TABLAS DE CONTINGENCIA Y DIAGRAMAS DE VENN

Tablas de contingencia

Y DIAGRAMAS DE VENN

Existen varias formas de ver un espacio muestral.

Tabla de contingencia: para la obtención de una tabla de contingencia, primero, los valores para las celdas de la tabla se obtienen subdividiendo el espacio muestral, que en ejemplo anterior fue de 1000 familias de acuerdo con las que plantearon comprar un televisor de pantalla grande y después lo hicieron.

Ej.:

Una segunda forma de presentar el espacio muestral, es por medio de un Diagrama de Venn. Este diagrama representa de forma grafica los diversos eventos como “uniones” e “intersecciones” de círculos.

A U B

En esta presente figura, se muestra un diagrama de venn para una situación con dos variables, donde cada una tiene solamente dos eventos (A y A´, B y B´). El círculo de la izquierda representa todos los eventos que conforman la parte A. El círculo de la derecha representa todos los eventos que conforman la parte B.

A ꓵ B

El área que se encuentra dentro del circulo A, y del circulo B, es la intersección de A y B (se representa como A ꓵ B), ya que forma parte de ambos, A y B. El área total de los dos círculos es la unión de A y B (Se expresa de A U B) contiene todos los resultados que solo forman parte del evento A o del evento B, o que forman parte tanto del A como del B. El área en el diagrama fuera de A U B, contiene los resultados que no forman parte de A ni de B.

Es necesario definir A y B para crear un diagrama de venn. Cualquiera de los eventos se puede definir como A y B, siempre y cuando haya consistencia al evaluar los diversos eventos. En el ejemplo del televisor, podemos definir los eventos como: A =planeó comprar B = realmente compró A´= no planeó comprar B = realmente no compró Al dibujarse el diagrama de venn, debemos determinar el valor de la intersección de A y B para poder dividir el espacio muestral en sus partes.

A´ꓵ B´=650

EJEMPLO

A ꓵ B

A ꓵ B consta de las 200 familias que planearon comprar un televisor y que realmente lo hicieron. La parte restante del evento A (planeó comprar) consta de 50 familias que planearon comprar un televisor, pero que en realidad no lo hicieron. La parte restante del evento B (realmente compró), consta de 100 familias que no planearon comprar un televisor, pero que en realidad lo compraron. Las 650 familias restantes representan aquellas que no planearon comprar un televisor y que en realidad no lo compraron.

200

100

50

A U B= 350

PROBABILIDAD

SIMPLE

La regla más fundamental de las probabilidades es que su valor oscila entre 0 y 1. Un evento imposible tiene la probabilidad de 1 y un evento que ocurrirá con toda certeza tiene la probabilidad de 1.

La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, P(A). Una probabilidad simple con el uso de la estadística es la probabilidad de planear la compra de un televisor (ej. Antes mencionado). ¿Cómo se puede determinar la probabilidad de seleccionar a una familia que haya planeado comprar un televisor?

Así que hay una posibilidad de 0.25 (o 25%) de que una familia haya planeado comprar un televisor.

EJEMPLO

CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE QUE UN TELEVISOR DE PANTALLA GRANDE ADQUIRIDO TENGA UNA FRECUENCIA DE ACTUALIZACIÓN RÁPIDA.

En la encuesta de seguimiento en la sección Uso de la estadística se plantearon preguntas adicionales acerca de las 300 familias que realmente compraron televisores de pantalla grande. En la tabla se observan las respuestas de los consumidores a la pregunta de si el televisor adquirido tenía una frecuencia de actualización rápida y si también compraron un reproductor de discos Blu-ray (BD) en los últimos 12 meses.

Calcule la probabilidad de que al seleccionar al azar a una familia que compró un televisor de pantalla grande, esa familia haya comprado uno con frecuencia de actualización rápida.

SOLUCIÓN

A = compró un televisor con frecuencia de actualización rápida A' = compró un televisor con frecuencia de actualizando estándar B = compró un reproductor de discos Blu-ray (BD) B' = no compró un reproductor de discos Blu-ray (BD)

Hay una probabilidad de 26. 7% de que un televisor de pantalla grande comprado, elegido al azar, tenga frecuencia de actualización rápida.

PROBABILIDAD

CONJUNTA

Mientras que la probabilidad simple o marginal se refiere a la probabilidad de ocurrencia de eventos simples, la probabilidad conjunta se refiere a la probabilidad de una ocurrencia que involucre a dos o más eventos.

Un ejemplo es la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento de una moneda y de obtener cara en el segundo lanzamiento.

