DIDACTICA DE LAS MATEMÁTICAS. POLICUBOS

Didáctica de las matemáticas

MAGISTERIO PRIMARIA SEMIPRESENCIAL

Materiales para Geometría, policubos

Mª Soledad Gómez Monge

INDICE PRESENTACIÓN

MATERIALES PARA GEOMETRÍA: POLICUBOS

1. Descripción e imágenes.

2. Clasificación (ver tema 3 de la asignatura).

3. Contenidos de Primaria que se pueden trabajar con policubos.

4. Policubos para trabajar contenidos matemáticos para cada ciclo de Primaria.

5. Policubos para plantear problemas matemáticos para cada ciclo de Primaria.

6. Valoración personal

7. Referencias bibliográficas.

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1. Policubos: descripción e imágenes

Según Santacreu et. al (2015), los policubos son cubitos, normalmente de plástico, que se utilizan tanto en Educación Infantil, como en Primaria y en Secundaria. Su utilización se corresponde con la de un material de apoyo en la enseñanza de las matemáticas. Se comercializan en diferentes tamaños (localizándose dos o tres modalidades diferentes, no intercambiables); y en general se puede decir que se trata de pequeñas piezas (cubos iguales), que se pueden unir de formas diferentes por sus caras (se ensartan unos en otros), formando diferentes cuerpos geométricos. Como puede apreciarse ya en esta definición, se trata de un recurso de gran simplicidad, lo que lleva aparejado un pequeño coste de cara a su adquisición, y permite un amplio abanico de posibilidades para los docentes de cara a trabajar ciertos contenidos matemáticos. Estas peculiaridades suponen una importante ventaja de cara a la utilización de este material.

Según Zubillaga (2021), se denomina policubo, o también denominado multicubo, a la unión de dos o más cubos de igual tamaño por una o varias de sus caras. La figura 1 muestra todos los policubos que poseen desde uno hasta cuatro unidades.

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1. Policubos: descripción e imágenes

Figura 1.Policubos de diferentes tamaños

Peralta (2013) clasifica los policubos en diferentes grupos: llamaremos di cubos, tricubos, tetracubos … a los policubos obtenidos juntando dos, tres, cuatro, … cubos respectivamente. Los últimos, dos tetracubos, situados en la parte inferior derecha de la figura, tienen imágenes especulares entre sí, dado que uno es el reflejo especular del otro. A estos tetracubos se les denomina quirales porque uno es el reflejo especular del otro y no pueden superponerse entre sí. El interés por los policubos, entre otras cuestiones, proviene del hecho de que, con algunos conjuntos de estos pueden formarse diferentes figuras y en especial, la de un cubo. Un conjunto de piezas con el que puedan formarse una o más figuras constituye un puzle de disección. A continuación, se presentan doce puzles de disección espaciales donde sus piezas son, precisamente, policubos: Cubo de Soma, Cardano, diabólico, Yoshigahara, de la media hora, Lola, bucólico, Gribonval, Valdés, Lesk, y Block. Algunas imágenes que permiten hacerse una idea de cómo es este material:

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1. Policubos: descripción e imágenes

Imagen 1 e Imagen 2 Fichas de policubos Fichas de policubos

Fuente: www.aprendiendomatematicas.com

Fuente: www.aprendiendomatematicas.com

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1. Policubos: descripción e imágenes

Imagen 3 Imagen 4 Construcción con policubos Construcción de policubos

Fuente: www.aprendiendomatematicas.com

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2. Policubos: clasificación de este material

