LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
CAPITOLO G9
FRATTALI E TRAFORMAZIONI GEOMETRICHE
I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi all’infinito
di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Ingrandendo un parti
colare di un frattale si ottiene un’immagine che ha la stessa forma della
figura di origine.
Un esempio famoso di frattale è il triangolo di Sierpiński che prende il
nome dal matematico polacco Wacław Sierpiński (1882-1969), che lo
introdusse e ne studiò le proprietà.
Questa figura, come in generale ogni frattale, si può ottenere attraverso
l’applicazione di un insieme di n trasformazioni geometriche alla stessa
figura di partenza e le stesse trasformazioni alle figure così ottenute.
Osserviamo la prima interazione necessaria alla realizzazione del trian golo di Sierpiński.
MOSAICI E MANDALA
Alcune decorazioni a mosaico sono caratterizzate da un disegno nel
quale è possibile individuare un «motivo fondamentale», una figura base che si ripete in una o più direzioni attraverso trasformazioni geometriche come traslazioni, rotazioni e simmetrie. a. Per ottenere il mosaico a lato solo tramite traslazioni, qual è lafigura base che devi considerare? b. Se invece utilizzi anche simmetrie assiali, da quale figura minima puoi partire? Quali sono le trasformazioni geometriche che possono creare il mosaico a partire dalla figura selezionata?
MUSICA E TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Il canone è una composizione musicale in cui una prima voce (detta antecedente) che esegue un te ma viene imitata da una seconda voce (conseguente) che «entra», cioè inizia, a un certo punto dello svolgimento dell’antecedente. Le due melodie devono «sovrapporsi» rispettando le regole dell’armonia, cioè le note simultanee devono "suonare bene" insieme.▶ Che relazione c’è tra i canoni musicali e le trasformazioni geometriche? La filastrocca Fra’ Martino è un esempio di canone di-retto: la voce conseguente, copia esatta del tema, entra a un certo punto dell’esposizione del tema stesso da parte della prima voce. La voce conseguente si ottiene quindi per semplice traslazione nel tempo della voce antecedente.
Una schematizzazione «cartesiana» del rigo mu sicale consente di visualizzare l’analogia tra canoni e trasfor-mazioni geometriche. Se il tempo musicale è rappresen-tato sull’asse delle ascisse e l’altezza di una nota su quello delle ordinate, fissando convenzionalmente le unità, si può tradurre il rigo musicale di una melodia nel grafico di una funzione a gradini.
Nella figura a lato osserviamo la «traduzione cartesiana» di Fra’ Martino, in cui la prima voce è raffigurata in alto e la seconda in basso. Si può notare che la seconda voce, cioè la ripetizione del tema a partire da un istante T, corrisponde a una traslazione lungo l’asse x di vettore v T 0 del grafico del tema. T deve essere scelto in modo che il tema risulti armonico con il traslato di se stesso.
I PENTAMINI
Un polimino è un insieme di quadrati in cui ciascun quadrato ha almeno un lato in comune con un altro quadrato. Se i quadrati sono cinque, parliamo di pentamini.
In figura sono disegnati due pentamini congruenti. Quale isometria può portare un pentamino a sovrapporsi all’altro? 2. Possiamo ottenere un pentamino partendo da un domino (costituito da due quadrati) e aggiungendo tre quadrati.
Due pentamini sono congruenti se esistono isometrie che li portano a sovrapporsi. In tutto esistono 12 pentamini non congruenti tra loro.
LETTURE ALLO SPECCHIO
Letture allo specchio!
Ingegni, ossesso, anilina: tre esempi di palindromi, ovvero di parole che si possono leggere sia da sinistra verso destra, sia da destra verso sinistra. Esistono anche delle frasi palindrome (per esempio «I re sono seri») o perfino interi componimenti letterari. Ma se guardi la parola INGEGNI allo specchio ottieni che rispetta sì la successione delle lettere, ma non la loro forma… ▶ Esistono parole che si possono leggere anche allo specchio?
