Disuguaglianze nei triangoli

lE DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI

Presentazione di : Materossi Alfredo e Serban Giada Alessia

Teorema dell'angolo esterno maggiore

Relazione fra lato e angolo maggiore

Relazioni fra i lati di un triangolo

I triangoli con due lati congruenti e l'angolo compreso disuguale

Teorema

In un triangolo, ogni angolo esterno è esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti ad esso.Ipotesi: ABC è un triangolo Tesi: δ>γ e δ>α.

Teorema

In ogni triangolo non equilatero, a lato maggiore è opposto angolo maggiore.Ipotesi : ABC è un triangolo e BC > AC Tesi : angolo A > angolo B

Teorema

In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. Ipotesi : ABC è un triangolo e AC ≥ AB Tesi : AC < AB + BC e BC > AC - BC

Teorema

Se due triangoli hanno due lati ordinatamente congruenti e l'angolo compreso disuguale, il terzo lato è maggiore in cui al lato si oppone l'angolo maggiore.Ipotesi : AC ≅ A'C' , CB ≅ C'B' , y ≅ y' Tesi : AB < A'B'

Corollario 1

La somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto.

Corollario 2

Un triangolo non può avere 2 o più angoli retti , nè 2 o più angoli ottusi, nè uno retto e uno ottuso, in un triangolo ci devono essere sempre almeno 2 angoli acuti.

Corollario 3

Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.

DIMOSTRAZIONE

I triangoli ottenuti (AMC e BME) hanno:

• MC ≅ BM per costruzione
• AM ≅ ME per costruzione
• gli angoli AMC e BME sono opposti al vertice per costruzione , congruenti.

I triangoli sono congruenti per il primo criterio. In particolare : -- MBE ≅ MCA (angoli) -- la semiretta BE è interna all'angolo δ ; anche l'angolo MBE è interno a δ , quindi MBE < δ.

DIMOSTRAZIONE

Il triangolo ACE è isoscele sulla base AE per costruzione, gli angoli alla base α e β sono congruenti. L'angolo β è esterno al triangolo ABE perciò β > angolo B. Se β > angolo B , poichè α ≅ β , deduciamo che anche α > angolo B. α è interno all'angolo A , risulta quindi angolo A > α , concludiamo che angolo A > angolo B .

DIMOSTRAZIONE

TESI 1 Triangolo BEC è isoscele per costruzione quindi α ≅ β . β è minore di y e di conseguenza α < y . AC < AE in quanto si oppone al lato maggiore. AE è uguale alla somma di AB e BE e quindi possiamo scrivere AC < AB + BE oppure anche AC < AB + BC TESI 2 In AC < AB + BC sottraedo ai due membri la stessa quantità AB otteniamo : AC - AB < BC --> BC > AC - AB