Ej. El grupo de individuos que planearon comprar un televisor y que realmente lo compraron, consta solo de los resultados de la celda “sí (planeo comprar) y sí (realmente compró)”. Como este grupo consta de 200 familias, la probabilidad de seleccionar a una familia que planeó comprar un televisor de pantalla y que realmente lo compró es:

EJEMPLO:

Determinación de la probabilidad conjunta de que una familia compró un televisor de pantalla grande con frecuencia de actualización rápida y un reproductor de discos Blu-ray.

En la tabla, las compras están clasificadas con base en el hecho de si los televisores tienen una frecuencia de actualización rápida o una frecuencia de actualización estándar y si la familia compró un reproductor de discos Blu-ray. Calcule la probabilidad de que una familia que compró un televisor de pantalla grande, elija al azar que también haya comprado un televisor con frecuencia de actualización rápida y un reproductor de discos Blu-ray.

SOLUCIÓN

Por lo tanto, existe una probabilidad de 12.7% de que una familia que compró un televisor de pantalla grande elegida al azar, también haya comprado un televisor con frecuencia de actualización rápida y un reproductor de discos Blu-ray.

PROBABILIDAD

MARGINAL

La probabilidad marginal de un evento consta de un conjunto de probabilidades conjuntas. Podemos determinar la probabilidad marginal de un evento en particular utilizando el concepto de probabilidad conjunta que se describió anteriormente.

Si, B consta de los eventos, B1 y B2, entonces P(A), la probabilidad del evento A, consta de probabilidad conjunta de que el evento A ocurra con el evento B1 y de la probabilidad conjunta de que el evento A ocurra con el evento B2.

Por ejemplo:

Para calcular probabilidades marginales se utiliza la ecuación:

Donde B1, B2,.....Bk son k eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos que se definen como sigue: Dos eventos son mutuamente excluyentes si no es posible que ocurran ambos de manera simultánea. Un conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo si debe ocurrir uno de ellos.

REGLA GENERAL DE LA SUMA

REGLA GENERAL DE LA SUMA

La probabilidad de A o B es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B menos la probabilidad de A y B.

Al aplicar la ecuacion al ejemplo, se obtiene el siguiente resultado:

La regla general de la suma consiste en tomar la probabilidad de A y sumarla a la probabilidad de B. y luego restar la probabilidad del evento conjunto A y B de ese total, debido a que el evento conjunto ya fue incluido al calcular la probabilidad de A y la probabilidad de B. Si los resultados del evento "planeó comprar" se suman a los del evento "en realidad compró", el evento conjunto "planeó comprar en realidad compró" ya fue incluido en cada uno de esos eventos simples. Por lo tanto, como este evento conjunto se contó dos veces, debe restarse para obtener el resultado correcto.

EJEMPLO

Uso de la regla general de la suma para las familias que compraron televisor de pantalla grande

En la tabla con base en el hecho de si los televisores tenían una frecuencia de actualización rápida o una frecuencia de actualización estándar, y con base en el hecho de que la familia comprara un reproductor de discos Blu-ray (BD). Calcule la probabilidad de que las familias que compraron un televisor de pantalla grande hayan adquirido un televisor con frecuencia de actualización rápida y un reproductor de BD.

SOLUCIÓN

P (El televisor tenia frecuencia de actualización rápida o compro un reproductor de BD)

Por lo tanto, entre las familias que compraron un televisor de pantalla grande, existe un 50% de probabilidades de que una familia elegida al azar haya adquirido un televisor con frecuencia de actualización rápida o que haya comprado un reproductor de BD.

probabilidad condicional

La probabilidad condicional se refiere a la probabilidad del evento A, dada información acerca de la ocurrencia de otro evento, B.

PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de A dada B es igual a la probabilidad de A y B dividida entre la probabilidad de B.

La probabilidad de B dada es igual a la probabilidad entre la probabilida de A.

Dónde: P(A y B)=probabilidad conjunta de A y B P(A)=probabilidad merginal de A P(B)=probabilidad marginal de B

EJEMPLO

CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD CONDICIONAL DE COMPRAR UN REPRODUCTOR DE DISCOS BLU-RAY

La tabla siguiente es una tabla de contingencia que indica si una familia compró un televisor con una frecuencia de actualización rápida y si adquirió un reproductor de discos Blu-ray. SI una familia compró un televisor con una frecuencia de actualizado rápida.¿Cuál es la probabilidad de que también haya comprado un reproductor de discos Blu-ray?

