Presentación Relatividad Espacial

Principios de la relatividad especial

Una presentación de Marcelo García Cruz y Iván Cruces Cueto

Índice

3. Postulados de la relatividad especial de Einstein.

6. Principios de la la dinámica relativista.

1. Conflicto entre la electrodinámica de Maxwell y la mecánica de Newton.

7. Correcta resolución de la paradoja de los gemelos

4. Consecuencias de los postulados de Einstein.

2. Antecedentes de la relatividad especial.

5. Transformaciones de Lorentz.

Conflicto entre la electrodinámica de Maxwell y la mecánica de Newton.

Conflicto entre la electrodinámica de Maxwell y la mecánica de Newton.

La electrodinámica de Maxwell y la velocidad de la luz

• Unificación de la electricidad y el magnetismo (electromagnetismo).
• La interacción electromagnética se propaga en forma ondulatoria por un medio que envuelve los cuerpos éter luminífero.
• Si la velocidad tuviera el mismo valor, no se podría aplicar a la electrodinámica el principio de relatividad galileano.
• Si el valor fuera distinto debería existir un ‘’sistema de referencia absoluto’’.
• Si el valor dependiera del sistema de referencia las constantes de la permitividad eléctrica y magnética en el vacío se verían alteradas según el sistema de referencia.
• En 1905, Albert Einstein publicó ‘’Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento’’.

Antecedentes de la relatividad especial.

Antecedentes de la relatividad especial.

• Relatividad galileana.
• El problema de la luz.
• Experimentos de Michelson y Morley.
• Proposición de Lorentz y Fitzgerald.

La relatividad de Newton y Galileo

• Las leyes físicas son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales.
• Se entiende por sistema de referencia inercial los que se encuentran ya sea en reposo relativo o en movimiento rectilíneo uniforme.
• Para llegar a esta conclusión debemos imaginar dos observadores O y O’, que tratan de describir el movimiento de una pelota.

Transformaciones galileanas

La relatividad galileana y el problema de la luz

• Si la velocidad tuviera el mismo valor, no se podría aplicar a la electrodinámica el principio de relatividad galileano.

• Si el valor fuera distinto debería existir un ‘’sistema de referencia absoluto’’.

Experimento de Michelson y Morley

Proposición de Lorentz y Fitzgerald

• ‘’Hipótesis de la contracción de la longitud’’ de la longitud de los cuerpos en movimiento a través del éter.
• Esta contracción aplicada al brazo del interferómetro explica los resultados negativos y mantiene la validez de la relatividad galileana.
• Las uniones electrostáticas entre átomos y moléculas de una sustancia puedan verse afectadas por el movimiento de ésta a través del éter.
• Jules H. Poincaré apuntó en 1904 a la necesidad de una nueva mecánica en el que la velocidad de la luz fuera un límite infranqueable.
• Albert Einstein expuso en 1905 su teoría de la relatividad especial que le daría el nombre de ‘’Newton del siglo xx’’.

Postulados de la Relatividad Especial de Einstein

Introducción

La relatividad especial de Einstein, publicada en 1905, revolucionó nuestra comprensión del espacio, el tiempo y la física fundamental. A partir de los textos proporcionados, exploraremos los dos postulados fundamentales que sustentan esta teoría.

1er postulado de einstein

• Einstein cuestionó la existencia de un sistema de referencia absoluto en reposo.
• Se establece que todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes. Las leyes físicas se cumplen de la misma manera en todos estos sistemas, independientemente de su movimiento relativo.

• No hay un sistema privilegiado; cualquier sistema inercial es válido para describir fenómenos físicos.

2do postulado de einstein

• El experimento de Michelson y Morley demostró que la velocidad de la luz no cambia incluso cuando la fuente emisora está en movimiento.

• Por lo tanto, se asume que la velocidad de la luz en el vacío es constante para todos los observadores, independientemente de su movimiento relativo.

Implicaciones y consecuencias. Dilatación del tiempo

• El tiempo se ralentiza para objetos en movimiento rápido.
• La fórmula para la dilatación del tiempo es:

por un observador en movimiento, (t) es el tiempo medido por un observador en reposo, (v) es la velocidad relativa y (c) es la velocidad de la luz.

Implicaciones y consecuencias. Relatividad de la Simultaneidad

• Eventos simultáneos para un observador pueden no ser simultáneos para otro en movimiento.

• La sincronización de relojes depende del sistema de referencia.

Implicaciones y consecuencias. Velocidad de la Luz como Límite Infranqueable

• Ningún objeto con masa puede alcanzar o superar la velocidad de la luz ((c)).

