Gli enti geometrici
Percorso dagli enti geometrici ai postulati di Euclide, attraversando alcune delle parti della geomtria euclidea.
Che cos'é un ente?
Un ente è un aspetto, un elemento della geometria che ha delle proprietà, delle caratteristiche.
In geometria, ci sono tre enti primitivi: il punto, la retta e il piano. Perché si chiamano primitivi? Perché non possono essere definiti.
punto -> non ha estensione e non ha dimensioni. Si indica con la lettera maiuscola dell'alfabeto.
...
...
retta -> è una linea speciale che ha una sola dimensione, la lunghezza, ed è un insieme infinito di punti. Le rette si indicano con le lettere minuscole dell'alfabeto. Può essere tracciata in modo orizzontale, verticale o obliquo.
...
...
...
...
La retta però, possiede anche altre caratteristiche:
- esistono infinite rette; - punti appartenenti alla stessa retta si dicono allineati;
- due punti distinti A e B determinano una ed una sola retta; - due rette distinte hanno un solo punto in comune;
- due rette con un solo punto in comune si dicono incidenti; - due rette che sono incidenti e dividono il piano in quattro parti uguali, si chiamano perpendicolari; - due rette che non hanno punti in comune e restano sempre alla stessa distanza, si chiamano rette parallele;
- la retta è densa. Che significa? Che assegnati due punti A e B su una retta, esistono infiniti punti della retta compresi tra A e B.
Il pavimento su cui camminiamo può rappresentare un piano, cioè una base sulla quale possiamo muoverci e posizionarci all'interno di esso.
Il piano ha due dimensioni e si estende in maniera indefinita.
Allo stesso modo, anche i punti, le rette si possono muovere liberamente nel piano.
Può essere anche inclinato e questa inclinazione prende il nome di giacitura. I piani si indicano con le lettere minuscole dell'alfabeto greco.
ATTIVITà DA SVOLGERE IN CLASSE
Inserire negli appositi cestini le fotografie che rappresentano il punto, la retta e il piano.
PIANO
RETTA
PUNTO
obiettivo: saper distinguere e riconoscere gli enti geometrici.
ATTIVITà DA SVOLGERE IN MANIERA INTERATTIVA
https://wordwall.net/it/resource/71966891
obiettivo: saper classificare gli enti geometrici.
ATTIVITà DA SVOLGERE IN MANIERA INTERATTIVA
obiettivo: saper classificare gli enti geometrici.
La semiretta
Fissato un punto O sulla retta, in quante parti abbiamo diviso la retta? 2. Si dice semiretta l'insieme dei punti compresi tra il punto O e il resto della retta che precede o segue il punto stesso.
In termini più semplici, una semiretta, ha un inizio espresso dal punto O, ma non ha una fine.
Le due semirette generate naturalmente dalla scelta di un punto O su di una retta vengono dette semirette opposte.
il segmento
Un segmento che ha estremi A e B è un sottoinsieme di una retta s formato dai punti A e B e di tutti i punti infiniti compresi tra di essi.
Due segmenti si dicono consecutivi se hanno in comune un estremo e nessun altro punto
Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e si trovano sulla stessa retta
Il punto medio di un segmento è il punto che divide il segmento in due parti uguali.
Disegniamo due semirette coincidenti:
Le due semirette hanno quindi un punto d'origine in comune (O).
Questo disegno rappresenta il concetto di angolo. L'angolo è ciascuna delle due parti del piano, diviso da due semirette che hanno la stessa origine.
Le due semirette si chiamano lati dell'angolo; il punto in comune invece, si chiama vertice.
L'angolo convesso è quello che non contiene (nel suo spazio interno) i prolungamenti dei suoi lati; è un angolo minore di 180°
L'angolo concavo è quello che contiene i prolungamenti dei suoi lati; è un angolo maggiore di 180°.
Se due angoli si trovano uno accanto all'altro e hanno il vertice e un lato in comune, si chiamano angoli consecutivi.
Se due angoli invece, sono consecutivi e quindi non hanno lati in comune, perchè sono semirette opposte, si chiamano angoli adiacenti.
Si chiamano angoli opposti al vertice se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l'angolo in due parti uguali, congruenti.
