Math quiz

TÉCNICAS DE CONTEO

6IV21

EQUIPO #2

Nolasco Colchado Angel Esteban Ortega Xopa Kevin Jovany Ramos Francisco Ajeleth Rivero Quintanilla Jesus Israel Sanchez Zenteno Diego Alejandro

1.- Principio fundamental de conteo 2.- Factorial3.- Ordenaciones4.- Permutaciones 5.- Combinación

DefiniciónDiagrama de árbol y multiplicación Ejemplos

DefiniciónEjemplos

DefiniciónEjemplos (con/sin repetición)

ÍNDICE

DefiniciónPermutación Lineal con ejemplo Permutación Circular con ejemplo Permutación Repetición con ejemplo

Definición / Tipos Combinaciones sin repetición Ejemplo de combinaciones sin repetición Combinaciones con repetición Ejemplos de combinaciones con repetición

1.- PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

DEFINICIÓN: El principio fundamental de conteo, se utiliza para determinar los posibles resultados que pueden existir cuando hay dos o más características que se pueden evaluar.

Esta se puede obtener de dos maneras:

• Diagrama de árbol
• Multiplicación (m*n)

UN EVENTO Y EL OTRO

• Suma (m+n)

UN EVENTO O EL OTRO

Ejemplo:

Sofia trabaja en una tienda de ropa. Se le ha asignado la tarea de vestir a un maniquí con una falda, una blusa y un par de zapatos de una exposición de faldas, blusas y zapatos que hacen juego. Ya que todas las prendas combinan, ella puede elegir cualquier blusa, cualquier falda y cualquier par de zapatos y el atuendo se verá bien. Si hay 3 faldas, 5 blusas y 2 pares de zapatos, ¿De cuántas maneras distintas puede vestir al maniquí?

p número de posibilidades = 5 q número de psibilidades = 3 r número de psoibilidades =2

p *q* r = 5*3*2= 30

B1, F1, Z1B1, F1, Z2B1, F2, Z1 B1, F2, Z2 B1, F3, Z1 B1, F3, Z2

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO

Localidad "x" van a realizar una serie de matrículas escolares, deben considerar que los 2 primeros elementos deben ser consonantes distintas, los siguientes 3 elementos deben ser números del 0 al 9 distintos y el último elemento debe ser una vocal, en total son 6 elementos. ¿Cuántas matrículas se pueden realizar?

SOLUCIÓN:

22

21

10

1,663,200

03

ORDENACIONES

3.- ordenaciones

DEFINICIÓN:El ordenamiento de los datos es colocar los datos en cierto orden específico, como ascendente o descendente. Existen dos tipos de Ordenaciones: - Ordenaciones sin Repetición: quiere decir que no se puede repetir ningún dato de los que se están ordenando.

- Ordenaciones con Repetición: en este caso no importa si algún dato se repite, por lo que hay más posibles formas de ordenar los datos a comparación de las Ordenaciones sin repetición. Donde: k= al número de total de elementos y n= es el tamaño de la ordenación.

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO

1.- Si tenemos a 16 corredores que participan en una competencia escolar A) ¿Cuántas posibles ordenaciones podrían haber para el primer, segundo y tercer lugar de la competencia? B)¿De cuantas maneras pueden llegar los 16 corredores a la meta?

2.- ¿Cuántas palabras clave de 8 caracteres se pueden construir con un alfabeto de 60 caracteres diferentes? A)¿Cuántas placas para motocicletas se pueden hacer si cada una necesita 5 caracteres entre los 10 dígitos y las 27 letras del abecedario, si se pueden repetir?

04

PERMUTACIONES

4.- PERMUTACIONES

DEFINICIÓN:En matemáticas, una permutación es un arreglo ordenado de elementos. En otras palabras, es una disposición de objetos en un orden específico. Las permutaciones se utilizan para representar todas las posibles formas en las que un conjunto de elementos puede ser ordenado.

Permutación lineal,circular y c/repetición:

Una permutación con repetición se refiere a organizar elementos donde algunos o todos los elementos pueden repetirse. FORMULA:

• Prepetición​ representa el número de permutaciones con repetición.
• n es el número total de elementos en el conjunto.
• n1,n2,…,nk​ son las repeticiones de cada elemento respectivamente.

Una permutación lineal, a menudo simplemente llamada "permutación", es un arreglo ordenado de elementos distintos. FORMULA: P (n) = n! Donde:

• P lineal representa el número de permutaciones lineales.
• n! representa el factorial de n!, que es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n!

La permutación circular implica organizar elementos en un círculo, donde se considera que dos arreglos son iguales si se puede llegar de uno al otro mediante una rotación. FORMULA: PC(n – 1) = (n – 1)! Reseñarse que (n – 1)! es conocida como n factorial y abrevia el producto de todos los números desde el número (n – 1) hasta el número uno, ambos incluidos.

EJEMPLO:

AMIGOS (3 MUJERES Y 3 HOMBRES) SE QUIEREN TOMAR UNA FOTO, ¿DE CUÁNTAS FORMAS DISTINTAS SE PUEDEN UBICAR SI SE QUIEREN FORMAR EN LINEA Y? 1. EN CUALQUIER UBICACIÓN? 2. LOS 3 HOMBRES JUNTOS Y TAMBIÉN LAS MUJERES JUNTAS?