• La relatividad especial desafía nuestras concepciones clásicas del espacio y el tiempo.

Resumen

La relatividad especial nos lleva a reconsiderar nuestra intuición sobre el tiempo y el espacio. Estos postulados, aparentemente simples, tienen profundas implicaciones y han sido confirmados por experimentos. La relatividad de Einstein sigue siendo una de las teorías más influyentes en la física moderna.

Consecuencias de los postulados de Einstein

Consecuencias de los postulados de Einstein.

• Dilatación del tiempo.
• Contracción de la longitud.
• La paradoja de los gemelos.

Dilatación del tiempo

• Imaginamos dos observadores: O’ (dentro de una nave con un foco de destellos luminosos en el suelo y un espejo que lo refleja en el techo), con velocidad v respecto a O, al cual suponemos estático.
• Analizaremos el tiempo que tarda el destello en reflejarse y volver reflejado.
• El observador O’ verá que el viaje del destello es vertical. Siendo h la altura de la nave el tiempo que mide O’ es Δt’=2h/c, siendo c la velocidad de la luz.
• El observador O ve que la nave se ha desplazado una distancia d=vΔt en el tiempo que el destello ha ido y ha vuelto reflejado.
• Como v<c, entonces γ>1. Esto significa que el observador O mide un tiempo mayor que el observador O’.
• El tiempo transcurre más lentamente a medida que nos movemos a más velocidad.

Imagenes de ejemplo

Contracción de la longitud.

• Imaginemos una regla de longitud l=x2-x1. Donde x1 es el punto donde se emite el destello y x2 es el punto donde vuelve reflejado. Entonces la longitud medida por el observador O es l= vΔt.
• Para el observador O’ la regla se desplaza bajo sus pies con una velocidad relativa v. Sin embargo el tiempo transcurrido entre el paso de un extremo y el de otro es igual al tiempo de ida y vuelta del destello luminoso Δt’. Por lo tanto la longitud medida por O’ es l’= vΔt’.
• Teniendo en cuenta la ecuación de dilatación del tiempo podemos afirmar que la longitud de un objeto medida desde un sistema de referencia con respecto al cual el objeto se mueve, resulta contraída en un factor de 1/Y en la dirección del movimiento.
• El concepto de espacio resulta diferente para dos observadores inerciales en movimiento relativo.

Transformaciones de Lorenz

Transformaciones de Lorenz

Después de lo tratado hasta ahora vemos que las ecuaciones inerciales de Galileo no sirven para fenómenos con variables comparables a la de la luz. En estas transformaciones ya no se cumplirá que t sea igual a t’. Y retomando una paradoja anteriormente expuesta necesitamos unas nuevas transformaciones que cumplan que el O y O’ tengan razón cuando digan que ambos están en el centro de un frente de ondas esférico luminoso:

Transformaciones de Lorenz

Siendo las ordenadas temporales del observador O (x, y, z, t) y para O’ (x’, y’, z’, t’) entonces si recordamos la ecuación matemática de la esfera podemos escribir que:

Transformaciones de Lorenz

Teniendo en cuenta que la velocidad de la luz (c) sera constante para ambos observadores se cumplirá que r = ct a la vez que r’ = ct’ por lo que si sustituimos esto en las dos formulas se nos queda:

Transformaciones de Lorenz

Si consideramos que el movimiento se hace solo en el eje X se cumplirá que y = y’ // z = z’. Al restar ambas ecuaciones se nos queda:

Transformaciones de Lorenz

Tras un complejo desarrollo matemático llegamos a las nuevas ecuaciones de transformación entre ambos sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidad relativa v en la dirección del eje X. Estas ecuaciones permiten transformar las coordenadas de O en las de O’

Transformaciones de Galileo como un caso particular de las de Lorenz

Podemos confirmar la veracidad de las transformaciones de Lorenz si a usarlo a velocidades muchísimo inferiores a la velocidad de la luz, condujese a las transformaciones Galileanas. Y en efecto si v<<c las transformaciones tienden a convertirse en:

Transformaciones de Lorenz de la velocidad

Consideremos un cuerpo que se mueve en la dirección del eje X con una velocidad vx con respecto al sistema de referencia del observador O ¿Cual sera esa velocidad de ese objeto respecto a O’? Para el observador O’ el cuerpo se ha desplazado una distancia Δx’ en un tiempo Δt’. Por tanto:

Transformaciones de Lorenz de la velocidad

Teniendo en cuenta las transformaciones de Lorenz que hemos expuesto, obtenemos:

Se puede observar que si v << c las ecuaciones tienden a las transformaciones de Galileo

La velocidad de la luz como un límite infranqueable.