Diferentes autores han clasificado los materiales o recursos de los que servirse para la enseñanza de matemáticas. En concreto me centraré en tres clasificaciones diferentes para situar el material de los policubos conforme a ellas. Godino, (2011) establece una clasificación de materiales y recursos que se divide en las siguientes categorías: • Material empleado para la ayuda al estudio: libros de texto y apuntes; o situaciones didácticas (variables didácticas). • Material manipulativo: manipulativos tangibles, manipulativo gráfico -textuales – verbales. • Recursos tecnológicos: Calculadora, ordenador, fotografía, pantalla interactiva, vídeo, internet. • Juegos y pasatiempos: De estrategia y de conocimiento. Siguiendo esta clasificación, los policubos, material sobre el que versa este trabajo, estarían incluidos en el material manipulativo, en concreto en el material manipulativo tangible. El trabajo con los policubos permite tocar las piezas, manipularlas, moverlas, hacer diferentes agrupaciones y encajes con ellas (de ahí lo de manipulativo), y esta manipulación permite que determinados conceptos abstractos, se conviertan en aspectos concretos y tangibles, (accesibles a la mano de los alumnos), lo que facilita la comprensión por parte de los mismos).

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2. Policubos: clasificación de este material

Otros de los autores que establece la clasificación de los materiales y recursos para la enseñanza de las matemáticas es González Marí (2010), atendiendo a los bloques de contenido que se trabaja. Así establece los siguientes grupos clasificatorios:

• Pensamiento Lógico matemático: bloques lógicos, lottos, secuencias temporales, series, robot, torre de Hanoi, etc.
• Numeración y operaciones aritméticas: regletas, ábacos, bloques de base 10, palillos, tableos, puzles, cartas, series aritméticas, materiales para fracciones y decimales, et.
• Datos, azar y probabilidad: dados, monedas, bolas, cartas, bingos, ruletas, etc.

• Iniciación al álgebra: Balanzas numéricas, puzle algebraico, etc.
• Geometría: tangram, polígonos y poliedros, mosaicos y teselaciones, espejos, construcciones, geoplanos, geoespacio, tramas isométricas, instrumentales de dibujo, etc.
• Medida: materiales del sistema métrico decimal, cuadrículas, tramas y geoplanos, policubos, instrumentos de medida tradicional.

Si seguimos esta clasificación, los policubos están incluidos por Ibidem, en el grupo, materiales de medida. Pero aquí los estamos empleando, como ya he dicho, para trabajar la Geometría, lo que supondría un cambio de grupo con respecto a lo pautado por este autor, incluyendo los policubos en el grupo de Geometría. Esto que comento, nos sirve para hacer constar la versatilidad de este material, los policubos, que muestra múltiples utilidades, tal y como se ha expuesto en el apartado anterior.

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2. Policubos: clasificación de este material

Por último, Flores et. al, (2011) establecen una clasificación de los materiales y recursos para la enseñanza de las matemáticas, según su utilidad: • Según el momento en el que se utilicen:

• Pre instruccional: cuento, vídeo, que sirve para introducir un concepto.
• Co instruccional: ábaco, regletas (que sirven para trabajar el concepto).
• Post instruccional: Lotería, dominó, etc. (Sirve para repasar algo ya trabajado).

Desde esta óptica, los policubos, podrán clasificarse en cualquiera de estos grupos, dependiendo del momento de su utilización, aunque generalmente yo los englobaría en el grupo co instruccional, puesto que los utilizaremos en mayor medida, para trabajar el concepto y hacerlo, como ya he dicho, tangible. • Según su utilidad: Mostrar y observar, memorizar, manipular, comprender, hacer algoritmos, buscar y desarrollar estrategias;y plantear y resolver problemas. Atendiendo a esto último, los policubos se clasifican dentro del grupo de materiales y recursos según su utilidad en la de manipular, puesto que como ya dije antes permiten la manipulación de los materiales que lo forman.

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2. Policubos: clasificación de este material

En resumen: los policubos son un material que se clasifica según Godino (2004), dentro de material manipulativo, según González Marí (2010), dentro del grupo (según bloques de contenido) de medida y Geometría, y según Flores et. al (2011), atendiendo a su utilidad, se clasifican dentro del grupo de manipular y atendiendo al momento de su utilización en el co instruccional.

