Teoremi sulle funzioni derivabili
Parte 2
Start
1. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrande
Nella precedente lezione
2. Corollari del teorema di Lagrange
3. Teorema della derivata di una funzione monotona
OGGI
4. Funzione crescente o decrescenete
5. Teorema di Cauchy
6. Teorema di De l'Hôpital
Teoremi:
Fermat
Sia f una funzione derivabile nel punto c, interno al suo dominio. Se c'è un punto di estremo relativo di f, allora f' ' (c)=0
ROLLE
Sia f una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [a;b] e derivabile in (a;b). Se f(a)=f(b), esiste almeno un punto interno all'intervallo in cui la derivata di f si annulla, cioè esiste c ∈ (a;b) tale chef ' (c) = 0
lAGRANGE
Sia f una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato .[a;b] e derivabile nell'intervallo (a;b).Esiste almeno un punto c ∈ (a;b) tale chef ' (c) = (f(b)-f(a))/b-a
La derivata di una funzione costante è nulla. Lagrange con i suoi due corollari inverte questo risultato
Primo corollario
secondo corollario
Se due funzioni f e g, continue in un intervallo I, hanno derivata uguale in tutti i punti interni di I, allora esse differiscono di una costante, cioè esiste un numero k tale che f(x)-g(x)=k
Se una funzione f è continua in un intervallo I e ha derivata nulla in tutti i punti interni di I, allora f è costante in I.
FUNZIONI CRESCENTI O DECRESCENTI IN UN INTERVALLO
Se la funzione d è derivabile in un intervallo (a;b) e la derivata prima f'(x) è positiva per ogno x ∈ (a;b), tutte le tangenti al grafico di f in (a;b) sono rette a coefficiente angolare positivo.
La funzione è crecsente
Teorema della monotonia di una funzione derivabile
Sia f una funzione continua nell'intervallo I e derivabile nei punti intermi d I.- Se f ' (x) > o in tutti i punti interni di I, allora f(x) è Crescente in I; - Se f ' (x) < o in tutti i punti interni di I, allora f(x) è Decrescente in I.
Praticamente andrò a studiare il segno della derivata prima
Teorema della derivata di una funzione monotona
Sia f una funzione continua nell'intervallo I e derivabile nei punti interni di I:- Se f(x) è crescente in I, allora f ' (x) ≥ 0 in tutti i punti di I; - Se f (x) è descescente in I, allora f ' (x) ≤ 0 in tutti i punti di I.
definizione
Funzione crescente in un punto
Funzione decrescente in un punto
Una funzione f si dice DECRESCENTE nel punto c se esiste un intorno U di c tale che∀ x ∈ U : x < c allora f(x) > f(c) e ∀ x ∈ U : x > c allora f(x) < f(c)
Una funzione f si dice CRESCENTE nel punto c se esiste un intorno U di c tale che∀ x ∈ U : x < c allora f(x) < f(c) e ∀ x ∈ U : x > c allora f(x) > f(c)
Teorema di Cauchy
Siano f e g due funzioni continue nell'intervallo chiuso e limitato [a;b] e derivabili nell'intervallo in (a;b), e sia g '(x)≠0 ∀ x ∈ (a;b). Esiste almeno un punto c ∈ (a;b) tale che
Teorema di de l'hôpital
Guillaume François Antoine de Sainte Mesme, marchese de l'Hôpital
Johann I Bernoull
vs
Teorema di de l'hôpital
Siano f e g due funzioni definite in un intorno U di (finito o infinito). Supponiamo che siano soddisfatte le seguenti ipotesi
f e g sono derivabili in tutti i punti di U distinti da c ( se finito)
g ' (x) ≠ 0 per ogni x ∈ U, x ≠ c
per x → c, f e g hanno entrambe limite 0 o entrambe limite infinito
esiste, finito o infinilto
allora esiste anche
e si ha
Addio Limiti Notevoli!