SOLUCIÓN

P (n) = n! = 6!

1.- 6!= 6*5*4*3*2*1= 720 2.- 2!*3!*3!= (2*1)(3*2*1)(3*2*1)= 72

PERMUTACIÓN CIRCULAR:

La permutación circular implica organizar elementos en un círculo, donde se considera que dos arreglos son iguales si se puede llegar de uno al otro mediante una rotación. FORMULA: PC(n – 1) = (n – 1)! Reseñarse que (n – 1)! es conocida como n factorial y abrevia el producto de todos los números desde el número (n – 1) hasta el número uno, ambos incluidos.

EJEMPLO:

En un grupo de 6 amigos, hay una pareja de novios. ¿De cuántas maneras pueden sentarse alrededor de una fogata, si los novios deben sentarse siempre juntos?

SOLUCIÓN

A1

PC(n )= (n – 1)! n=5 ---> PC5= (5-1)! = 4! = 4*3*2*1 = 24 Por el principio de multiplicación, se tiene m formas diferentes y n formas diferentes, es decir que se multiplica: 24*2=48

A2

A5

A5

A3

A4

PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN:

Una permutación con repetición se refiere a organizar elementos donde algunos o todos los elementos pueden repetirse. FORMULA:

• Prepetición​ representa el número de permutaciones con repetición.
• n es el número total de elementos en el conjunto.
• n1,n2,…,nk​ son las repeticiones de cada elemento respectivamente.

EJEMPLO:

¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra AGARRAR? A=>3 G=>1 R=>3 7

SOLUCIÓN

7! 3!*1!*3!

Prepetición=

7*6*5*4*3! 3*2*1*1*3!

7*2*5*2 140 palabras

02

FACTORIAL

5.- COMBINACIÓN

DEFINICIÓN: Las combinaciones son una técnica de conteo que se aplica en experimentos aleatorios, en los que no se tiene en cuenta el orden en que se eligen los elementos. En donde podemos tener por ejemplo: ABC=BCA Se considera que son la misma combinación ya que el orden en que se encuentran los elementos no importa

TIPOS

- Combinaciones sin repetición - Combinaciones con repetición

FÓRMULA:

COMBINACIÓN SIN REPETICIÓN

Donde: n= representa el numero total de elementos a elegir x= representa el numero de elementos elegidos

Las combinaciones sin repetición son grupos de n elementos, tomados de x en x, que se pueden formar con esos elementos de tal forma que: -No intervienen todos los elementos -No importa el orden de los elementos -No se pueden repetir los elementos

EJEMPLO:

Una clase consta de12 alumno (9 niños y 3 niñas), de cuantas maneras: a)El profesor puede escoger un comité de 4 alumnos b) ¿Cuántos comités contaran con una niña por lo menos ? c) ¿Cuántos tendrán exactamente una niña ?

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO

Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? b) ¿Cuántas si las dos primeras son obligatoria? c) ¿Cuántas si tiene que contestar exactamente 3 de las 5 primeras?

SOLUCIÓN

FÓRMULA:

COMBINACIÓN SIN REPETICIÓN

Donde: n= representa el numero total de elementos a elegir x= representa el numero de elementos elegidos

Las combinaciones con repetición son grupos de n elementos, tomados de x en x, que se pueden formar con esos elementos de tal forma que: -No intervienen todos los elementos -No importa el orden de los elementos -Si se repiten los elementos

Ejemplo de combinaciones sin repetición

Se deseas escoger un comité de 4 alumnos de una clase que consta de 12 alumnos (9 niños y 3 niñas) calcular: a)La probabilidad de que el comité cuente con exactamente 2 niños? b) La probabilidad de que los comités cuenten con al menos una niña? c) La probabilidad de que los comités tengan exactamente una niña?

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO

Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen . Cuantas maneras de resolver tiene si No hay restricción Si las dos primeras son obligatorias Si tiene que contestar exactamente 3 de las 5 primeras

SOLUCIÓN

Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen . Cuantas maneras de resolver tiene si No hay restricción Si las dos primeras son obligatorias Si tiene que contestar exactamente 3 de las 5 primeras

05

COMBINACIÓN

2.- Factorial

EJEMPLO:

DEFINICIÓN: Los factoriales son funciones en matemáticas con el símbolo ! . Se define como el producto de todos los números enteros positivos desde el 1 hasta n. Se pueden expresar como n! ; donde n es el número del que se calcula el factorial. NOTA: 0!=1

Simplifica la expresión factorial 5!2!3! 2!3!5!​. Solución 5!2!3! 2!3!5! 2*2(5!*3!) 3! 5! 4(5!*6) 3! 5! 4 6! 3! 5! (3!*4) 6! 5! 4!6!5! (4*3*2*1)(6*5*4*3*2*1)(5*4*3*2*1) 24*720*120 2,073,600

¡GRACIAS POR SU ATENCIÓN!

COMPLETED