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3. Contenidos de Primaria que se pueden trabajar con policubos

Según Santacreu (2015), la utilidad de los policubos no se ciñe a la Geometría, (que es en lo que me voy a centrar en esta exposición, siguiendo las indicaciones de la práctica), sino que en Educación Primaria se pueden utilizar para: • Hacer creaciones libremente, para potenciar la imaginación y la concentración. • Practicar sumas y restas y multiplicaciones. • Familiarizarse y trabajar las fracciones. • Trabajar la Geometría, que centra esta práctica. • Trabajar la Estadística y los diagramas de barras. • Utilizarlos como si fuesen regletas.

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4. Policubos para trabajar algún contenido matemático para cada ciclo de Primaria

Según Real Decreto 157/2022, de 1 de marzo, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria, los saberes básicos (en lo que a Geometría se refiere, que es la parte que me ha tocado desarrollar a mi), en los que se engloban los contenidos matemáticos para cada ciclo de Primaria con los que voy a utilizar el material de los policubos están ubicados en el grupo C: Sentido Espacial, y dentro de éste, al apartado número 1 que hace referencia a las figuras geométricas. Sobre esta base, como ya he dicho, planteo la utilización de los policubos para trabajar algún contenido del primero, segundo y tercer ciclo. Para empezar, una actividad motivadora: Los policubos permiten iniciar las sesiones con actividades motivadoras, no asociadas a los contenidos académicos, lo que logra una buena predisposición de los niños hacia la tarea. Esta actividad motivadora puede emplearse con los niños de los tres ciclos de Primaria, sólo que se van aumentando el número y colores de las piezas que se le facilita a los niños. Se muestra una imagen de esta actividad, imagen 6.

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4. Policubos para trabajar algún contenido matemático para cada ciclo de Primaria

Imagen 6

Actividad motivadora con policubos (Realiza una figura con las piezas facilitadas).

Fuente: www.reseteomatemático.com

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4. Policubos para trabajar algún contenido matemático para cada ciclo de Primaria

Imagen 6.

Ficha para responder con el uso de policubos

Entrando en contenidos más académicos, otra actividad que se puede plantear es la siguiente: Doy a cada niño varias piezas de policubos (también se pueden utilizar juguetes tipo lego o cualquier otro material de construcción). Pero en mi caso se usan los policubos, puesto que el trabajo versa sobre ello. Les proporcionamos a los niños una ficha con preguntas que tendrán que ir respondiendo. Como por ejemplo, la ficha de la imagen, imagen 6. Cada alumno lee y hace de manera autónoma las propuestas. Y el profesor guía la realización. La hoja impresa les servirá para dibujar las construcciones realizadas. Esta representación gráfica es una ayuda en el camino hacia el lenguaje simbólico. Esta actividad permite ampliar la dificultad de esta actividad de geometría ofreciendo mayor cantidad de bloques, con más colores o con preguntas más complejas, de forma que se puede por lo tanto adaptar a los tres ciclos de Educación Primaria. En el primer ciclo se puede trabajar configuras 2D, en el segundo con figuras 3D y en el tercero y último ciclo con figuras 3D más complejas.

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Fuente: www.aprendiendomatematicas.com

4. Policubos para trabajar algún contenido matemático para cada ciclo de Primaria

Imagen 7.

Hasta ahora he presentado actividades más generales en lo que a la etapa de Primaria se refiere, y ahora voy a presentar tres actividades utilizando policubos, que se ciñen a los contenidos de cada ciclo de Primaria, y por lo tanto podríamos decir, son más específicas de cada una de ellas.

