplicación en cruz entre el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda y viceversa. - La división de los números decimales, tiene unas pautas diferentes a la de los números naturales. - Existen divisiones exactas y divisiones inexactas. A estas últimas, se les pueden extraer decimales. En este momento, destaco un nuevo método que ha suscitado una revolución a lo que a ello se refiere. Este se llama “Algoritmos ABN” basado en una propuesta didáctica para trabajar la numeración y las operaciones. Se llama Algoritmo Abierto Basado en Números creado por Jaime Martínez Montero, en contraposición a los algoritmos tradicionales, basados en cifras. Además, no tienen una única forma de resolverse, sino que se adaptan a las capacidades del estudiante.

B. Cálculo mental. Siguiendo a Gómez (1993) no es posible una buena destreza en el cálculo mental si no se dispone de buenos puntos de apoyo. Se efectúa con rapidez, agilidad y sin representación gráfica ni herramientas ni algoritmos. Su valor emana de la utilidad y capacidad que desarrolla el individuo, normalmente en el uso de números sencillos. Muchas operaciones de la vida diaria son mentales logrando concentración, atención, flexibilidad y reflexión al operar. Las bases del cálculo mental son: dominio de la secuencia contadora, de las combinaciones aritméticas esenciales y de estrategias para operar en el cálculo mental aditivo y multiplicativo. Se recomienda, por dos razones principales: la primera porque favorece el cálculo reflexivo y razonado, y la segunda porque es un auxiliar recomendado, para prever y anticipar un resultado numérico complejo. Las bases del cálculo mental son el dominio de la secuencia contadora y de las combinaciones aritméticas básicas. Se hace necesario el aprendizaje de una serie de métodos y estrategias que permitan al alumno operar tanto en el cálculo mental aditivo como en el multiplicativo y reflexionar sobre ellas para elegir la más adecuada.

Según Gómez (1993) no es posible una buena destreza de cálculo si no se dispone de buenos puntos de apoyos. Podemos distinguir: - De Sumas: basados en la descomposición de uno o varios sumandos. *Convirtiendo en 10 uno de los sumandos, apropiado para la suma de un solo dígito. Ejemplo: 9 + 7 = 10 + 6= 16 *Separando las distintas unidades en cada sumando, apropiado para sumar dos dígitos. Ejemplo: 24+ 63 = (20 + 60) + (4 + 3) = 80 + 7 = 87 *Descomponiendo sólo uno de los sumandos. Ejemplo: 5321+2475= (5000+2475) + 321 = 7475 + 321= 7000 + (400 +300) + (70 + 20) + (5 + 1) = 7000 + 700 + 90 + 6 = 7796 - De Restas: *Recorriendo distancias: Basados en recorrer directamente el camino de un número a otro, ya sea del sustraendo al minuendo (456-125, de 125 a 200 van 75, de 200 a 456 van 256; 256+75), o al revés. *Descomponiendo: o Ambos términos: 856 – 237 = (800- 200) + (56- 37) = 600 + 19 = 619 o Un solo término: 856- 237 = (856- 200)- 37 = 656- 37 = 619

Tal y como se puede apreciar en la Orden 30 de enero de 2023, el currículo de primaria a medida que avanza se va incrementado la dificultad en rapidez y en complejidad. No obstante, el cálculo mental al estar estrechamente ligado al aprendizaje de todos los contenidos del área de matemática, dispone de infinidad de situaciones para ser trabajado y perfeccionado. MÉTODO QUIZET (LLUÍS SEGARRA)

C. Estimación. Segovia y Castro (2009) lo definen como el juicio de valor del resultado de una operación numérica o de medida de una cantidad, en función de circunstancias individuales del que lo emite. Hay situaciones en las que no es posible o no es necesario obtener de manera exacta el cardinal de una colección y nos conformamos con una aproximación. Aparecen así dos tipos de estimación: - Estimación en cálculo: se refiere únicamente a las operaciones aritméticas y a los juicios que pueden establecerse sobre los resultados. - Estimación en medida: son los juicios que pueden establecerse sobre el valor de una determinada cantidad o bien la valoración que nos merece el resultado de una medida.

Estos mismos autores señalan como características de la estimación, las siguientes: - Consiste en valorar la cantidad o el resultado de una operación. - El sujeto que debe hacer la valoración tiene alguna información, referencia o experiencia sobre la situación que debe enjuiciar. - La valoración se realiza por lo general de forma mental. - Se hace con rapidez y empleando números lo más sencillos posibles. - El valor asignado no tiene que ser exacto, pero sí adecuado para tomar decisiones. - El valor asignado admite distintas aproximaciones, dependiendo de quién realice la valoración. Y sostienen que hay dos razones fundamentales para la incorporación de la estimación al currículo escolar: su utilidad práctica y la completa formación de los estudiantes. Algunas actividades serían la estimación del gasto del agua, el material para hacer un disfraz, el nº de lectores del colegio o el coste del viaje de fin de curso.