La conclusión del análisis de Michelson y Morley revelaba que la velocidad de la luz se mantuvo constantemente y independientemente del movimiento del foco emitido. Este suceso fue asumido por Albert Einstein como segundo postulado. Las transformaciones de Lorentz de la velocidad confirman este segundo postulado, veamos cómo las transformaciones de Lorentz de la velocidad confirman este segundo postulado.

La velocidad de la luz como un límite infranqueable.

Consideremos que un organismo se desplaza en relación a la velocidad de la luz. ¿Qué velocidad se moverá en relación con O' si la velocidad de O' es v con respecto a O? Hasta que Einstein estableció el principio de relatividad, la respuesta a esta cuestión era clara: la velocidad sería c - v. No obstante, mediante la transformación de Lorentz, se puede constatar que esta afirmación no es así. La aceleración del cuerpo en relación a O' es, en este caso:

Paradoja del c + c = 2c

Si un cuerpo se desplaza con una velocidad c en comparación con O', ¿cuál sería su velocidad en relación con O si O' se mueve también con una velocidad c en comparación con O? La respuesta evidente parece que el cuerpo se desplazará con una velocidad c+c=2c. En este caso, el problema radica en calcular la velocidad en el sistema de O, conocida como dicha velocidad en el sistema de O. Es necesario efectuar unatransformación inversa de la velocidad.Si procedemos de las transformaciones inversas de la posición y seleccionamos la composición x de la velocidad como dirección del movimiento, y si efectuamos vx=c y v=c, la transformación de Lorentz inversa conduce a:

Paradoja del c + c = 2c

Desde estas demostraciones se derivan dos conclusiones de suma importancia trascendental y que determinan la peculiaridad de los fenómenos que ocurren a velocidades próximas a las de la luz:

• La velocidad de la luz en el vacío, c, es igual para todos los sistemas de referencia inerciales, con independencia de su movimiento relativo (lo que confirma el segundo postulado)
• La velocidad de la luz es un límite insalvable. No existe ningún cuerpo que pueda desplazarse a velocidades superiores que la de la luz, sin importar el sistema de referencia que seleccionemos.

Principios de la la dinámica relativista

Introducción

La última conclusión señalada y demostrada a partir de las transformaciones de Lorentz respecto al valor infranqueable de la velocidad de la luz acerca del valor infranqueable de la velocidad de la luz requiere reconsiderar los principios en los que se sustenta la dinámica de Newton. Es necesario considerar, en virtud de la segunda legislación, que si una fuerza intensa actúa sobre una partícula durante un período indefinido, la velocidad de esta aumentará ilimitadamente.

La masa relativista

Recordemos la formulación original de la segunda ley de Newton. Según ella:

La masa relativista

Al trabajar con la segunda ley de Newton, se evidenciaba que la masa del cuerpo no variaba al someterla a una fuerza, lo cual conducía a la formulación clásica. F = maSin embargo, si establecemos a esta expresión la condición de que la velocidad no puede crecer indefinidamente, sino que posee un valor insuperable a c, es necesario admitir que, al aproximarnos a dicha velocidad, la actuación continua de la fuerza no produce aceleración (deja de actuar el segundo sumando de la igualdad), lo cual solo puede explicarse si consideramos que la masa se incrementa con la velocidad, de modo que la inercia del cuerpo aumenta con dicha velocidad Ahora bien, ¿de qué forma puede influir la masa de la velocidad en la masa? No llevaremos a cabo una deducción matemática formal; únicamente expondremos las condiciones límites que debe cumplir la masa, denominada relativista, y indicaremos la expresión que se ajusta a estas circunstancias.

La masa relativista

De este modo, sería imposible producir aceleración a partir de dicha velocidad cuando v = c.La masa relativista debe ser idéntica a la del cuerpo medida en reposo relativo cuando v = 0. La masa en reposo (m)

Momento lineal relativista

La dependencia de la masa con la velocidad a medida que esta se aproxima a c obliga a modificar de manera consecuente los conceptos en los que interviene la masa: el momento lineal y la energía. En consecuencia:El momento lineal relativista relativista responde a la ecuación siguiente:

Energía relativista

• La energía cinética relativista responde a la expresión:

• La energía en reposo de una partícula de masa mo, en reposo es:

• La energía total relativista es, en consecuencia:

Correcta resolución de la paradoja de los gemelos

Correcta resolución de la paradoja de los gemelos

1a pregunta

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