U10. LÍMITS DE FUNCIONS. CONTINUÏTAT I BRANQUES INFINITES
Branques infinites en les funcions racionals
Càlcul de límits de funcions quan
Comportament d'una funció a l'infinit
Limit d'una funció en un punt
Càlcul de límits de funcions quan
Límit d'una funció quan
Càlcul de límits en un punt
10.1
Comportament d'una funció a l'infinit (I)
: es llegeix "x tendeix a més infinit". Expressa que x agafa valors tan grans com es vulgui.
: es llegeix "límit de f(x) quan x tendeix a més infinit". Expressa el comportament de la funció f(x) quan
Diferenciam els següents casos:
Els valors de f(x) creixen cap al "més" infinit:
Es comporten així les següents funcions:
amb
10.1
Comportament d'una funció a l'infinit (II)
Els valors de f(x) van cap al "menys" infinit, cada vegada són "més negatius"
Es comporten així les funcions abans mencionades, precedides del signe menys:
El límit no existeix. Els valors de f(x) ni creixen ni decreixen indefinidament
Els valors de f(x) s'aproximen a l.
Es comporten així les funcions trigonomètriques i les funcions periòdiques
Recta : asímptota horitzontal
10.2
Càlcul de límits de funcions quan (I)
El límit d'una funció polinòmica és o , depenent del signe del coeficient del terme de major grau
FUNCIONS POLINÒMIQUES
Exemples:
FUNCIONS INVERSES DE POLINÒMIQUES
En dividir 1 per un nombre cada vegada més gran, el quocient cada vegada s'aproxima més al 0
: funció polinòmica
Exemple:
10.2
Càlcul de límits de funcions quan (II)
Distingim 3 casos:
FUNCIONS RACIONALS
Exemple:
Exemple:
- Si quocient dels coeficients dels termes de
major grau
Exemple:
10.3
Límit d'una funció quan (I)
: expressa que x agafa valors tan petits com es vulgui.
Feim el mateix que en l'apartat on s'estudiava per a
Es comporten així les funcions del tipus:
amb
Es comporten així les funcions anteriors precedides del signe menys
10.3
Límit d'una funció quan (II)
Exemple: quocient de dos polinomis amb el mateix grau
Exemple: funcions trigonomètriques
10.4
Càlcul de límits de funcions quan
Aplicant correctament la regla dels signes i el raonament sobre exponents parells o imparells, el càlcul dels límits són idèntics als explicats quan
Exemples:
10.5
Límit d'una funció en un punt
Es llegeix "x tendeix a c per l'esquerra"
:expressa el comportament de la funció quan x pren valors cada vegada més pròxims a c, però menors que c .
Límits laterals
Es llegeix "x tendeix a c per la dreta"
:comportament de la funció quan x pren valors cada vegada més pròxims a c, i majors que c .
Si existeix
Si és contínua en
LÍMITS I CONTINUÏTAT
10.6
Càlcul de límits en un punt (I)
Per trobar , calcularem senzillament, .
FUNCIÓ CONTÍNUA EN EL PUNT c
Exemple:
FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS
Exemple:
- Càlcul de en el punt de ruptura
per l'esquerra:
coincideixen els límits laterals
per la dreta:
- Càlcul de en un altre punt del domini
Es tria la funció segons el tram al qual pertany el punt on es calcula el límit
10.6
Càlcul de límits en un punt (II)
QUOCIENT DE DOS POLINOMIS,
Exemple:
- Si el denominador no s'anul·la, :
Estudiarem els límits laterals per decidir el signe
- Si el denominador s'anul·la, , i el numerador no s'anul·la, :
Decidim el signe de l'infinit, calculant els límits laterals:
10.6
Càlcul de límits en un punt (III)
- Si el numerador i el denominador s'anul·len, : dividim ambdós entre
Decidim el signe de l'infinit, calculant els límits laterals:
Exemple:
10.7
Branques infinites en funcions racionals (I)
Donada la funció , estudiam les seves branques infinites:
ASÍMPTOTES VERTICALS: són les arrels del denominador
Exemple:
Cercam les arrels del denominador:
Són asímptotes verticals:
S'estudia la posició de la corba respecte de cada asímptota:
Representam la informació obtinguda:
10.7
Branques infinites en funcions racionals (II)
ASÍMPTOTA HORITZONTAL: existeix si . S'obté calculant i la recta és l'asímptota horitzontal
Exemple:
Calculam els límits i els dos coincideixen:
asímptota horitzontal:
Veim la posició de la corba respecte de l'asímptota estudiant el signe de :
- Si resultat positiu: va per damunt
- Si resultat negatiu: va per davall
Representam la informació obtinguda:
10.7
Branques infinites en funcions racionals (III)
ASÍMPTOTA OBLIQUA: existeix si . S'obté efectuant la divisió dels polinomis: la recta del quocient és l'asímptota obliqua.
Exemple:
Feim la divisió i obtenim el resultat:
Representam la informació obtinguda:
el seu signe determinarà la posició de la corba respecte de l'asímptota:
asímptota obliqua:la representam fent una taula de valors
10.7
Branques infinites en funcions racionals (IV)
BRANQUES PARABÒLIQUES: existeixen si .
Exemple:
Calculam el signe de les branques parabòliques en i en :
Representació:
Branques infinites. Asímptotes
Comportament d'una funció a l'infinit
Comportament d'una funció en un punt.