Angolo giro: parte concava dell'angolo che ha per lati due semirette coincidenti (si trovano una sopra l'altra). Misura 360°
Angolo piatto: i suoi lati sono semirette opposte. Misura 180°
Angolo retto: metà di un angolo piatto. Misura 90°
Tutti gli angoli che hanno una misura ben precisa e che sono minori di 90°, si dicono angoli acuti; se misurano più di 90° si dicono angoli ottusi.
Angolo nullo -> la parte convessa dell'angolo che ha per lati due semirette coincidenti. Misura 0°.
Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto. Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro.
Come facciamo a capire se due angoli sono uguali (hanno la stessa ampiezza) o diversi?
Attraverso la sovrapposizione degli angoli con la carta lucida.
2.
1.
Come facciamo a capire se due angoli sono uguali (hanno la stessa ampiezza) o diversi?
Attraverso la sovrapposizione degli angoli con la carta lucida.
4.
3.
In questo caso, l'angolo BETA risulta essere maggiore dell'angolo ALFA.
La poligonale
Una poligonale può essere anche intrecciata, quando almeno due lati non consecutivi (non accanto all'altro) si intersecano.
Una poligonale è una figura formata da un insieme di segmenti consecutivi, appartenenti allo stesso piano.
La poligonale può essere chiusa, se il primo punto coincide con l'ultimo, o aperta, se il primo e l'ultimo punto non sono uniti.
Che tipo di figura è questa?
è una poligonale chiusa non intrecciata. Viene chiamata poligono.
Che significa poligono? Dal greco, il poligono indica una figura con molti angoli (poli e gonos). Un poligono quindi, è una parte del piano formata da una linea spezzata chiusa.
Anche un poligono può essere concavo o convesso:
concavo, se esiste almeno un segmento che unisce due punti che non è contenuto interamente nella figura.
convesso, se qualunque segmento che unisce due suoi punti è contenuto interamente nella figura.
Il perimetro di un poligono è la somma della misura di tutti i suoi lati. Due poligoni sono detti isoperimetrici se hanno i perimetri congruenti.
POLIGONI SPECIALI
Triangolo isoscele triangolo che ha due lati congruenti.
Triangolo equilatero triangolo che ha tutti e tre i lati congruenti.
Triangolo poligono con tre lati e tre angoli.
Triangolo scaleno triangolo che ha tutti e tre i lati diversi.
triangolo rettangolo -> ha un angolo retto
triangolo ottusangolo -> ha un angolo ottuso
triangolo acutangolo -> ha i tre angoli acuti
Altri poligoni speciali: i quadrilateri
rombo: quadrilatero con quattro lati congruenti e gli angoli opposti uguali
trapezio: quadrilatero con due lati paralleli che vengono definite basi del trapezio.
poligono avente quattro lati e quattro angoli.
quadrato: quadrilatero con quattro angoli e quattro lati congruenti. Si definisce poligono regolare
parallelogrammo: quadrilatero con i lati paralleli; sia i lati, ma anche gli angoli opposti sono uguali
rettangolo: quadrilatero con quattro angoli retti e i lati a due a due paralleli
Attività interattiva: il TANGRAM
obiettivo: conoscere i poligoni e saperli maneggiare per realizzare nuovi elementi, favorendo la libertà di costruzione
I cinque postulati di Euclide
ma cosa sono i postulati?
ma soprattutto... chi è Euclide?
I postulati I postulati sono delle frasi matematiche che sono sempre vere e non hanno bisogno di una dimostrazione.
Euclide Euclide è stato un matematico molto importante, autore di un'opera ("Elementi") che per due millenni ha rappresentato il testo di riferimento per eccellenza del pensiero matematico dell'epoca. Lo stesso Euclide ha ideato cinque diversi postulati:
I postulato "Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta"
II postulato "La linea retta si può prolungare indefinitamente" - cioè in maniera infinita
III postulato Dato un punto e una lunghezza, è possibile circoscrivere un cerchio
IV postulato Tutti gli angoli retti sono uguali, hanno la stessa ampiezza (90°)
V postulato "Due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui somma è minore di un angolo piatto".
La trasversale è una retta che interseca, taglia una coppia o un gruppo di rette
per l'attenzione!
