APOLLONIO DI PERGA E LE SEZIONI CONICHE

APOLLONIO DI PERGA

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LE SEZIONI CONICHE

APOLLONIO DI PERGA

Apollonio di Perga, nato nel 262 a.C. a Perga, città della Panfilia e morto nel 190 a.C. ad Alessandria d’Egitto, città dell’Egitto è stato un matematico e un astronomo greco. Egli studiò insieme ad altri due importanti matematici e astronomi, cioè Euclide ed Archimede, e con essi costituisce la triade dei sommi matematici greci antichi. Il suo studio matematico e geometrico verté soprattutto sulle sezioni coniche, o semplicemente coniche, in particolare su quelle che conosciamo come l’ellissi, la parabola, l’iperbole e la circonferenza, introducendone le definizioni moderne. Egli, inoltre, ha scritto diverse opere in cui illustrava i suoi studi, una tra le più importanti è Le Coniche, diviso in otto libri, ciascuno dei quali tratta di un diverso tipo di conica e dove Apollonio sviluppa i principi e le proprietà di queste curve in modo estremamente dettagliato, dimostrando le sue conoscenze matematiche avanzate e il suo ingegno creativo. Altre opere famose di Apollonio includono Le sezioni piane e Le incognite, che trattano di problemi di geometria piana e delle equazioni algebriche. Queste opere mostrano la profondità della comprensione matematica di Apollonio e la sua capacità di integrare concetti geometrici e algebrici. Il lavoro di Apollonio ha avuto un impatto duraturo sulla matematica e sulla scienza. La sua influenza si è estesa fino al Rinascimento e oltre matematici e scienziati come Giovanni Keplero, René Descartes e Isaac Newton hanno studiato e rispettato le sue opere. Ciò lo ha reso una figura significativa nella storia della matematica, tale che gli è stato affibbiato il nome di grande geometra dell’antichità.

W a t c h

LE SEZIONI CONICHE

La geometria solida e la geometria piana sono due branche della geometria che si occupano dello studio delle figure geometriche tridimensionali e bidimensionali. Tra gli studi di queste due branche della geometria abbiamo le sezioni coniche, dette anche semplicemente coniche. Quest’ultime sono studiate in maniera differente, ma altrettanto efficace sia dalla geometria solida che da quella piana. Inoltre anche la matematica si occupa dello studio delle sezioni coniche.

Geometria solida

Geometria piana

MATEMATICA

LE SEZIONI CONICHE

La geometria solida, per lo studio della sezione conica, prende in considerazione una coppia di coni, o cono a due falde, formatosi da una retta r detta asse, attorno alla quale ruota una retta g detta generatrice, dove queste due rette si intersecano in un punto V detto vertice o apice, che corrisponde ai vertice dei due coni, da cui i due coni stessi si estendono infinitamente. L’asse e la generatrice formano un angolo α, che equivale alla metà dell’angolo di apertura del cono β. Dunque per la geometria solida una sezione conica, o semplicemente conica, è l’insieme di tutte le curve ottenute attraverso l’intersezione della superficie di un doppio cono con un piano, detto piano di taglio.La geometria solida suddivide le sezioni coniche in:

• coniche degenere, ottenute quando il piano di taglio passa per il vertice;
• coniche non degenere, ottenute quando il piano di taglio non passa per il vertice.

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SEZIONI CONICHE

SEZIONI CONICHE

Le coniche degenere si possono suddividere in tre casistiche differenti:

• la prima, data da un piano che interseca un punto del cono a due falde, e ciò si haquando il piano forma con l’asse r un angolo γ maggiore dell’angolo α, che vi è tra l’asse r e la generatrice g, nella fattispecie il punto corrisponde al vertice o apice V;
• la seconda, data da un piano che interseca una retta del cono a due falde, e ciò si ha quando il piano forma con l’asse r un angolo γ uguale dell’angolo α, che vi è tra l’asse r e la generatrice g, nella fattispecie la retta corrisponde a una delle due generatrici g¹ e/o g²;
• la terza, data da un piano che interseca due rette tra loro incidenti del cono a due falde, il cui punto di intersezione è il vertice V del cono a due falde, e ciò si ha quando il piano forma con l’asse r un angolo γ minore dell’angolo α, che vi è tra l’asse r e la generatrice g, nella fattispecie le due rette corrispondono alle due generatrici g¹ e g².

SEZIONI CONICHE

Le coniche non degenere si possono suddividere in quattro casistiche differenti:

• la prima, detta circonferenza, data da un piano che interseca perpendicolarmente il cono a due falde, e ciò si ha quando il piano forma con l’asse r un angolo β uguale a 90°, la loro intersezione forma una linea chiusa e interessa sempre una sola falda di cono;
• la seconda, detta ellisse, data da un piano che interseca il cono a due falde, e ciò si ha quando il piano forma con l’asse r un angolo β maggiore dell’angolo α, che vi è tra l’asse r e la generatrice g, ma minore di 90°, la loro intersezione forma una linea chiusa e interessa sempre una sola falda di cono;
• la terza, detta parabola, data da un piano, parallelo a una retta generatrice g, che interseca il cono a due falde, e ciò si ha quando il piano forma con l’asse r un angolo β uguale all’angolo α, che vi è tra l’asse r e la generatrice g, la loro intersezione forma una linea aperta e interessa sempre una sola falda di cono;
• la quarta, detta iperbole, data da un piano che interseca il cono a due falde, e ciò si ha quando il piano forma con l’asse r un angolo β minore all’angolo α, che vi è tra l’asse r e la generatrice g, la loro intersezione forma una linea aperta e interessa sempre entrambe le falde di cono.