D. Calculadora. Según la RAE, la calculadora es un aparato o máquina que por un procedimiento mecánico o electrónico obtiene el resultado de cálculos matemáticos, relacionado con la competencia digital. La calculadora es un recurso didáctico extraordinariamente útil que permite simplificar algunas tareas y, además, motivar a los alumnos/as, sin embargo, no debe sustituir al cálculo escrito y mental que el alumno/a debe ejercitar. La calculadora forma parte de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en Educación Primaria. Siguiendo a Godino (2002), la responsabilidad del docente es planificar cuándo y cómo usarla. La utilidad principal de la calculadora es el conocimiento de sus teclas a partir de ejercicios sencillos a la vez que puede utilizarse en tareas exploratorias y de investigación, para verificar resultados o en la corrección de errores, así como para la comprobación de un cálculo mental efectuado previamente. Pero nunca para operar con magnitudes y tamaños que se puedan hacer mentalmente con facilidad.

Para usar la calculadora en clase debemos, tener en cuenta una serie de tres consejos básicos: • Utilizaremos las calculadoras simples, con las cuatro operaciones elementales, la raíz cuadrada, el tanto por ciento, el punto decimal, el igual, las teclas de memorias y las teclas de borrado. • Por otro lado, deben ser todas iguales, para evitar perder el tiempo en las características particulares de cada una. • Usarse cuando los alumnos/as hayan sistematizado las operaciones o cuando el objetivo de la actividad no esté en el cálculo sino en el procedimiento que nos lleve al aprendizaje de nuevos contenidos. Algunas actividades con la calculadora pueden ser: • Adiestramiento en el manejo de teclas individuales. • Adiestramiento en operaciones combinadas. • Operaciones repetitivas tediosas. • Investigaciones de patrones numéricos. • Investigaciones orientadas al resultado. • Investigaciones orientadas a las operaciones. • Tablas de funciones elementales. • Generalizaciones. • Estimaciones. • Investigaciones sobre los límites de la calculadora. La web “matemáticas divertidas” desarrolla actividades como “calcu-palabras”

6. INTERVENCIÓN EDUCATIVA.

Artículo 6 del Decreto 101/23 sobre los principios pedagógicos de la etapa, las propuestas de intervención educativa girarán en torno a: . . . . . . . . ........ (COMODÍN)

Orden de 30 de mayo 2023. 1) El área debe abordarse de forma eminentemente experiencial, concediendo especial relevancia a la manipulación, especialmente en los primeros niveles, e impulsando progresivamente la utilización continua de recursos digitales, proponiendo al alumnado ejercicios, actividades, tareas, etc., que propicien la reflexión, el razonamiento, el establecimiento de conexiones, la comunicación y la representación.2) El uso de los materiales lúdicos y actividades de alto impacto emocional, como son los juegos de magia educativa, los juegos de mesa y los materiales manipulativos, están orientados a despertar la atención y el interés del alumnado, de manera que sirvan de elemento motivador del aprendizaje de determinados saberes básicos, llevando espontáneamente a la investigación y exploración, favoreciendo la reflexión, la crítica, la elaboración de hipótesis y la tarea investigadora a una edad temprana como es Educación Primaria.

En términos generales, el concepto de número y de cálculo se irá construyendo siguiendo la siguiente secuencia:

En este momento, destacamos que: • Interesa principalmente la habilidad para el cálculo con diferentes procedimientos y la decisión en cada caso del más adecuado. • Más importante que el ejercicio de destrezas basadas en cálculos descontextualizados es relacionar las distintas formas de representación numérica con sus aplicaciones, especialmente en lo que concierne a la medida de magnitudes, y comprender las propiedades de los números para poder realizar un uso razonable de las mismas. • La construcción de los distintos tipos de números y del sistema decimal como base de nuestro sistema de numeración, debe ser desarrollada de forma contextualizada buscando preferentemente situaciones cercanas a las niñas y niños, usando materiales manipulables específicos: regletas de Cuisenaire, bloques multibase, multicubos, etc. Dentro de este proceso de construcción se irán desarrollando, de forma paralela e interrelacionada, las operaciones aritméticas.

• Es conveniente que los alumnos y alumnas manejen con soltura las operaciones básicas con los diferentes tipos de números, tanto a través de algoritmos de lápiz y papel como con la calculadora. Asimismo, es importante que el alumnado utilice de manera racional estos procedimientos de cálculo, decidiendo cuál de ellos es el más adecuado a cada situación y desarrollando paralelamente el cálculo mental y razonado y la capacidad de estimación, lo que facilitará el control sobre los resultados y sobre los posibles errores en la resolución de problemas. • Los problemas aritméticos escolares no deben ser entendidos como un instrumento de comprobación del manejo de las operaciones elementales sino como un recurso fundamental para la comprensión de los conceptos de suma, resta, multiplicación y división. El alumno o la alumna sabrá sumar cuando sea capaz de resolver una situación problemática en la que la suma sea la operación que deba usarse. Los problemas aritméticos se graduarán pasando de situaciones que se resuelven en una etapa a aquellas de dos o tres etapas; además, deberán tener en cuenta las diferentes categorías semánticas y graduarse en función de su dificultad.