Càlcul de límits de funcions quan .
U10 LÍMITS DE FUNCIONS
ferrerc
Created on April 4, 2024
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
View
Essential Learning Unit
View
Akihabara Learning Unit
View
Genial learning unit
View
History Learning Unit
View
Primary Unit Plan
View
Vibrant Learning Unit
View
Art learning unit
Explore all templates
Transcript
U10. LÍMITS DE FUNCIONS. CONTINUÏTAT I BRANQUES INFINITES
Branques infinites en les funcions racionals
Càlcul de límits de funcions quan
Comportament d'una funció a l'infinit
Limit d'una funció en un punt
Càlcul de límits de funcions quan
Límit d'una funció quan
Càlcul de límits en un punt
10.1
Comportament d'una funció a l'infinit (I)
: es llegeix "x tendeix a més infinit". Expressa que x agafa valors tan grans com es vulgui.
: es llegeix "límit de f(x) quan x tendeix a més infinit". Expressa el comportament de la funció f(x) quan
Diferenciam els següents casos:
Els valors de f(x) creixen cap al "més" infinit:
Es comporten així les següents funcions:
amb
10.1
Comportament d'una funció a l'infinit (II)
Els valors de f(x) van cap al "menys" infinit, cada vegada són "més negatius"
Es comporten així les funcions abans mencionades, precedides del signe menys:
El límit no existeix. Els valors de f(x) ni creixen ni decreixen indefinidament
Els valors de f(x) s'aproximen a l.
Es comporten així les funcions trigonomètriques i les funcions periòdiques
Recta : asímptota horitzontal
10.2
Càlcul de límits de funcions quan (I)
El límit d'una funció polinòmica és o , depenent del signe del coeficient del terme de major grau
FUNCIONS POLINÒMIQUES
Exemples:
FUNCIONS INVERSES DE POLINÒMIQUES
En dividir 1 per un nombre cada vegada més gran, el quocient cada vegada s'aproxima més al 0
: funció polinòmica
Exemple:
10.2
Càlcul de límits de funcions quan (II)
Distingim 3 casos:
FUNCIONS RACIONALS
Exemple:
Exemple:
major grau
Exemple:
10.3
Límit d'una funció quan (I)
: expressa que x agafa valors tan petits com es vulgui.
Feim el mateix que en l'apartat on s'estudiava per a
Es comporten així les funcions del tipus:
amb
Es comporten així les funcions anteriors precedides del signe menys
10.3
Límit d'una funció quan (II)
Exemple: quocient de dos polinomis amb el mateix grau
Exemple: funcions trigonomètriques
10.4
Càlcul de límits de funcions quan
Aplicant correctament la regla dels signes i el raonament sobre exponents parells o imparells, el càlcul dels límits són idèntics als explicats quan
Exemples:
10.5
Límit d'una funció en un punt
Es llegeix "x tendeix a c per l'esquerra"
:expressa el comportament de la funció quan x pren valors cada vegada més pròxims a c, però menors que c .
Límits laterals
Es llegeix "x tendeix a c per la dreta"
:comportament de la funció quan x pren valors cada vegada més pròxims a c, i majors que c .
Si existeix
Si és contínua en
LÍMITS I CONTINUÏTAT
10.6
Càlcul de límits en un punt (I)
Per trobar , calcularem senzillament, .
FUNCIÓ CONTÍNUA EN EL PUNT c
Exemple:
FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS
Exemple:
per l'esquerra:
coincideixen els límits laterals
per la dreta:
Es tria la funció segons el tram al qual pertany el punt on es calcula el límit
10.6
Càlcul de límits en un punt (II)
QUOCIENT DE DOS POLINOMIS,
Exemple:
Estudiarem els límits laterals per decidir el signe
Decidim el signe de l'infinit, calculant els límits laterals:
10.6
Càlcul de límits en un punt (III)
Decidim el signe de l'infinit, calculant els límits laterals:
Exemple:
10.7
Branques infinites en funcions racionals (I)
Donada la funció , estudiam les seves branques infinites:
ASÍMPTOTES VERTICALS: són les arrels del denominador
Exemple:
Cercam les arrels del denominador:
Són asímptotes verticals:
S'estudia la posició de la corba respecte de cada asímptota:
Representam la informació obtinguda:
10.7
Branques infinites en funcions racionals (II)
ASÍMPTOTA HORITZONTAL: existeix si . S'obté calculant i la recta és l'asímptota horitzontal
Exemple:
Calculam els límits i els dos coincideixen:
asímptota horitzontal:
Veim la posició de la corba respecte de l'asímptota estudiant el signe de :
Representam la informació obtinguda:
10.7
Branques infinites en funcions racionals (III)
ASÍMPTOTA OBLIQUA: existeix si . S'obté efectuant la divisió dels polinomis: la recta del quocient és l'asímptota obliqua.
Exemple:
Feim la divisió i obtenim el resultat:
Representam la informació obtinguda:
el seu signe determinarà la posició de la corba respecte de l'asímptota:
asímptota obliqua:la representam fent una taula de valors
10.7
Branques infinites en funcions racionals (IV)
BRANQUES PARABÒLIQUES: existeixen si .
Exemple:
Calculam el signe de les branques parabòliques en i en :
Representació:
Branques infinites. Asímptotes
Comportament d'una funció a l'infinit
Comportament d'una funció en un punt.
Càlcul de límits de funcions quan .