Una parola (o una frase) palindroma contiene in sé una forma particolare di simmetria assiale. In ogni palindromo si può infatti rintracciare un «asse di simmetria», oltre il quale le lettere si ripetono, con l’ordine rovesciato. Nel caso della parola INGEGNI, l’asse si trova sulla lettera E. Parliamo di asse di simmetria non per la forma delle lettere, ma per la loro distanza dall’asse: entrambe le I distano tre lettere dall’asse passante per la E, le N ne distano due, le G una. Osservalo nella figura seguente.
+ info
Le figure unite e gli invarianti
La trasformazione inversa
La composizione di traformazione
LE ISOMETRIE
Sono trasformazioni geometriche che conservano la distanza tra i punti
Due figure che si corrispondono in un'isometria sono congruenti. Viceversa, se due figure sono congruenti, esiste un'isometria o una composizione di isometrie che trasforma l'una nell'altra.
Le isometrie godono anche delle seguenti proprietà:
- trasformano rette in rette, segmenti in segmenti;
- conservano il parallelismo;
- trasformano rette incidenti in rette incidenti;
- conservano l'ampiezza degli angoli.
+ info
LA TRASLAZIONE
Fissato nel piano un vettore V, una traslazione è una trasformazione geometrica che a ogni punto P fa corrispondere il punto P'
tale che PP' sia equipollente a V. Indichiamo una traslazione di vettore con il simbolo ti analogamente, la traslazione di vettore AB si indica con tAb.
La traslazione gode delle seguenti proprietà. * La traslazione nulla to coincide con l'identità. * La trasformazione inversa di ti è la traslazione t-, di vettore opposto.
* Una traslazione di vettore v ‡ O non ha punti uniti. * L'immagine di una retta rè una retta r' a essa parallela.
+ info
+ info
LA ROTAZIONE
* La rotazione nulla ha centro qualsiasi e angolo nullo o multiplo di un angolo giro. Coincide con l'identità.
La trasformazione inversa di una rotazione ro;a), di centro O e angolo a, è la rotazione ro;-a), con lo stesso centro e angolo con uguale ampiezza ma orientato in senso opposto.
* Una rotazione diversa dall'identità ha come unico punto unito il centro O.
Dati un ppunto O e un angolo orientato a nel piano, larr rotazione di centro O e angolo a, che chiamiamo r ,è la trasformazione geometrica che a ogni punto P del piano associa un punto P in modo che: OP =OP POP e a sono cogruenti e orientati nrllo stesso verso
LA SIMMETRIA CENTRALE
FFissato nel punto O, una simmetria centrale di centro O è la trasformazione geometrica che a ogni punto P fa corrispondere il punto P' tale che il segmento PP' abbia O come punto medio.
+ info
+ info
L'OMOTETIA
* Due figure che si corrispondono in un'omotetia sono dette omotetiche. * Se k > 0, P e P' stanno sulla stessa semiretta di origine O e l'omotetia si dice di-retta; se k < 0, P e P' stanno su due semirette opposte di origine O e l'omotetia
si dice inversa.
Se k > 1, la figura risulta ingrandita; se k < 1, risulta rimpicciolita. * L'omotetia di rapporto k = 1 coincide con l'identità. * L'omotetia di rapporto k = - 1 e centro O coincide con la simmetria centrale di centro O * Un'omotetia di rapporto k # 1 ha come unico punto unito il centro e come rette unite tutte e sole le rette passanti per il centro. * Il trasformato di un angolo è un angolo a esso congruente. * L'immagine di una retta è una retta a essa parallela
Fissati un punto O nel piano e un numero reale k diverso da zero, l'omotetia è la trasformazione geometrica che a un punto P fa corrispondere un punto P' tale che:P' appartiene alla retta OP OP/OP=k
+ info
GRAZIE PER L'ATTENZIONE!
AMBIGRAMMI
Esiste una forma di arte grafica che gioca proprio sulla
simmetria e le parole. Gli ambigrammi sono immagini in cui la parola scritta può essere letta in più di un modo. La parola INFINITO qui indicata ne è unesempio: prova a capovolgere l’immagine di 180° e...
