MONSTRUOS MATEMÁTICOS Fractales
Almudena Casares Fernández
"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, como la corteza de un árbol no es plana ni un rayo viaja en línea recta,... La naturaleza no solamente exhibe un grado mayor sino también un nivel diferente de complejidad"
Benoit Mandelbrot (1924-2010)
¿Qué es un fractal?
Primera aproximación.
VÍDEO 1
VÍDEO 2
Qué son los fractales y cómo pueden ayudarnos a entender el Universo.
La paradoja de la costa.
¿QuÉ es un fractal?
"Un conjunto en que las partes son similares al total en algún sentido". (Mandelbrot)
- Tienen el mismo aspecto a cualquier escala de observación.
- Tienen longitud infinita.
- No son diferenciables. Esto es, "están llenos de irregularidades"
- Tienen dimensión no entera.
Fractal de mandelbrot
Orden
Caos
GEOMETRÍA EUCLÍDEA
GEOMETRÍA FRACTAL
1. Tradicional. (Más de 2000 años).
1. Moderna (aprox. de 30 años).
2. Dimensión entera.
2. Dimensíon no entera.
3. Objetos hechos por el hombre.
3. Objetos de la naturaleza.
4. Fórmulas (ecuaciones)
4. Algoritmos (iteraciones).
FRACTALES LINEALES
Los fractales lineales son aquellos son autosemejantes, si hacemos un zoom o cojemos una parte se conserva la forma y las proporciones, pero puede variar el tamaño, la posición y la orientación. .
FRACTALES NO LINEALES
DIMENSIÓN EN FRACTALES LINEALES
Primera aproximación
h= Tamaño de una parte. N(h)= número de partes que cojemos. d= dimensión.
DIMENSIÓN 2
DIMENSIÓN 3
DIMENSIÓN 1
DIMENSIÓN EN FRACTALES LINEALES
Ley de Potencia
h= Tamaño de una parte. N(h)= Número de partes que cojemos. d= dimensión.
DIMENSIÓN EN FRACTALES NO LINEALES
Método de cajas
h= Tamaño de los cuadrados < 1 N(h)= Número de cuadrados que cubren el fractal. d= dimensión = pendiente de la recta de regresión.
Se traza sobre el fractal una malla formada por cuadrados de tamaño h para contar cuántos de estos cuadrados son necesarios para cubrir el fractal estudiado, N(h). A continuación, se reitera el proceso con una malla cada vez más fina, es decir, con cuadrados cuyo lado sea cada vez más pequeño. Representaremos en unos ejes cartesianos los punto (log(1/h), log(N(h)). Buscamos la recta que más se aproxime a la nube de puntos. La dimensión del fractal es la pendiente de esta recta.
Monstruos Matemáticos: Fractales
Almudena Casares
Created on April 10, 2024
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MONSTRUOS MATEMÁTICOS Fractales
Almudena Casares Fernández
"Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, como la corteza de un árbol no es plana ni un rayo viaja en línea recta,... La naturaleza no solamente exhibe un grado mayor sino también un nivel diferente de complejidad"
Benoit Mandelbrot (1924-2010)
¿Qué es un fractal?
Primera aproximación.
VÍDEO 1
VÍDEO 2
Qué son los fractales y cómo pueden ayudarnos a entender el Universo.
La paradoja de la costa.
¿QuÉ es un fractal?
"Un conjunto en que las partes son similares al total en algún sentido". (Mandelbrot)
Fractal de mandelbrot
Orden
Caos
GEOMETRÍA EUCLÍDEA
GEOMETRÍA FRACTAL
1. Tradicional. (Más de 2000 años).
1. Moderna (aprox. de 30 años).
2. Dimensión entera.
2. Dimensíon no entera.
3. Objetos hechos por el hombre.
3. Objetos de la naturaleza.
4. Fórmulas (ecuaciones)
4. Algoritmos (iteraciones).
FRACTALES LINEALES
Los fractales lineales son aquellos son autosemejantes, si hacemos un zoom o cojemos una parte se conserva la forma y las proporciones, pero puede variar el tamaño, la posición y la orientación. .
FRACTALES NO LINEALES
DIMENSIÓN EN FRACTALES LINEALES
Primera aproximación
h= Tamaño de una parte. N(h)= número de partes que cojemos. d= dimensión.
DIMENSIÓN 2
DIMENSIÓN 3
DIMENSIÓN 1
DIMENSIÓN EN FRACTALES LINEALES
Ley de Potencia
h= Tamaño de una parte. N(h)= Número de partes que cojemos. d= dimensión.
DIMENSIÓN EN FRACTALES NO LINEALES
Método de cajas
h= Tamaño de los cuadrados < 1 N(h)= Número de cuadrados que cubren el fractal. d= dimensión = pendiente de la recta de regresión.
Se traza sobre el fractal una malla formada por cuadrados de tamaño h para contar cuántos de estos cuadrados son necesarios para cubrir el fractal estudiado, N(h). A continuación, se reitera el proceso con una malla cada vez más fina, es decir, con cuadrados cuyo lado sea cada vez más pequeño. Representaremos en unos ejes cartesianos los punto (log(1/h), log(N(h)). Buscamos la recta que más se aproxime a la nube de puntos. La dimensión del fractal es la pendiente de esta recta.