SOLUCIÓN

Como sabemos que la famililla compró un televisor con una frecuencia de actualización rápida, el espacio muestra se reduce a 80 familias. De esas 80 familias 38 también compraron un reproductor de discos Blu-ray (BD). Por lo tanto. la probabilidad de que una familia haya comprado un reproductor de BD. dado que compró un televisor con una frecuencia de actualización rápida, es:

si utilizamos la ecuación

A= compró un televisor con frecuencia de actualización rápida B= compro un reproductor de BD

Por lo tanto, dado que la familia compró un televisor con frecuencia de actualización rápida, existe una probabilidad de 4 7.596 de que también haya comprado un reproductor de discos Blu-ray. Podemos comparar esta probabilidad condicional con la probabilidad marginal de comprar un reproductor de discos Blu-ray, que es 1081300 = 0.36 o 36%. Estos resultados Indican que las familias que compraron televisores ron frecuencia de actualización rápida tienen mayores probabilidades de adquirir un reproductor de discos Blu-ray que las familias que compraron televisores de pantalla grande con frecuencia de Actualizacion estándar.

árbol de desición

Un árbol de decisión es una alternativa a la tabla de contingencia

En la figura anterior, comenzando a la izquierda con el conjunto completo de farnlllas. se observan dos "ramas que indican si la familia planeó la compra de un televisor de pantalla grande. Cada una de esas ramas tiene dos subramas que Indican si la familia en realidad compró o en realidad no compró el televisor. Las probabilidades que se observan al final de las ramas iniciales representan las probabilidades marginales de A y A'. Las probabilidades que se localizan al final de cada una de las cuatro subramas representan la probabilidad conjunta para cada combinación de los eventos A y B. La probabilidad condicional se calcula dividiendo la probabilidad conjunta entre la probabilidad marginal adecuada. Por ejemplo. para calcular la probabilidad de que la familia realmente haya comprado el televisor, dado que planeó hacer la compra, tomamos P (Planeó comprar yen realidad compró) y dividimos entre P(Planeó comprar).

EJEMPLO

construcción del árbol de decisión para las familias que compraron televisores de pantalla grande

Utilice los datos clasificados en la tabla anterior para construir el árbol de decisión. Use el árbol de decisión para calcular la probabilidad de que una familia compre un reproductor de discos Blu-ray, dado que la familia compró un televisor con frecuencia de actualización rápida.

soluciÓn

El árbol de decisión para las familias que compraron un reproductor de discos Blu-ray y un televisor con frecuencia de actualización rápida.Utilizando la ecuación, y las siguientes definiciones:

A= compro un televisor con frecuencia de actualizacion rapida B=compr un reproductor de discos Blu-ray.

soluciÓn

Arbol de decisión para las familias que compraron un televisor con frecuencia de actualización rápida y un reproductor de discos Blu-ray

Independencia

En el ejemplo sobre la compra de televisores de pantalla grande, la probabilidad condicional es 200/250 = 0.80 de que la famililla seleccionada en realidad haya comprado el televisor de pantalla grande, dado que la familia planeó hacer la compra. La probabilidad simple de seleccionar a una familia que en realidad haya comprado el televisor es de 300/1,000 = 0.30. Este resultado Indica que el conocimiento previo de que la famililla planeó hacer la compra afectó la probabilidad de que en realidad comprara el televisor. En otras palabras, el resultado de un evento depende del resultado de un segundo evento. Cuando el resultado de un evento no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro evento, se dice que los eventos son independientes. La independencia se determina utilizando la ecuación:

EJEMPLO

Determinación de independencia

En la encuesta de seguimiento aplicada a las 300 familias que en realidad compraron televisores de ¡:pantalla grande, se les preguntó si estaban satisfechas con sus compras. La tabla siguiente tabla relaciona las respuestas a la pregunta sobre la satisfacción con las respuestas a si el televisor tenía una frecuencia de actualización rápida.

Determine si sentirse satisfecho con la compra y la frecuencia de actualización del televisor adquirido son eventos independientes.

SOLUCIÓN

P(satisfecho I Frecuencia de actualización rápida)=

que es igual a:

P (Satisfecho) =

Por lo tanto, sentirse satisfecho con la compra y la frecuencia de actualización del televisor adquirido son eventos independientes. Conocer un evento no afecta la probabilidad de otro evento.

regla de la multtplicación

la regla de la multiplicación se obtiene utilizando la ecuación:

y despejando la probabilidad conjunta P(A y B)

REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN La probabilidad de A y B es igual a la probabilidad de A dado B.

