¿Qué es un número complejo e imaginario?

Algebra superior

números complejos e imaginarios

Ing. Industrial y Admo.Maria Trujillo Solano 010645033

¿Qué es un número complejo e imaginario?

Un número complejo es un número que consta de una parte real y una parte imaginaria.

Los números complejos fueron llamados por primera ves como los números imposibles. Se los relaciona con la geometría y algebra. Los números complejos se pueden sumar y multiplicar de la misma forma que los números reales. Un número imaginario es un tipo de número que se obtiene al multiplicar un número real por la unidad imaginaria, denotada como "i".

La unidad imaginaria "i" tiene la propiedad de que su cuadrado es igual a -1. Por lo tanto, los números imaginarios se representan en la forma "bi", donde "b" es un número real y "i" es la unidad imaginaria.

APLICACIONES

representación geométrica numeros complejos

Un número complejo se puede representar como un punto en este plano, donde la coordenada x corresponde a la parte real y la coordenada y corresponde a la parte imaginaria, se puede representar como un vector que parte del origen y llega al punto correspondiente en el plano complejo, tiene una longitud que se conoce como módulo o magnitud y un ángulo que se conoce como argumento.

Los números complejos tienen algunas propiedades fundamentales que los distinguen.

1. Suma; (a, b) y (c, d), su suma sería (a + c, b + d).

2. Producto; (a, b) y (c, d), su producto sería (ac - bd, ad + bc).

3. Igualdad; (a, b) y (c, d), son iguales si a = c y b = d.

4. Multiplicación por un escalar; (a, b) k, obtenemos el número complejo (ka, kb)

La forma común de expresar un numero complejos: forma binómica, que consiste en escribir el número complejo como la suma de una parte real y una parte imaginaria.

z = a + bi, "a" es la parte real y "b" es la parte imaginaria.

forma polar, que utiliza la magnitud y el argumento del número complejo.

z = r(cosθ + isenθ), donde "r" es la magnitud y "θ" es el argumento.

forma trigonométrica, que es una variante de la forma polar.

z = rcosθ + rsenθ.

Sumar o restar dos o más números complejos; separar las partes reales de las partes imaginarias y luego sumar o restar cada una por separado.

a = 5 + 2i y b = 3 - 7i,Sumamos las partes reales: 5 + 3 = 8. Sumamos las partes imaginarias: 2i - 7i = -5i.

Suma

Multiplicación

se suman las partes reales y las partes imaginarias por separado.

se utiliza la propiedad distributiva y se aplican las reglas de multiplicación de los números imaginarios

a = a1 + a2i y b = b1 + b2i, entonces la suma de a y b sería (a1 + b1) + (a2 + b2)i.

a = a1 + a2i y b = b1 + b2i, entonces el producto de a y b sería (a1b1 - a2b2) + (a1b2 + a2b1)i.

Resta

Se restan las partes reales y las partes imaginarias por separado.

División

conjugado de un número complejo a = a1 + a2i se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria, a = a1 - a2i. Para dividir a entre b, se multiplica a y b por el conjugado de b y se simplifica. El resultado será un número complejo de la forma (c1 + c2i) / (d1 + d2i), donde c1, c2, d1 y d2 son números reales.

a = a1 + a2i y b = b1 + b2i, entonces la resta de a y b sería (a1 - b1) + (a2 - b2)i.

La potencia n-ésima

Para elevar un número complejo a una potencia, se deben considerar tanto el módulo como el argumento del número complejo.

Forma polar y la representación de un número complejo

z = r(cosθ + isenθ), donde r es la distancia del número complejo al origen (también conocido como su magnitud), y θ es el ángulo que forma el número complejo con el eje real positivo.

Para calcular el módulo de un número complejo, utilizamos el teorema de Pitágoras.

z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria, el módulo (r) se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de a y b. Es decir, r = √(a^2 + b^2).

z = 3 + 4i, r = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

calcular el argumento de un número complejo, utilizamos funciones trigonométricas.

z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria, el argumento (θ) se calcula como el ángulo que forma el número complejo con el eje real positivo.

podemos usar la función arcotangente (arctan) de la razón entre la parte imaginaria y la parte real. Es decir, θ = arctan(b/a).

z = 3 + 4i, θ = arctan(4/3) ≈ 0.93 radianes.

convertir un número complejo de su forma binómica a su forma polar

El teorema de De Moivre

establece que para cualquier número complejo z y cualquier número entero n, se cumple la siguiente igualdad: (zcosθ + isinθ)^n = z^n * (cos(nθ) + i*sin(nθ)) Donde z es el módulo del número complejo, θ es su argumento y i es la unidad imaginaria. Es decir permite elevar un número complejo a una potencia entera y expresar el resultado en términos de sus partes trigonométricas.

z = a + bi, Calcula el módulo del número complejo utilizando la fórmula: |z| = √(a^2 + b^2).

Calcula el argumento, θ = atan(b/a), donde atan es la función arcotangente.

El número complejo en forma polar se representa como z = |z| * (cos(θ) + i * sin(θ)).

convertir un número complejo de su forma polar a su forma binómica

Fórmula de Euler

relación matemática que establece una conexión entre los números complejos, el número e y las funciones trigonométricas.

z = r * (cos(θ) + i * sin(θ)), donde r es el módulo y θ es el argumento.

