Fase 3 determinantes, vectores en el plano y en el espacio
ALGEBRA LINEAL
LUZ AMPARO ORDOÑEZ MORALES
Explorando determinantes y vectores en el plano y el espacio en la Fase 3
DETERMINANTE
Los determinantes son valores numéricos asociados a matrices cuadradas. Nos permiten entender la linealidad y la independencia de los vectores en el espacio. A través de operaciones como la regla de Sarrus y el método de Laplace, podemos calcular los determinantes de forma eficiente.
CALCULO DE DETERMINANTES 2 X 2
El cálculo de determinantes para matrices 2x2 es bastante sencillo. Para calcular el determinante de una matriz 2x2, se siguen los siguientes pasos:
1. Se multiplican los elementos de la diagonal principal (de arriba a abajo y de izquierda a derecha).
2. Se multiplican los elementos de la diagonal secundaria (de arriba a abajo y de derecha a izquierda).
3. Se resta el producto obtenido en el paso 2 del producto obtenido en el paso 1.
EJEMPLOS
CALCULO DE DETERMINANTES 3 X 3
El método de determinantes es una técnica utilizada para calcular el determinante de una matriz cuadrada. Aquí te muestro cómo puedes calcular el determinante de una matriz 3x3 utilizando este método.
Supongamos que tienes la siguiente matriz 3x3:
Para calcular el determinante ∣A∣ de esta matriz, puedes usar la regla de Sarrus o el método de expansión por cofactores.
Método de Sarrus
1. Multiplica los elementos de las diagonales descendentes. 2. Multiplica los elementos de las diagonales ascendentes. 3. Suma los resultados de los pasos 1 y 2. 4. Resta la suma del paso 2 de la suma del paso 1.
Método de de expansión por cofactores
1. Elige una fila o una columna de la matriz.
2. Por cada elemento de esa fila o columna, calcula el cofactor del elemento.
3. Multiplica cada elemento por su cofactor.
4. Suma los productos obtenidos.
pregunta 7/10
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES EN EL ÁLGEBRA LINEAL Y OTRAS ÁREAS
1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Los determinantes se utilizan para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única, ninguna solución o infinitas soluciones. Además, la regla de Cramer utiliza determinantes para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales mediante el uso de matrices.
2. Cálculo del área de un paralelogramo o un triángulo: El valor absoluto de un determinante de una matriz 2x2 se puede interpretar geométricamente como el área de un paralelogramo formado por los vectores fila o columna de la matriz. En el caso de una matriz 3x3, el valor absoluto del determinante es igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores fila o columna de la matriz.
APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES EN EL ÁLGEBRA LINEAL Y OTRAS ÁREAS
3. Independencia lineal de vectores: Un conjunto de vectores es linealmente independiente si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es distinto de cero. Esta propiedad es fundamental en la teoría de espacios vectoriales.
4. Inversión de matrices: Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. El cálculo de la inversa de una matriz también implica el uso de determinantes, ya que la fórmula de la matriz inversa implica la transposición de la matriz de cofactores, que depende de los determinantes.
APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES EN EL ÁLGEBRA LINEAL Y OTRAS ÁREAS
5. Geometría computacional: En el campo de la computación gráfica y la geometría computacional, los determinantes se utilizan para determinar la orientación relativa de puntos, líneas y planos en el espacio tridimensional. Por ejemplo, se utilizan en algoritmos para determinar si un punto está dentro de un polígono, si dos segmentos de línea se intersectan, etc.
6. Ecuaciones diferenciales: Los determinantes se utilizan en la teoría de ecuaciones diferenciales para analizar sistemas dinámicos y determinar la estabilidad de los puntos críticos.
VECTORES EN EL PLANO
Un vector es una entidad matemática que tiene magnitud y dirección. En términos más simples, un vector es una cantidad que se representa por una flecha en un espacio, donde la longitud de la flecha representa la magnitud del vector y la dirección de la flecha indica la dirección del vector.
Los vectores se utilizan en diversas áreas, como la física, la ingeniería, la informática, entre otras. Por ejemplo, en física, los vectores se usan para representar la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. En matemáticas, los vectores se usan en álgebra lineal para representar puntos en el espacio, como posiciones en un plano cartesiano o en un espacio tridimensional. Los vectores también se utilizan en campos como la programación, donde se usan para representar cantidades como desplazamientos, velocidades y fuerzas en simulaciones y gráficos por computadora.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES EN EL PLANO
Un vector en un plano se representa mediante un segmento rectilíneo dirigido (una flecha). Los puntos finales del segmento se denominan punto inicial y punto terminal del vector. Una flecha desde el punto inicial hasta el punto terminal indica la dirección del vector.
OPERACIONES CON VECTORES EN EL PLANO
Suma de vectores
La operación de suma de dos o más vectores da como resultado otro vector. Para realizar la suma de vectores existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica o mediante el uso de geometría analítica.
El método algebraico es conocido como método directo.
Los métodos usando geometría analítica son conocidos como, el método del polígono que es utilizado para sumar más de dos vectores, el método del triángulo es el caso particular del método del polígono cuando únicamente se suman dos vectores, y el método del paralelogramo igualmente para sumar dos vectores.