P( A Y B) = P( A I B)P( B)

EJEMPLO

USO DE LA REGLA GENERAL DE MULTIPLICACIÓN

Considere a las 80 familias que compraron televisores con una frecuencia de actualización rápida. En la tabla 4.3 de la página 154 se observa que 64 familias están satisfechas con su compra y que 16 familias están insatisfechas. Suponga que se eligen dos familias al azar del conjunto de 80. Calcule la probabilidad de que ambas familias estén satisfecha. con su compra.

SOLUCIÓN

En este caso se puede utilizar la regla de la multiplicación de la siguiente manera.

A = la segunda familia seleccionada está satisfecha B = la primera familia está seleccionada está satisfecha

Entonces usando la ecuación: P( A y B ) = P (A I B)P(B)

SOLUCIÓN

la probabilidad de que la primera familia esté satisfecha con la compra es 64/80. Sin embargo. la probabilidad de que la segunda familia también esté satisfecha con la compra depende del resultado de la primera selección. Si la primera familia no se reincorpora a la muestra después de determinar su nivel de satisfacción (es decir, si el muestreo es sin reemplazo), el número de familias restantes es 79, Si la primera familia está satisfecha, la probabilidad de que la segunda también lo esté es de 63/79, ya que en la muestra permanecen 63 familias satisfechas. por lo tanto,

Hay una probabilidad de 63.80% de que las dos familias muestreadas estén satisfechas con su compra.

LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA EVENTOS INDEPENDIENTES

Se obtiene sustituyendo P(AIB) por P(A) en la ecuación.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA EVENTOS INDEPENDIENTES Si A y B son independientes, la probabilidad de A y B es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de B.

Si está regla es básica para dos eventos A y B son independientes. Por lo tanto, existen dos formas de determinar independencia: 1. Los eventos A y B son independientes si y solo si P(AIB)= P(A) 2.Los eventos A y B son independientes si y solo si P(A y B)= P(A)P(B)

probabiliadad marginal utilizando la regla general de la multiplicaciÓn

PROBABILIDAD MARGINAL UTILIZANDO LA REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN

Para ilustrar la ecuación

P(A)= probabilidad de "planeó comprar" P(B)= probabilidad de "en realidad compró" P(B2= probabilidad de "en realidad no compró"

Entonces utilizando la ecuación, la probabilidad de haber planeado la compra es:

teorema de bayes

El teorema de bayes se usa para revisar probabilidades calculadas previamente con base en información nueva. Creado por Thomas Bayes en el siglo XVIII, el teorema de bayes es una extensión de lo que anteriormente estudiamos como probabilidad condicional.

EJEMPLO

USO DEL TEOREMA DE BAYES EN UN PROBLEMA DE DIAGNÓSTICO MÉDICO

La probabilidad de que una persona tenga cierta enfermedad es de 0.03. Se dispone de pruebas de diagnóstico médico para determinar si la persona realmente padece la enfermedad. Si la enfermedad en realidad está presente, la probabilidad de que la prueba de diagnóstico médico dé un resultado positivo (que indique que la enfermedad está presente) es de 0.90. Si la enfermedad no está realmente presente, la probabilidad de un resultado de prueba positivo (que indique que la enfermedad está presente) es de 0.02. Suponga que la prueba de diagnóstico médico ha dado un resultado positivo (indicando que la enfermedad está presente). ¿Cuál es la probabilidad de que la enfermedad esté realmente presente? ¿Cuál es la probabilidad de un resultado de prueba positivo?

SOLUCIÓN

Sean:

evento D= tiene la enfermedad evento D`= no tiene la enfermedad

evento T= la prueba es positivaevento T`= la prueba es negativa

P(D) = 0.03 P(D`)= 0.97

P(T) = 0.90 P(T I D`)= 0.02

Al utilizar la ecuación

La probabilidad de que la enfermedad esté realmente presente, dado que ocurrió un resultado positivo (el cual indica que la enfermedad está presente), es de 0.582.

SOLUCIÓN

CÁLCULOS DEL TEOREMA DE BAYES PARA EL PROBLEMA DE DIAGNÓSTICO MÉDICO

SOLUCIÓN

ÁRBOL DE DECISIÓN PARA EL PROBLEMA DE DIAGNOSTICO MÉDICO

el denominador en el teorema de bayes representa P(T), la probabilidad de un resultado de prueba positivo, que en este caso es 0.0464 o 4.64%.

reglas de conteo

En la ecuación la probabilidad de ocurrencia de un resultado se definió como el número de maneras en que ocurre el resultado, dividido entre el número de resultados posibles. A menudo existe una gran cantidad de resultados posibles y es difícil determinar el número exacto. Para tales circunstancias se han creado las reglas que permiten contar el número de resultados posibles

REGLA DE CONTEO 1

La regla de conteo 1 determina el número de resultados posibles para un conjunto de eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.