• Los números han de ser usados en diferentes contextos: juegos, situaciones familiares y personales, situaciones públicas, operando con ellos reiteradamente, sabiendo que la comprensión de los procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo y prioritario respecto a la propia destreza en el cálculo y la automatización operatoria. De forma especial, el número ha de ser usado en la construcción de la idea de magnitud: longitud, peso-masa, tiempo y sistema monetario. En el proceso de construcción es fundamental el uso de materiales manipulables específicos para la realización de mediciones y la experimentación. En este sentido, se hará uso de magnitudes y aparatos de medida que se emplean en el contexto familiar (cinta métrica, balanza de cocina, termómetro clínico, vasos medidores, etc.).

7. CONCLUSIÓN.

Todo ello debe desarrollarse mediante un triple enfoque en el aprendizaje de las matemáticas en esta etapa educativa que nunca debe perderse de vista: se aprende matemáticas porque son útiles e incluso imprescindibles para la vida cotidiana y para el desarrollo de las actividades profesionales y de todo tipo; porque nos ayudan a comprender la realidad que nos rodea; y también, porque su aprendizaje contribuye a la formación intelectual general potenciando las capacidades cognitivas de niños y niñas. Cid y Godino (2004): “formar a la ciudadanía en el aula de matemáticas implica un docente reflexivo, crítico y socioculturizador, capaz de asumir la integración de saberes no exclusivamente disciplinares”. Una persona matemáticamente competente es aquella que comprende los contenidos y procesos matemáticos básicos, los interrelaciona, los asocia adecuadamente a la resolución de diversas situaciones y es capaz de argumentar sus decisiones. Conseguir esta madurez es un proceso largo y costoso. Es necesario ir trabajando las matemáticas por medio de una variedad de experiencias que desarrollen en el alumnado capacidades que le permitan proyectar sus conocimientos más allá de las situaciones netamente escolares (Echenique, 2006).

En síntesis, el aprendizaje de los números y las operaciones aritméticas son fundamentales para el individuo, la sociedad, la ciencia y la vida cotidiana. Para Carl Friedrich Gauss (uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia): “La matemática es la reina de las ciencias”.

8. BIBLIOGRAFÍA.

- CASTRO, E. (2001). Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis. - CARRILLO (2016). Didáctica de las matemáticas para maestros de educación primaria. Madrid: Parainfo. - CID Y GODINO (2004). Didáctica de las matemáticas. Madrid: Paradigma. - CORIAT, M. (2001). Materiales didácticos y recursos. En E. Castro (Ed.). Didáctica de la matemática en Educación Primaria. Madrid: Síntesis. - ECHENIQUE, I. (2006). Matemáticas resolución de problemas. Navarra: Gobierno de Navarra. Departamento de Educación. - GODINO, J. (coordinador) (2002). Matemáticas y su Didáctica para Maestros. Granada: Proyecto Educamat-Maestros. - GÓMEZ, B. (1993). Numeración y Calculo. Madrid. Síntesis - RIGAL, R. (2006). Educación Motriz y Educación Psicomotriz en Preescolar y Primaria. Barcelona: Inde. - ROA, R. (2001). Algoritmos de Cálculo. En E. Castro (Ed.). Didáctica de la matemática en Educación Primaria. Madrid: Síntesis. - SANTAMARÍA, C. (1995). Diccionario de Matemáticas de Educación Primaria y Secundaria. Madrid: Escuela Española.

- SEGOVIA, I. Y CASTRO, E. (2009): La estimación en el cálculo y en la medida: fundamentación curricular e investigaciones desarrolladas en el departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada. Granada: Universidad de Granada. REFERENCIAS LEGISLATIVAS. - Ley Orgánica 3/2020, de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. - Ley 12/2007, de 26 de noviembre, para la promoción de la igualdad de género en Andalucía - Ley 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación de Andalucía. - Real Decreto 157/2022, de 1 de marzo, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria. - Decreto328/2010, de 13 de julio, por el que s e aprueba el Reglamento Orgánico de las escuelas infantiles de segundo grado, de los colegios de educación primaria, de los colegios de educación infantil y primaria, y de los centros públicos específicos de educación especial. - Decreto 101/2023, de 9 de mayo, por el que se establece la ordenación y el currículo de la etapa de Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de Andalucía. - Orden de 30 de mayo de 2023, ......

REFERENCIAS WEB. - https://intef.es/ - http://www.elquinzet.com/ - http://www.escolar.com - http://www.docentes.com - http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos/área_matemáticas