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FUNCIONES
Pablo GN
Created on April 9, 2024
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Transcript
4º ESO
Matemáticas A
Funciones
Empezar
En este portal interactivo encontrarás todo lo relativo a las características de la funciones, así como a los cinco tipo de funciones elementales que hemos estudiado. Encontrarás algo de teoría y mucha práctica. Ánimo!!
FUNCIONES ELEMENTALES
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Dominio y Recorrido
Cortes con los ejes
Continuidad
FUNCIONES RACIONALES
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
FUNCIONES RADICALES
Monotonía
Tasa de variación media
Periodicidad
Simetría
Tendencia
FUNCIONES EXPONENCIALES
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Ejercicios
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Dominio y Recorrido
Ejemplos
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Dominio y Recorrido
- ¿Cuál es el dominio de las siguientes funciones?
Ejemplos
[0,∞)
(-∞ , ∞) = ℝ
[-3 , 7)
ℝ - {-2,2}
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Cortes con los ejes
Corte con el eje Y
Cortes con el eje X (RAÍCES)
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Cortes con los ejes
Corte con eje y
- Sólo puede haber UNO o NINGÚN corte con el eje Y
- En los puntos de corte con eje y, x=0
- Para calcular los puntos de corte, sustituimos x=0 en la función y despejamos la f(x) ó y.
Ejemplo
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Cortes con los ejes
Corte con eje x (RAÍCES DE UNA FUNCIÓN)
- Habrá como máximo tantos cortes con eje x como grado de la función
- En los puntos de corte f(x) = 0.
- Para calcular los puntos de corte, igualamos la función a 0 y despejamos la x.
Ejemplo
Corte con eje y
Ejemplo
Corte con eje x RAÍCES
Ejemplo
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Continuidad
Una función es discontinua en un punto cuando:
- No está definida en ese punto
- Hay un salto de la función en ese punto
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Monotonía
- Función creciente
- Función decreciente
DECRECIENTE
CRECIENTE
MÁXIMO
CRECIENTE
MÍNIMO
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Tasa de variación media
- Es la pendiente de la línea recta que une dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) de una función
- Se calcula como el cociente entre la distancia (y2-y1) y (x2-x1)
Si la función es crecienteTVM > 0
Si la función es decrecienteTVM < 0
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Periodicidad
La longitud de ese intervalo se llama Período
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Simetría
Una función es simétrica con respecto a un eje cuando...
Si son simétricas respecto al origen o punto (0,0), son FUNCIONES IMPARES
Si el eje de simetría es el eje y,se llaman FUNCIONES PARES
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Tendencia
Los valores de una función pueden acercarse a un valor, pero no alcanzarlo. Es decir, tienden a un valor. Los ejes que marcan esos valores a los que la función se acerca pero no llega, se llaman ASÍNTOTAS. Pueden ser: - Asíntotas verticales (x=a) - Asíntotas horizontales (y=b)También pueden ser diagonales.
ASÍNTOTA VERTICAL
ASÍNTOTA HORIZONTAL
FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Las funciones lineales son RECTAS, de forma que: - m es la pendiente de la recta. Según sea m, la recta será: - n es la ordenada del corte de la recta con el eje y. Es decir, la recta corta al eje y en el punto (0, n)
Ejercicios y Problemas
FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Ejercicios y Problemas
Hallar función de recta que pasa por dos puntos dados
Hallar función de recta sabiendo su pendiente y un punto
Problema
Más Ejercicios y problemas
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Hallar función de recta que pasa por dos puntos dados
Ejemplo
Halla la expresión de la recta que pasa por los puntos A (-2 , 2) y B (4 , -1)
Solución
Halla la expresión de la recta que pasa por los puntos A (-2 , 2) y B (4 , -1)
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Hallar función de recta sabiendo su pendiente y un punto
El enunciado, además de un punto, puede facilitar el valor de la pendiente, o decir que es:- paralela a otra recta: Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente- perpendicular a otra recta: Una recta tiene la pendiente inversa y opuesta a la de su recta perpendicular. Si la pendiente de una recta es m, la de su perpendicular es -1/m
Ejemplo
Halla la expresión de la recta que pasa por el punto (3 , -1) y su pendiente es paralela a y=3(x-1)
Solución
Halla la expresión de la recta que pasa por el punto (3 , -1) y su pendiente es paralela a y=3(x-1)
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Hallar función de recta sabiendo su pendiente y un punto
Una empresa de alquiler ofrece dos contratos diferentes: A) 40 €/día y kilometraje ilimitado. B) 30 €/día y 0,1 € por kilómetro. Un turista quiere hacer un viaje de 10 días, pero no sabe exactamente cuántos kilómetros va a recorrer. Se pide:a) ¿Cuántos kilómetros ha de recorrer para que los dos contratos sean igual de económicos?.b) Hacer una representación gráfica y comprobar los resultados anteriores.