Riconosci qualche simmetria? La posizione dei pallini
rossi può aiutarti...
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LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
claudia dicuonzo
Created on April 10, 2024
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LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
CAPITOLO G9
FRATTALI E TRAFORMAZIONI GEOMETRICHE
I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi all’infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Ingrandendo un parti colare di un frattale si ottiene un’immagine che ha la stessa forma della figura di origine. Un esempio famoso di frattale è il triangolo di Sierpiński che prende il nome dal matematico polacco Wacław Sierpiński (1882-1969), che lo introdusse e ne studiò le proprietà. Questa figura, come in generale ogni frattale, si può ottenere attraverso l’applicazione di un insieme di n trasformazioni geometriche alla stessa figura di partenza e le stesse trasformazioni alle figure così ottenute. Osserviamo la prima interazione necessaria alla realizzazione del trian golo di Sierpiński.
MOSAICI E MANDALA
Alcune decorazioni a mosaico sono caratterizzate da un disegno nel quale è possibile individuare un «motivo fondamentale», una figura base che si ripete in una o più direzioni attraverso trasformazioni geometriche come traslazioni, rotazioni e simmetrie. a. Per ottenere il mosaico a lato solo tramite traslazioni, qual è lafigura base che devi considerare? b. Se invece utilizzi anche simmetrie assiali, da quale figura minima puoi partire? Quali sono le trasformazioni geometriche che possono creare il mosaico a partire dalla figura selezionata?
MUSICA E TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Il canone è una composizione musicale in cui una prima voce (detta antecedente) che esegue un te ma viene imitata da una seconda voce (conseguente) che «entra», cioè inizia, a un certo punto dello svolgimento dell’antecedente. Le due melodie devono «sovrapporsi» rispettando le regole dell’armonia, cioè le note simultanee devono "suonare bene" insieme.▶ Che relazione c’è tra i canoni musicali e le trasformazioni geometriche? La filastrocca Fra’ Martino è un esempio di canone di-retto: la voce conseguente, copia esatta del tema, entra a un certo punto dell’esposizione del tema stesso da parte della prima voce. La voce conseguente si ottiene quindi per semplice traslazione nel tempo della voce antecedente. Una schematizzazione «cartesiana» del rigo mu sicale consente di visualizzare l’analogia tra canoni e trasfor-mazioni geometriche. Se il tempo musicale è rappresen-tato sull’asse delle ascisse e l’altezza di una nota su quello delle ordinate, fissando convenzionalmente le unità, si può tradurre il rigo musicale di una melodia nel grafico di una funzione a gradini. Nella figura a lato osserviamo la «traduzione cartesiana» di Fra’ Martino, in cui la prima voce è raffigurata in alto e la seconda in basso. Si può notare che la seconda voce, cioè la ripetizione del tema a partire da un istante T, corrisponde a una traslazione lungo l’asse x di vettore v T 0 del grafico del tema. T deve essere scelto in modo che il tema risulti armonico con il traslato di se stesso.
I PENTAMINI
Un polimino è un insieme di quadrati in cui ciascun quadrato ha almeno un lato in comune con un altro quadrato. Se i quadrati sono cinque, parliamo di pentamini. In figura sono disegnati due pentamini congruenti. Quale isometria può portare un pentamino a sovrapporsi all’altro? 2. Possiamo ottenere un pentamino partendo da un domino (costituito da due quadrati) e aggiungendo tre quadrati. Due pentamini sono congruenti se esistono isometrie che li portano a sovrapporsi. In tutto esistono 12 pentamini non congruenti tra loro.