Si cualquiera de los eventos diferentes mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos puede ocurrir en cada uno de n ensayos, el número de resultados posibles es igual a:

Por ejemplo, usando la ecuación el número de diferentes resultados posibles al lanzar una moneda con dos caras cinco veces es 2^5=2x2x2x2x2=32

Ejemplo: Lanzamiento de un dado dos veces

Suponga que lanza un dado en dos ocasiones. ¿Cuántos posibles resultados diferentes pueden ocurrir? SOLUCIÓN Si un dado con seis caras se lanza en dos ocasiones, usando la ecuación, el número de resultados diferentes es 6 ^2 = 36.

REGLA DE CONTEO 2

La segunda regla de conteo es una versión más general de la primera y permite que el número de eventos posibles difieran de un ensayo a otro.

Si hay k1 eventos en el primer ensayo, k2 eventos en el segundo ensayo, ... y Kn eventos en el n-ésimo ensayo, entonces el número de resultados posibles es: (k1) (k2) . . . (kn)

Por ejemplo, a la administración de un departamento estatal de vehículos automotores le gustaría saber cuántos números de placas están disponibles, considerando que el número de una placa consta de tres letras seguidas por tres números (de O a 9). Usando la ecuación, si una placa consta de tres letras seguidas por tres números, el número total de resultados posibles es (26)(26)(26)(10)(10)(10) = 17.576.000

Ejemplo: Determinación del número de comidas diferentes

El menú de un restaurante tiene una comida completa a precio fijo que consta de una entrada, un plato fuerte, una bebida y un postre. Usted puede elegir entre 5 entradas, 10 platos fuertes, 3 bebidas y 6 postres. Determine el número total de menús posibles. SOLUCIÓN Si utiliza la ecuación, el número total de menús posibles es (5) (10) (3) (6)=900

REGLA DE CONTEO 3

La tercera regla de conteo permite calcular el número de maneras en que se puede ordenar un conjunto de elementos.

El número de maneras en que se pueda ordenar todos los n elementos es: n! = (n) (n-1) ...(1) donde n! se denomina n factorial y 0! se define como 1

Ejemplo: Uso de la regla de conteo 3

Si un conjunto de seis libros se colocara en una repisa, ¿d ecuantes maneras se podrían ordenar los seis libros? SOLUCIÓN Para empezar, debe tener claro que cualquiera de los seis libros podría ocupar el primer espacio en la repisa. Una vez que se cubre el primer espacio. se puede elegir entre cinco libros para ocupar el segundo espacio. Se continúa con este procedimiento de ordenamiento hasta que todos los espacios estén ocupados. El número de maneras en que se pueden ordenar seis libros es:

n! = 6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) =720

REGLA DE CONTEO 4

En muchos casos necesitamos conocer el número de maneras en que un subconjunto de un grupo completo de elementos se puede acomodar en orden. Cada arreglo posible se conoce como permutación.

La cantidad de maneras de acomodar en orden x objetos seleccionados de n objetos es:

donde: n= número total de objetos x= número de objetos a ordenar n!= n factorial = n(n-1) . . . (1) P= símbolo para permutaciones

Ejemplo: Uso de la regla de conteo 4

Modificando el ejemplo anterior, si se tienen seis libros, pero en entrepaño solo hay espacio para cuatro, ¿de cuantas maneras podrá acomodar estos libros en el entrepaño? SOLUCIÓN Utilizando la ecuación, el número de arreglos ordenados de cuatro libros seleccionados a partir de seis libros es igual a:

REGLA DE CONTEO 5

En muchas situaciones. lo que nos interesa no es el orden de los resultados, sino del número de maneras en que x elementos se pueden sleccionar a partir de n elementos, sin importar el orden.A cada sección posible se le llama combinación.

El número de maneras de seleccionar x objetos a partir de n objetos, sin importar el orden, es igual a:

donde:n= número total de objetos x= número de objetos a ordenar n!= n factorial = n(n-1). . . (1) C= símbolo para combinaciones

Si comparamos esta regla con la regla de conteo 4, vemos que la única diferencia es que esta Incluye un término x! en el deoomtnador. Cuando se utilizaron permutaciones, todos los arreglos de los x objetos eran distinguibles. En el caso de las combinaciones, los x! arreglos de objetos posibles son Irrelevantes.