LE SEZIONI CONICHE

e=0

0<e<1

e=1

e>1

e=∞

La geometria piana per lo studio della sezione conica prende in considerazione una retta D detta direttrice, un punto F esterno alla direttrice D detto fuoco e un valore numerico non negativo detto eccentricità. Dunque per la geometria piana una sezione conica, o semplicemente conica è l'insieme, detto anche semplicemente luogo, di tutti i punti P tali che il rapporto tra la lunghezza della distanza tra il luogo di tutti i punti P e il fuoco F è uguale a tante volte l’eccentricità per la lunghezza della distanza tra il luogo di tutti i punti P e la direttrice D.La formula che descrive questa relazione è: (PF)=e(PD). La geometria piana suddivide le coniche in base al valore dell’eccentricità e: se e=0, avremo una circonferenza; se 0<e<1, avremo un’ellisse; se e=1, avremo una parabola; se e>1, avremo un’iperbole; se e=∞ avremo una direttrice.

LE SEZIONI CONICHE

Inoltre la geometria piana per lo studio della sezione conica prende in considerazione una retta r detta direttrice, una coppia di punti F1 e F2 esterni alla direttrice r detti fuochi. Dunque per la geometria piana una sezione conica, o semplicemente conica è l'insieme, detto anche semplicemente luogo, di tutti i punti P che soddisfano determinate condizioni algebriche.La geometria piana suddivide le coniche in due casistiche differenti:

• F1=F2, dove i fuochi sono coincidenti;
• F1≠F2, dove i fuochi sono distinti.

F1=F2

F1≠F2

LE SEZIONI CONICHE

Le coniche dove i fuochi sono coincidenti si dividono in due casistiche differenti:

• la prima, detta circonferenza, dove il luogo dei punti del piano P è a una distanza fissa detta raggio da un punto F detto fuoco oppure O, detto centro della circonferenza;
• la seconda, detta parabola, dove il luogo dei punti del piano P è equidistante da una retta r detta direttrice e da un punto F detto fuoco.

Le coniche dove i fuochi sono distinti si dividono in due casistiche differenti:

• la prima, detta ellisse, dove la somma della distanza del luogo dei punti del piano P dal punto F1, detto fuoco per la distanza del luogo dei punti del piano P dal punto F2, detto fuoco è costante;
• la seconda, detta iperbole, dove la differenza della distanza del luogo dei punti del piano P dal punto F1, detto fuoco per la distanza del luogo dei punti del piano P dal punto F2, detto fuoco è costante.

LE SEZIONI CONICHE

La matematica è un’altra materia che studia le sezioni coniche, o semplicemente coniche. Essa utilizza un’equazione come rappresentazione di tutte le coniche. Essa è: Ax²+Bxy+Cy²+Dx+By+F=0 ∧ A, B, C, D, E, F ∈ ℝ ∧ A∨B∨C≠0.La matematica suddivide le coniche in due casistiche differenti:

• B≠0
• B=0

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+By+F=0∧ A, B, C, D, E, F∈ℝ ∧ A∨B∨C≠0

LE SEZIONI CONICHE

Le coniche con B≠0 presentano gli assi della conica non paralleli a quelli del sistema cartesiano, bensì ruotati, qui abbiamo una sola casistica, cioè l’iperbole equilatera;Le coniche con B=0 presentano gli assi della conica paralleli a quelli del sistema cartesiano, qui abbiamo tre casistiche differenti:

• la prima, dove se A=0 o C=0, l'equazione rappresenta una parabola, la cui equazione è y=ax²+bx+c, se l'asse della parabola è verticale, oppure x=ay²+by+c, se l'asse della parabola è orizzontale;
• la seconda, dove se A≠0 e C≠0 e A=C, l'equazione rappresenta una circonferenza, la cui equazione è x²+y²+ax+by+c=0;
• la terza, dove se A⋅C≠0 e A≠C, l’equazione rappresenta due casistiche differenti:
• la prima, dove se A⋅C>0, l'equazione rappresenta un'ellisse, la cui equazione è x²/a²+y2/b2=+1;
• la seconda, dove se A⋅C<0, l'equazione rappresenta un'iperbole, la cui equazione è x²/a²-y2/b2 =±1 .

REALIZZATO DA:ANGELO CASSARINO GIUSEPPE LEONE FLAVIO MEZZASALMA ID LICEO CLASSICO ESCHILO GELA