To be Continued....con gli esercizi
Condizione SUFFICIENTE affinchè una funzione sia crescente o decrescente in un intervallo per cui è continua, è ch, nei punti interni all'intervallo, sia derivabile e abbia derivata positiva (o negatica)
Teoremi delle funzioni derivabili...parte 2
Erica Antermite
Created on April 10, 2024
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Teoremi sulle funzioni derivabili
Parte 2
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1. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrande
Nella precedente lezione
2. Corollari del teorema di Lagrange
3. Teorema della derivata di una funzione monotona
OGGI
4. Funzione crescente o decrescenete
5. Teorema di Cauchy
6. Teorema di De l'Hôpital
Teoremi:
Fermat
Sia f una funzione derivabile nel punto c, interno al suo dominio. Se c'è un punto di estremo relativo di f, allora f' ' (c)=0
ROLLE
Sia f una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [a;b] e derivabile in (a;b). Se f(a)=f(b), esiste almeno un punto interno all'intervallo in cui la derivata di f si annulla, cioè esiste c ∈ (a;b) tale chef ' (c) = 0
lAGRANGE
Sia f una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato .[a;b] e derivabile nell'intervallo (a;b).Esiste almeno un punto c ∈ (a;b) tale chef ' (c) = (f(b)-f(a))/b-a
La derivata di una funzione costante è nulla. Lagrange con i suoi due corollari inverte questo risultato
Primo corollario
secondo corollario
Se due funzioni f e g, continue in un intervallo I, hanno derivata uguale in tutti i punti interni di I, allora esse differiscono di una costante, cioè esiste un numero k tale che f(x)-g(x)=k
Se una funzione f è continua in un intervallo I e ha derivata nulla in tutti i punti interni di I, allora f è costante in I.
FUNZIONI CRESCENTI O DECRESCENTI IN UN INTERVALLO
Se la funzione d è derivabile in un intervallo (a;b) e la derivata prima f'(x) è positiva per ogno x ∈ (a;b), tutte le tangenti al grafico di f in (a;b) sono rette a coefficiente angolare positivo.
La funzione è crecsente
Teorema della monotonia di una funzione derivabile
Sia f una funzione continua nell'intervallo I e derivabile nei punti intermi d I.- Se f ' (x) > o in tutti i punti interni di I, allora f(x) è Crescente in I; - Se f ' (x) < o in tutti i punti interni di I, allora f(x) è Decrescente in I.
Praticamente andrò a studiare il segno della derivata prima
Teorema della derivata di una funzione monotona
Sia f una funzione continua nell'intervallo I e derivabile nei punti interni di I:- Se f(x) è crescente in I, allora f ' (x) ≥ 0 in tutti i punti di I; - Se f (x) è descescente in I, allora f ' (x) ≤ 0 in tutti i punti di I.
definizione
Funzione crescente in un punto
Funzione decrescente in un punto
Una funzione f si dice DECRESCENTE nel punto c se esiste un intorno U di c tale che∀ x ∈ U : x < c allora f(x) > f(c) e ∀ x ∈ U : x > c allora f(x) < f(c)
Una funzione f si dice CRESCENTE nel punto c se esiste un intorno U di c tale che∀ x ∈ U : x < c allora f(x) < f(c) e ∀ x ∈ U : x > c allora f(x) > f(c)
Teorema di Cauchy
Siano f e g due funzioni continue nell'intervallo chiuso e limitato [a;b] e derivabili nell'intervallo in (a;b), e sia g '(x)≠0 ∀ x ∈ (a;b). Esiste almeno un punto c ∈ (a;b) tale che
Teorema di de l'hôpital
Guillaume François Antoine de Sainte Mesme, marchese de l'Hôpital
Johann I Bernoull
vs
Teorema di de l'hôpital
Siano f e g due funzioni definite in un intorno U di (finito o infinito). Supponiamo che siano soddisfatte le seguenti ipotesi
f e g sono derivabili in tutti i punti di U distinti da c ( se finito)
g ' (x) ≠ 0 per ogni x ∈ U, x ≠ c
per x → c, f e g hanno entrambe limite 0 o entrambe limite infinito
esiste, finito o infinilto
allora esiste anche
e si ha
Addio Limiti Notevoli!
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Condizione SUFFICIENTE affinchè una funzione sia crescente o decrescente in un intervallo per cui è continua, è ch, nei punti interni all'intervallo, sia derivabile e abbia derivata positiva (o negatica)