LETTURE ALLO SPECCHIO
Letture allo specchio! Ingegni, ossesso, anilina: tre esempi di palindromi, ovvero di parole che si possono leggere sia da sinistra verso destra, sia da destra verso sinistra. Esistono anche delle frasi palindrome (per esempio «I re sono seri») o perfino interi componimenti letterari. Ma se guardi la parola INGEGNI allo specchio ottieni che rispetta sì la successione delle lettere, ma non la loro forma… ▶ Esistono parole che si possono leggere anche allo specchio? Una parola (o una frase) palindroma contiene in sé una forma particolare di simmetria assiale. In ogni palindromo si può infatti rintracciare un «asse di simmetria», oltre il quale le lettere si ripetono, con l’ordine rovesciato. Nel caso della parola INGEGNI, l’asse si trova sulla lettera E. Parliamo di asse di simmetria non per la forma delle lettere, ma per la loro distanza dall’asse: entrambe le I distano tre lettere dall’asse passante per la E, le N ne distano due, le G una. Osservalo nella figura seguente.
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Le figure unite e gli invarianti
La trasformazione inversa
La composizione di traformazione
LE ISOMETRIE
Sono trasformazioni geometriche che conservano la distanza tra i punti
Due figure che si corrispondono in un'isometria sono congruenti. Viceversa, se due figure sono congruenti, esiste un'isometria o una composizione di isometrie che trasforma l'una nell'altra. Le isometrie godono anche delle seguenti proprietà:
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LA TRASLAZIONE
Fissato nel piano un vettore V, una traslazione è una trasformazione geometrica che a ogni punto P fa corrispondere il punto P' tale che PP' sia equipollente a V. Indichiamo una traslazione di vettore con il simbolo ti analogamente, la traslazione di vettore AB si indica con tAb. La traslazione gode delle seguenti proprietà. * La traslazione nulla to coincide con l'identità. * La trasformazione inversa di ti è la traslazione t-, di vettore opposto. * Una traslazione di vettore v ‡ O non ha punti uniti. * L'immagine di una retta rè una retta r' a essa parallela.
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LA ROTAZIONE
* La rotazione nulla ha centro qualsiasi e angolo nullo o multiplo di un angolo giro. Coincide con l'identità. La trasformazione inversa di una rotazione ro;a), di centro O e angolo a, è la rotazione ro;-a), con lo stesso centro e angolo con uguale ampiezza ma orientato in senso opposto. * Una rotazione diversa dall'identità ha come unico punto unito il centro O.
Dati un ppunto O e un angolo orientato a nel piano, larr rotazione di centro O e angolo a, che chiamiamo r ,è la trasformazione geometrica che a ogni punto P del piano associa un punto P in modo che: OP =OP POP e a sono cogruenti e orientati nrllo stesso verso
LA SIMMETRIA CENTRALE
FFissato nel punto O, una simmetria centrale di centro O è la trasformazione geometrica che a ogni punto P fa corrispondere il punto P' tale che il segmento PP' abbia O come punto medio.
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L'OMOTETIA
* Due figure che si corrispondono in un'omotetia sono dette omotetiche. * Se k > 0, P e P' stanno sulla stessa semiretta di origine O e l'omotetia si dice di-retta; se k < 0, P e P' stanno su due semirette opposte di origine O e l'omotetia si dice inversa. Se k > 1, la figura risulta ingrandita; se k < 1, risulta rimpicciolita. * L'omotetia di rapporto k = 1 coincide con l'identità. * L'omotetia di rapporto k = - 1 e centro O coincide con la simmetria centrale di centro O * Un'omotetia di rapporto k # 1 ha come unico punto unito il centro e come rette unite tutte e sole le rette passanti per il centro. * Il trasformato di un angolo è un angolo a esso congruente. * L'immagine di una retta è una retta a essa parallela
Fissati un punto O nel piano e un numero reale k diverso da zero, l'omotetia è la trasformazione geometrica che a un punto P fa corrispondere un punto P' tale che:P' appartiene alla retta OP OP/OP=k
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GRAZIE PER L'ATTENZIONE!
AMBIGRAMMI
Esiste una forma di arte grafica che gioca proprio sulla simmetria e le parole. Gli ambigrammi sono immagini in cui la parola scritta può essere letta in più di un modo. La parola INFINITO qui indicata ne è unesempio: prova a capovolgere l’immagine di 180° e... Riconosci qualche simmetria? La posizione dei pallini rossi può aiutarti...
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