Construcción figura geométrica 2D

Teniendo en cuenta los saberes básicos a los que hice ya referencia. Esta actividad podría realizarse en el primer ciclo de Educación Primaria. Podemos proponerles un desafío que consiste en construir un objeto determinado. En este caso una figura 2D. Se les proporcionan a los alumnos los policubos para que ensetándolos la consigan según un patrón. Sobre esta construcción se repasa el vocabulario geométrico básico: descripción verbal de los elementos y las propiedades de figuras geométricas sencillas. (Podemos hablar de cuánto tiene de largo la figura, cuánto tiene de ancho, definiendo así las dos dimensiones y asociándolas a la figura concreta). Podemos utilizar elementos cotidianos para acercar este contenido a la realidad del niño. En la siguiente imagen, imagen 7, se muestra un ejemplo:

Fuente: ww.reseteomatemático.com

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4. Policubos para trabajar algún contenido matemático para cada ciclo de Primaria

Imagen 8.

Construcción de figura geométrica 3D

Para el segundo ciclo de Primaria, podemos plantearles una actividad similar pero ya en esta ocasión lo que les vamos a proponer, facilitándoles los policubos, es que construyan una figura 3D. Como en la imagen 7. Sobre esta construcción realizamos una descripción verbal de los elementos y las propiedades de las figuras geométricas en 3D. Podemos comparar con una construcción como la anterior para que los alumnos detecten las diferencias entre 2D y 3D, por ejemplo.

Fuente: ww.reseteomatemático.com

Imagen 9.

Por último una actividad que podemos proponer para trabajar contenidos matemáticos del tercer ciclo de Educación Primaria es la siguiente: Teniendo en cuenta este contenido del ciclo, construcción de figuras geométricas por composición y descomposición, mediante materiales manipulables, los alumnos construyen con las piezas de policubos que le facilitamos; la figura geométrica que se corresponde con la planta y el alzado del modelo. Se muestra ejemplo en la imagen 9. A continuación los alumnos realizan la descripción verbal de los elementos y las propiedades de figuras geométricas que han construido.

Dibujar la planta y los alzados de un modelo dado

Fuente: ww.reseteomatemático.com

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5. Policubos para plantear problemas matemáticos para cada ciclo de Primaria

La resolución de estos problemas que voy a plantear se puede realizar en grupos de trabajo, lo cual resultará de mucho interés porque permitirá trabajar aprendizaje cooperativo (no me detengo más en explicar el funcionamiento porque ya todos sabemos de qué estoy hablando. En el primer ciclo de Primaria, se les facilita a los alumnos un conjunto de policubos de diferentes colores. • PROBLEMA 1: Se les pide que construyan todos los números, animales o letras que sean capaces. Para ello es conveniente darles algún modelo previo como por ejemplo los siguientes animales:

Se les plantea a los alumnos la siguiente cuestión. ¿Cuántos animales de dos dimensiones has podido construir?, ¿Cuántas letras en dos dimensiones?,¿cuántos números?

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5. Policubos para plantear problemas matemáticos para cada ciclo de Primaria

En el segundo ciclo de Primaria, podemos plantear los siguientes problemas: PROBLEMA 1. Con los policubos facilitados, (se le facilitan previamente los policubos), construye una serpiente y muéstranosla desde distintos ángulos de visión. La resolución de este problema quedaría así, tal cual se muestra en el siguiente vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=cpHuxWnofLs&list=PLEb9TCTxzeQcBgVmlubZ8qKwhTsOseiJM&index=2

PROBLEMA 2: Se les facilitan a los alumnos los policubos y dos modelos a reproducir, para después plantearles preguntas para la reflexión. El problema quedaría así: Observa los siguientes dibujos y construye con los policubos las figuras representadas en los dibujos:

Responde a las siguientes preguntas: • ¿Cuántos cubos tiene cada figura? Si alguna figura tiene más más cubos qué otra, ¿Cuántos cubos más tiene? Coge los policubos de la segunda figura y construye con ellos varias figuras diferentes. Ahora responde: • ¿Con el mismo número de policubos se pueden crear figuras diferentes. ¿Cuántas has sido capaz de crear?