Lavoro svolto da:Dinardo Vittoria, matricola 64483
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Seminario Geometria
Vittoria Dinardo
Created on April 11, 2024
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Gli enti geometrici
Percorso dagli enti geometrici ai postulati di Euclide, attraversando alcune delle parti della geomtria euclidea.
Che cos'é un ente?
Un ente è un aspetto, un elemento della geometria che ha delle proprietà, delle caratteristiche.
In geometria, ci sono tre enti primitivi: il punto, la retta e il piano. Perché si chiamano primitivi? Perché non possono essere definiti.
punto -> non ha estensione e non ha dimensioni. Si indica con la lettera maiuscola dell'alfabeto.
...
...
retta -> è una linea speciale che ha una sola dimensione, la lunghezza, ed è un insieme infinito di punti. Le rette si indicano con le lettere minuscole dell'alfabeto. Può essere tracciata in modo orizzontale, verticale o obliquo.
...
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La retta però, possiede anche altre caratteristiche:
- esistono infinite rette; - punti appartenenti alla stessa retta si dicono allineati;
- due punti distinti A e B determinano una ed una sola retta; - due rette distinte hanno un solo punto in comune;
- due rette con un solo punto in comune si dicono incidenti; - due rette che sono incidenti e dividono il piano in quattro parti uguali, si chiamano perpendicolari; - due rette che non hanno punti in comune e restano sempre alla stessa distanza, si chiamano rette parallele;
- la retta è densa. Che significa? Che assegnati due punti A e B su una retta, esistono infiniti punti della retta compresi tra A e B.
Il pavimento su cui camminiamo può rappresentare un piano, cioè una base sulla quale possiamo muoverci e posizionarci all'interno di esso.
Il piano ha due dimensioni e si estende in maniera indefinita.
Allo stesso modo, anche i punti, le rette si possono muovere liberamente nel piano.
Può essere anche inclinato e questa inclinazione prende il nome di giacitura. I piani si indicano con le lettere minuscole dell'alfabeto greco.
ATTIVITà DA SVOLGERE IN CLASSE
Inserire negli appositi cestini le fotografie che rappresentano il punto, la retta e il piano.
PIANO
RETTA
PUNTO
obiettivo: saper distinguere e riconoscere gli enti geometrici.
ATTIVITà DA SVOLGERE IN MANIERA INTERATTIVA
https://wordwall.net/it/resource/71966891
obiettivo: saper classificare gli enti geometrici.
ATTIVITà DA SVOLGERE IN MANIERA INTERATTIVA
obiettivo: saper classificare gli enti geometrici.
La semiretta
Fissato un punto O sulla retta, in quante parti abbiamo diviso la retta? 2. Si dice semiretta l'insieme dei punti compresi tra il punto O e il resto della retta che precede o segue il punto stesso.
In termini più semplici, una semiretta, ha un inizio espresso dal punto O, ma non ha una fine.
Le due semirette generate naturalmente dalla scelta di un punto O su di una retta vengono dette semirette opposte.
il segmento
Un segmento che ha estremi A e B è un sottoinsieme di una retta s formato dai punti A e B e di tutti i punti infiniti compresi tra di essi.
Due segmenti si dicono consecutivi se hanno in comune un estremo e nessun altro punto
Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e si trovano sulla stessa retta
Il punto medio di un segmento è il punto che divide il segmento in due parti uguali.
Disegniamo due semirette coincidenti:
Le due semirette hanno quindi un punto d'origine in comune (O).
Questo disegno rappresenta il concetto di angolo. L'angolo è ciascuna delle due parti del piano, diviso da due semirette che hanno la stessa origine.
Le due semirette si chiamano lati dell'angolo; il punto in comune invece, si chiama vertice.
L'angolo convesso è quello che non contiene (nel suo spazio interno) i prolungamenti dei suoi lati; è un angolo minore di 180°
L'angolo concavo è quello che contiene i prolungamenti dei suoi lati; è un angolo maggiore di 180°.
Se due angoli si trovano uno accanto all'altro e hanno il vertice e un lato in comune, si chiamano angoli consecutivi.
Se due angoli invece, sono consecutivi e quindi non hanno lati in comune, perchè sono semirette opposte, si chiamano angoli adiacenti.
Si chiamano angoli opposti al vertice se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l'angolo in due parti uguali, congruenti.