Calcula la parte real del número complejo utilizando la fórmula: a = r * cos(θ).

e^(iphi) = cos(phi) + isin(phi) Donde e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria (√-1), phi es el argumento del número complejo y cos(phi) y sin(phi) son las funciones trigonométricas coseno y seno respectivamente.

Calcula la parte imaginaria del número complejo utilizando la fórmula: b = r * sin(θ).

número complejo en forma binómica: z = a + bi.

semana 4

Ecuaciones Lineales y Cuadráticas

Ing. Industrial y Admo.Maria Trujillo Solano 010645033

En una empresa de telecomunicaciones y estamos encargados de analizar el rendimiento de una antena de transmisión de señal. Queremos determinar la altura máxima que puede alcanzar una señal transmitida desde la antena y el tiempo que tarda en alcanzar esa altura.

Función lineal: Para modelar la altura de la señal en función del tiempo, podemos utilizar una función lineal. Supongamos que la altura de la señal (en metros) está dada por la función lineal: h(t) = mt + b, donde t representa el tiempo en segundos, m es la pendiente de la recta y b es la altura inicial de la señal. Si asumimos que la señal parte desde el suelo (altura inicial de 0 metros) y que la velocidad de transmisión de la señal es constante, podemos establecer una pendiente m determinada por la velocidad de transmisión, si la velocidad de transmisión es de 10 metros por segundo, la función lineal sería h(t) = 10t. la función lineal no arrojará raíces reales o complejas, ya que representa una trayectoria recta sin puntos de intersección con el eje horizontal.

Función cuadrática: para modelar la altura de la señal en función del tiempo utilizando una función cuadrática. h(t) = at^2 + bt + c, donde a, b y c son constantes que determinan la forma de la parábola. La altura inicial de la señal es de 5 metros (c = 5) y que la señal alcanza su altura máxima en 2 segundos. Para que la función cuadrática arroje raíces reales y complejas, podemos establecer una pendiente negativa (a < 0). si tomamos a = -1, b = 4, la función cuadrática sería h(t) = -t^2 + 4t + 5. En este caso, la función cuadrática arrojará raíces reales y complejas. Las raíces reales representarán los momentos en los que la señal alcanza ciertas alturas, mientras que las raíces complejas representarán puntos de inflexión en la trayectoria de la señal.

Info

Una empresa de telecomunicaciones desea minimizar las interferencias en sus dispositivos móviles, describe un modelo cuadrático que ayude a la empresa a alcanzar solución a las interferencias de sus llamadas y conexión de datos lo que afecta la calidad en el servicio.

plantear un modelo cuadrático que represente la relación entre la intensidad de las interferencias y una variable de control, como la distancia entre los dispositivos móviles y las antenas de transmisión.

El modelo cuadrático podría ser de la forma: I = aD^2 + bD + c

Donde: I representa la intensidad de las interferencias. D representa la distancia entre los dispositivos móviles y las antenas de transmisión. a, b y c son constantes que determinan la forma de la curva cuadrática.

Las soluciones de la ecuación cuadrática del modelo representan los valores de la distancia (D) que minimizan la intensidad de las interferencias (I). Estos valores se obtienen encontrando los puntos críticos de la función cuadrática, es decir, los valores de D donde la derivada de la función es igual a cero. Los valores obtenidos representan las distancias óptimas entre los dispositivos móviles y las antenas de transmisión que minimizan las interferencias y mejoran la calidad del servicio de llamadas y conexión de datos.

Resumen

La aplicación del modelo cuadrático como herramientas que permiten describir, analizar y representar relaciones no lineales entre variables y son útiles cuando se busca optimizar o minimizar una determinada variable; analizar la relación entre variables o la maximización de beneficios en función de diferentes variables.

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Para minimizar los fenómenos de interferencia y propagación en el contexto de las telecomunicaciones, existen varias soluciones prácticas que se pueden implementar:

Uso de antenas direccionales: Las antenas direccionales emiten y reciben señales en una dirección específica, lo que ayuda a reducir la interferencia y mejorar la calidad de la señal. Uso de antenas de alta ganancia: Las antenas de alta ganancia concentran la energía de la señal en una dirección específica, lo que permite una mejor propagación y alcance de la señal. Uso de técnicas de modulación y codificación avanzadas: Las técnicas de modulación y codificación avanzadas permiten una transmisión más eficiente de la señal, lo que ayuda a reducir la interferencia y mejorar la calidad de la comunicación. Estas técnicas incluyen la modulación de amplitud en cuadratura (QAM), la modulación de frecuencia ortogonal (OFDM) y la codificación de canal.

Uso de repetidores y amplificadores de señal: Los repetidores y amplificadores de señal se utilizan para extender el alcance de la señal y compensar la pérdida de señal durante la propagación

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Los números complejos

Ingeniería eléctrica: se utilizan en el análisis de circuitos eléctricos y electrónicos, especialmente en el estudio de corrientes y voltajes alternos. También son fundamentales en el diseño de sistemas de comunicación, como la modulación de señales.

Física cuántica: Los números complejos son esenciales en la descripción matemática de fenómenos cuánticos.

Teoría de la relatividad: se utilizan en la formulación matemática de la teoría de la relatividad, especialmente en la descripción de fenómenos relacionados con el espacio-tiempo.

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