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5. Policubos para plantear problemas matemáticos para cada ciclo de Primaria

De cara al tercer ciclo de Primaria, este mismo problema se puede ampliar introduciendo una pregunta más que hará a los alumnos tener que pensar en el volumen de la figura. Por ejemplo, podemos plantearles a los alumnos partiendo de las mismas imágenes, lo siguiente: • PROBLEMA 1.A: Las dos figuras anteriores, ¿Tienen el mismo volumen? Explica tu respuesta. Otra posible variación del problema sería el siguiente: • PROBLEMA 1.B: Construye con los policubos de la segunda de las imágenes otras dos figuras que tengan el mismo volumen que la figura dos. (Pero distinta forma). • PROBLEMA 2: También podemos darles diferentes figuras de policubos, como por ejemplo las de la imagen: Y plantearles esta pregunta como problema a resolver: Ordena estas figuras de forma que la primera tenga más policubos de las cinco y la última tenga menos policubos (ordena por lo tanto de más policubos a menos policubos de la construcción. ¿Se puede decir que has ordenado las figuras de más voluminosas a menos? ¿Por qué?

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6. Valoración personal sobre el uso de policubos

De forma muy breve, comentar que me ha resultado muy interesante conocer este material para la enseñanza de las matemáticas, que desconocía previamente. He podido comprobar gracias a esta práctica, que inicialmente debo decir me daba cierto respeto:

• Las múltiples posibilidades de ofrece para la enseñanza de los distintos contenidos dentro del área de las Matemáticas en Educación Primaria.

• El bajo coste que supone su adquisición.

• Las ventajas de la empleabilidad de este material manipulativo para acercar a los alumnos conceptos a veces tan abstractos, que se convierten en problemas de comprensión para los alumnos.

Creo que esta práctica, al igual que otras anteriores, me ha ayudado a abrir la mente y a estar dispuesto a conocer nuevos materiales para la mejora de la calidad docente el día de mañana.

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7. Referencias bibliográficas

Aprendiendo matemáticas. Qué son los Policubos y cómo aprender con ellos. https://aprendiendomatematicas.com/que-son-los-policubos-o-multicubos-y-actividades/

Flores, P., Lupiáñez, J., Berenguer, L., Marín, A. y Molina, M. (2011). Materiales y recursos en el aula de matemáticas, tema 2, pp. 41 - 72. Universidad de Granada.

Godino, J. D. (Director). (2004). Didáctica de las matemáticas para maestros, Capítulo I.4, Subcapítulos A y B, pp. 125-146. Universidad de Granada.

González Marí, (2010). Recursos, material didáctico y juegos y pasatiempos para Matemáticas en Infantil, Primaria y ESO: consideraciones generales. Universidad de Málaga.

Reseteo matemático. Policubos, qué son y para qué sirven. https://reseteomatematico.com/policubos-que-son-y-para-que-sirven/#:~:text=Los%20Policubos%20o%20Multicubos%20son,distintos%20modelos%20en%20el%20mercado.

Santacreu, M., Campos, P., Candela, C., Ivars, N., y Martí, M. (2015). Policubos. Funes Universidad de los Andes. Universidad de Alicante, departamento de innovación y formación didáctica

Fernández, C.; Llinares, S. (Coords.). Alternativas en la enseñanza de las Matemáticas en la Educación Primaria. Alicante: Departamento de Innovación y Formación Didáctica, Universidad de Alicante.

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7. Referencias bibliográficas

Peralta, J. S. C. P. E. (2013). Poliminós y policubos. Actas del VII CIBEM ISSN, 2301(0797), 881.cx

Real Decreto 157/2022, de 1 de marzo, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria. Boletín Oficial del Estado, núm. 52, de 2 de Marzo de 2022, pp.24492-24501. https://www.boe.es/eli/es/rd/2022/03/01/157/con

Zubillaga Berazaín, R. B. (2022). Puzles de policubos. Números: revista de didáctica de las matemáticas.110. pp 197 – 208.