Angolo giro: parte concava dell'angolo che ha per lati due semirette coincidenti (si trovano una sopra l'altra). Misura 360°
Angolo piatto: i suoi lati sono semirette opposte. Misura 180°
Angolo retto: metà di un angolo piatto. Misura 90°
Tutti gli angoli che hanno una misura ben precisa e che sono minori di 90°, si dicono angoli acuti; se misurano più di 90° si dicono angoli ottusi.
Angolo nullo -> la parte convessa dell'angolo che ha per lati due semirette coincidenti. Misura 0°.
Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto. Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro.
Come facciamo a capire se due angoli sono uguali (hanno la stessa ampiezza) o diversi?
Attraverso la sovrapposizione degli angoli con la carta lucida.
2.
1.
Come facciamo a capire se due angoli sono uguali (hanno la stessa ampiezza) o diversi?
Attraverso la sovrapposizione degli angoli con la carta lucida.
4.
3.
In questo caso, l'angolo BETA risulta essere maggiore dell'angolo ALFA.
La poligonale
Una poligonale può essere anche intrecciata, quando almeno due lati non consecutivi (non accanto all'altro) si intersecano.
Una poligonale è una figura formata da un insieme di segmenti consecutivi, appartenenti allo stesso piano.
La poligonale può essere chiusa, se il primo punto coincide con l'ultimo, o aperta, se il primo e l'ultimo punto non sono uniti.
Che tipo di figura è questa?
è una poligonale chiusa non intrecciata. Viene chiamata poligono.
Che significa poligono? Dal greco, il poligono indica una figura con molti angoli (poli e gonos). Un poligono quindi, è una parte del piano formata da una linea spezzata chiusa.
Anche un poligono può essere concavo o convesso:
concavo, se esiste almeno un segmento che unisce due punti che non è contenuto interamente nella figura.
convesso, se qualunque segmento che unisce due suoi punti è contenuto interamente nella figura.
Il perimetro di un poligono è la somma della misura di tutti i suoi lati. Due poligoni sono detti isoperimetrici se hanno i perimetri congruenti.
POLIGONI SPECIALI
Triangolo isoscele triangolo che ha due lati congruenti.
Triangolo equilatero triangolo che ha tutti e tre i lati congruenti.
Triangolo poligono con tre lati e tre angoli.
Triangolo scaleno triangolo che ha tutti e tre i lati diversi.
triangolo rettangolo -> ha un angolo retto
triangolo ottusangolo -> ha un angolo ottuso
triangolo acutangolo -> ha i tre angoli acuti
Altri poligoni speciali: i quadrilateri
rombo: quadrilatero con quattro lati congruenti e gli angoli opposti uguali
trapezio: quadrilatero con due lati paralleli che vengono definite basi del trapezio.
poligono avente quattro lati e quattro angoli.
quadrato: quadrilatero con quattro angoli e quattro lati congruenti. Si definisce poligono regolare
parallelogrammo: quadrilatero con i lati paralleli; sia i lati, ma anche gli angoli opposti sono uguali
rettangolo: quadrilatero con quattro angoli retti e i lati a due a due paralleli
Attività interattiva: il TANGRAM
obiettivo: conoscere i poligoni e saperli maneggiare per realizzare nuovi elementi, favorendo la libertà di costruzione
I cinque postulati di Euclide
ma cosa sono i postulati?
ma soprattutto... chi è Euclide?
I postulati I postulati sono delle frasi matematiche che sono sempre vere e non hanno bisogno di una dimostrazione.
Euclide Euclide è stato un matematico molto importante, autore di un'opera ("Elementi") che per due millenni ha rappresentato il testo di riferimento per eccellenza del pensiero matematico dell'epoca. Lo stesso Euclide ha ideato cinque diversi postulati:
I postulato "Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta"
II postulato "La linea retta si può prolungare indefinitamente" - cioè in maniera infinita
III postulato Dato un punto e una lunghezza, è possibile circoscrivere un cerchio
IV postulato Tutti gli angoli retti sono uguali, hanno la stessa ampiezza (90°)
V postulato "Due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui somma è minore di un angolo piatto".
La trasversale è una retta che interseca, taglia una coppia o un gruppo di rette
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Lavoro svolto da:Dinardo Vittoria, matricola 64483
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