Solución
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Ejercicios y problemas
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Ejercicio 5
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Solución
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Solución
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Solución
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Solución
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Siguiente
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
FUNCIONES LINEALESy = mx + n
Solución
FUNCIONES ELEMENTALES
Ejercicios y Problemas
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Las funciones cuadráticas son PARÁBOLAS, de forma que: - El signo de a indica el sentido de las ramas de la parábola:a>0: Ramas hacia arriba (CÓNCAVA)a<0: Ramas hacia abajo (CONVEXA)- Cuanto mayor es el valor absoluto de a ( |a| ), la parábola es más cerrada.
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FUNCIONES ELEMENTALES
ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
VÉRTICE
El máximo o mínimo punto de una parábola. Para calcular la coordenada x del vértice: Y la coordenada y: Por el vértice pasa el EJE DE SIMETRÍA
RAÍCES (Corte con eje x)
En los puntos de corte con eje x, la coordenada y es 0, luego: Resolviendo la ecuación de 2º grado, se obtienen las raíces. Puede haber 2, 1 o ninguna raíz.
Ejercicios y Problemas
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FUNCIONES ELEMENTALES
ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
CORTE CON EJE y
El punto de corte de la parábola con el eje y será: (0, c)Sólo habrá un punto de corte con eje y.
PUNTOS DE PARÁBOLA
Para representar gráficamente la parábola, damos valores a x y calculamos su correspondiente y, teniendo en cuenta que la parábola es simétrica. Representamos tabla de valores, tal que
Ejercicios y Problemas
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Ejercicios y problemas de Funciones Cuadráticas
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Problema 1
Problema 2
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Ejercicio 1
Solución
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Ejercicio 1
Solución
La expresión de la función cuadrática es:y=ax2 +bx + c Vamos a fijarnos en el término a. Si a>0, las ramas de la parábola irán hacia arriba, y hacia abajo si a<0. Así que, ya podemos descartar el 50% de las opciones, de forma que: a) y b): la verde o la negra, c) y d): la azul o la roja.
verde
negra
roja
azul
Comprobemos ahora puntos de cada parábola. Vemos que la parábola verde pasa por (1,4), mientras que la negra lo hace por (1,2). Podemos verificar que la función a) pasa por el punto (1,2), por tanto, es la negra. Así que la función b) es la verde, porque además la ecuación se cumple para el punto (1,4). Hacemos el mismo proceso para diferenciar la azul de la roja. La parábola roja, pasa por el punto (1,-2). Si sustituimos este punto en las funciones c) y d), vemos que solo se cumple en c), luego la parábola c) es la roja. Entonces, la parábola d) es la azul.
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Ejercicio 2
Solución
ii
iv
iii
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Ejercicio 3
Solución
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Ejercicio 3
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Ejercicio 4
Solución
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Problema 1
Solución
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Problema 2
Solución
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Problema 2
Siguiente
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
Problema 2
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Ejercicio 5
FUNCIONES CUADRÁTICASy = ax2 + bx + c
b) La superficie o área es en este caso la variable y. Su máximo se produce en el vértice, por tanto la máxima área es la y del vértice, que ya hemos calculado. Máxima superficie: 324 m2 c) Si la expresión del área (y) era: y = x · (36 – x) y uno de los lado (x) mide 10, el área pedida es: y= 10·(36-10) = 260 m2 d) De la misma expresión que el apartado anterior, ahora conocemos el área y. Despejamos la x. y = x · (36 – x) = 315 → Despejando x, se tienen los dos valores de los lados de la granja: 21 x 15 m
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FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES RADICALES
Las funciones radicales son PARÁBOLAS DE UNA SOLA RAMA y "TUMBADAS" Si la raíz es cuadrada (o de índice par), el dominio viene condicionado porque el radicando sea 0 o positivo. Por tanto, para una ecuación radical como bx + c ≥ 0 Resolviendo esta inecuación, sabremos para qué valores de x existe función, es decir, sabremos el dominio. Si la raíz es de índice impar, el dominio será todo ℝ
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Ejercicios y Problemas
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FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES RADICALES
Las funciones radicales son PARÁBOLAS DE UNA SOLA RAMA y "TUMBADAS"
Si b>0, la curva irá "hacia la derecha". Si b>0, la curva irá "hacia la izquierda".
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Ejercicios y Problemas
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FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES RADICALES
Las funciones radicales son PARÁBOLAS DE UNA SOLA RAMA y "TUMBADAS"
Si a>0, la curva irá hacia valores de y positivos. Si a<0, la curva irá hacia valores de y negativos.
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Ejercicios y Problemas
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FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES RADICALES
Las funciones radicales son PARÁBOLAS DE UNA SOLA RAMA y "TUMBADAS"
Si d≠0, la curva no empezará en el eje y=0, sino +d o -d
+d
-d
Ejercicios y Problemas
FUNCIONES RADICALES
Ejercicios y problemas de Funciones Radicales
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Problema
FUNCIONES RADICALES
Ejercicio 1
Solución
- Tabla de valores
- Representación gráfica
- Tenemos que empezar encontrando el dominio de la función. - Para ello planteamos que el interior de la raíz ha de ser mayor o igual que 0. INECUACIÓN - El primer punto en la gráfica será en x = 3/2 , entonces, empezaremos desde ahí y tomamos valores más grandes de x.