OPERACIONES CON VECTORES EN EL PLANO
Suma
Método algebraico
1. Método directo
Para sumar dos o más vectores se suman sus respectivas componentes de cada vector.
En el caso de dos vectores, la suma se realiza de la siguiente forma:
Ejemplo
OPERACIONES CON VECTORES EN EL PLANO
Suma
Métodos con geometría analítica
Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.
OPERACIONES CON VECTORES EN EL PLANO
Suma
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
OPERACIONES CON VECTORES EN EL PLANO
Suma
El método del polígono es utilizado cuando queremos sumar más de dos vectores, y consiste en colocar un vector a continuación del otro, de modo que el extremo de uno coincida con el origen del otro, y así sucesivamente, hasta colocar todos los vectores, la resultante será el vector que cierra el polígono, es decir, es aquel que va desde el inicio del primero al extremo del último vector.
Resta de vectores
La operación de resta de dos o más vectores da como resultado otro vector. Para realizar la resta de vectores existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica o mediante el uso de geometría analítica.
El método algebraico es conocido como método directo.
Los métodos usando geometría analítica son conocidos como, el método del polígono que es utilizado para restar más de dos vectores, el método del triángulo es el caso particular del método del polígono cuando únicamente se restan dos vectores, y el método del paralelogramo igualmente para restar dos vectores.
Resta de vectores
Método algebraico
1. Método directo
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Métodos con geometría analítica
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
3. Método del polígono
El método del polígono es utilizado cuando queremos restar más de dos vectores, y consiste en colocar un vector a continuación del otro, de modo que el extremo de uno coincida con el origen del otro, y así sucesivamente, hasta colocar todos los vectores, la resultante será el vector que cierra el polígono, es decir, es aquel que va desde el inicio del primero al extremo del último vector.
PRODUCTO POR UN ESCALAR
El producto de un vector por un escalar es una operación que consiste en multiplicar cada componente del vector por el escalar. Esto resulta en un nuevo vector cuya magnitud y dirección pueden cambiar dependiendo del valor del escalar.
COMPONENTES DE UN VECTOR EN COORDENADAS RECTANGULARES
Las componentes de un vector en coordenadas rectangulares se refieren a las proyecciones del vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas, típicamente el eje x (horizontal) y el eje y (vertical).
MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO
PRODUCTO PUNTO Y PRODUCTO CRUZ ENTRE VECTORES EN EL PLANO
El producto punto y el producto cruz son dos operaciones vectoriales importantes que se pueden realizar entre vectores en el plano.
VECTORES EN EL ESPACIO
Un vector en el espacio tridimensional es una entidad matemática que tiene magnitud y dirección y que está definida en un sistema de coordenadas tridimensional. A diferencia de los vectores en un plano, que tienen solo dos componentes (horizontal y vertical), los vectores en el espacio tridimensional tienen tres componentes, una en cada una de las tres dimensiones: x, y, y z.
Un vector en el espacio tridimensional se puede representar como una flecha en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, donde la longitud de la flecha representa la magnitud del vector y la dirección de la flecha indica la dirección del vector en el espacio.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES EN EL ESPACIO
OPERACIONES CON VECTORES EN EL ESPACIO
¡Felicidades!
¡quiz completo!
COMPONENTES DE UN VECTOR EN COORDENADAS RECTÁNGULARES EN EL ESPACIO
En el espacio tridimensional, un vector se puede descomponer en sus componentes rectangulares de manera similar a como se hace en el plano, pero ahora tenemos tres direcciones: x, y, y z.
MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO
La magnitud y dirección de un vector en el espacio tridimensional se pueden calcular de manera similar a los vectores en el plano, pero ahora considerando tres dimensiones: x, y, y z.
MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO
Para encontrar la magnitud y dirección de un vector en el espacio tridimensional, puedes seguir estos pasos:
PRODUCTO PUNTO Y PROUCTO CRUZ ENTRE VECTORES EN EL ESPACIO
CONCLUSIONES
Los determinantes son herramientas fundamentales en álgebra lineal que se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, encontrar áreas y volúmenes, y determinar si una matriz es invertible, entre otras aplicaciones.
Los determinantes proporcionan información sobre la geometría y la linealidad de un sistema de ecuaciones o de un conjunto de vectores. Los vectores en el plano son útiles para representar cantidades como desplazamientos, velocidades, fuerzas y momentos en dos dimensiones.
Se pueden realizar diversas operaciones vectoriales en el plano, como suma, resta, multiplicación por un escalar, producto punto y producto cruz, que tienen aplicaciones en física, ingeniería y geometría. Los determinantes están relacionados con los vectores a través de conceptos como el producto cruz, donde el resultado es el determinante de una matriz especial formada por los vectores originales.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Meyer, C. D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM.
Kostrikin, A. I., & Manin, Y. I. (1997). Linear Algebra and Geometry. Gordon and Breach.
Anton, H., & Rorres, C. (2019). Álgebra Lineal con Aplicaciones. Pearson.
¡Muchas gracias!