FUNCIONES RADICALES
Ejercicio 2
Solución
- Tabla de valores
- Representación gráfica
- Tenemos que empezar encontrando el dominio de la función. - Para ello planteamos que el interior de la raíz ha de ser mayor o igual que 0. INECUACIÓN - El primer punto en la gráfica será en x = -2/3 , entonces, empezaremos desde ahí y tomamos valores más grandes de x.
FUNCIONES RADICALES
Problema
Solución
Solución
Solución
FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES RACIONALES
Las funciones racionales son HIPÉRBOLAS. El dominio viene condicionado porque el denominador NO puede ser igual a 0. Por tanto, para una ecuación racional como x + b ≠ 0 → x ≠ -b En la recta x = b habrá una ASÍNTOTA VERTICAL. La ASÍNTOTA HORIZONTAL es la recta y = c
x = -b
Asíntota vertical
y = c
Asíntota horizontal
Ejercicios y Problemas
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FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES RACIONALES
Las hipérbolas tienen dos ramas. En relación a las asíntotas, las ramas pueden ser.... O...
Ejercicios y Problemas
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FUNCIONES RACIONALES
Ejercicios y problemas de Funciones Racionales
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Problema
FUNCIONES RACIONALES
Ejercicio 1
Solución
- Buscamos dónde se produce la asíntota vertical, es decir para qué valor de x, el denominador es 0. En este caso para x=1. - La asíntota horizontal, se tiene en y=0, porque c=0 - Para saber cómo se disponen las ramas de la hipérbola, buscaremos valores de x a un lado y a otro de la asíntota.
(0,3)
(2,-3)
(-3,1)
(4,-1)
FUNCIONES RACIONALES
Ejercicio 2
Solución
- Buscamos dónde se produce la asíntota vertical, es decir para qué valor de x, el denominador es 0. En este caso para x=-1. - La asíntota horizontal, se tiene en y=1, porque c=1 - Para saber cómo se disponen las ramas de la hipérbola, buscaremos valores de x a un lado y a otro de la asíntota.
(0,5)
(-2,-3)
(1,3)
(-3,-1)
FUNCIONES RACIONALES
Problema
Solución
(10 , 100.3)
Asíntota hztal. x=0.3
FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES EXPONENCIALES
Las funciones exponenciales son CURVAS que tienen variaciones muy pronunciadas. La expresión de estas funciones es: para a>0 Si a>1, la función es creciente. Por ejemplo Si 0<a<1, la función es decreciente. Por ejemplo La recta y = 0 es una ASÍNTOTA HORIZONTAL
Ejercicios y Problemas
FUNCIONES EXPONENCIALES
Ejercicios y problemas de Funciones Exponenciales
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Problema
FUNCIONES EXPONENCIALES
Ejercicio 1
Solución
- Todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1) - Al ser la base mayor que 1 (a>1), la curva es creciente. - El eje y=0 es una ASÍNTOTA HORIZONTAL. - Hacemos una tabla de datos para averiguar algunos puntos más.
(3,8)
(0,1)
(-2,0.25)
FUNCIONES EXPONENCIALES
Ejercicio 2
Solución
(2 , 0.25)
- Todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1) - Al ser la base menor que 1 (0<a<1), la curva es decreciente. - El eje y=0 es una ASÍNTOTA HORIZONTAL. - Hacemos una tabla de datos para averiguar algunos puntos más.
(-3,8)
(0,1)
(-2,4)
FUNCIONES EXPONENCIALES
Ejercicio 3
Solución
(4 , 0.25)
- Todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1) - Al ser la base menor que 1 (0<a<1), la curva es decreciente. - El eje y=0 es una ASÍNTOTA HORIZONTAL. - Hacemos una tabla de datos para averiguar algunos puntos más.
(-4,4)
(2,0.5)
(-2,2)
FUNCIONES EXPONENCIALES
Problema
Solución
FUNCIONES
Ejercicios varios
Ejercicio 7
Ejercicio 1
Ejercicio 8
Ejercicio 2
Ejercicio 9
Ejercicio 3
Ejercicio 10
Ejercicio 4
Ejercicio 5
Ejercicio 6
FUNCIONES
Ejercicio 1
Solución
- Dominio ℝ - Función continua - Mínimos rel. (-1,-3) y (1,-3) - Máximos rel. (0,0) - Decreciente (-∞,-1) y (0,1) - Creciente (-1,0) y (0,∞)
- Dominio (-∞,-2] y [2,∞) - Función discontinua - Mínimos (-2,-0) y (2,0) - Decreciente (-∞,-2) - Creciente (2,∞)
- Dominio ℝ - Función continua - Mínimo (0,0) - Decreciente (-∞,0) - Creciente (0,∞)