La funzione lineare

Matematica

Studio di Funzioni

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La Funzione Lineare

Chiara Lotti Fabiola Chiara Colabraro

IL CASO

Maryna è una studentessa della prima classe di un Liceo Economico Sociale che presenta difficoltà attentive e una diagnosi di Disturbo misto delle capacità scolastiche: - dilessia severa- disortografia - discalculia Essendo arrivata da 2 anni in Italia dall'Ucraina, Maryna presenta anche difficoltà linguistiche.

Prerequisiti e strumenti compensativi

La funzione lineare

Esercizi e Verifica

La funzione lineare

Esercizi

Prerequisiti

Verifica sul foglio

Casi particolari

Strumenti compensativi

Esercizio guidato

Verifica su Phet

1. Prerequisiti

• Le equazioni di primo grado
• Il piano cartesiano
• Elementi base della geometria analitica (punti, rette)
• Geometria analitica sul piano cartesiano
• Differenza variabile dipendente e variabile indipendente

Recall: variabile dipendente e variabile indipendente

Una variabile viene definita DIPENDENTE quando subisce gli effetti dei cambiamenti dalla variabile INDIPENDENTE. Se si prende X come variabile indipendente e Y come variabile dipendente, al variare del valore di X varia anche il valore di Y, non viceversa. cambia X = cambia Y cambia Y NON cambia X Prendiamo per esempio l'effetto domino: diciamo che la prima tessera è la variabile indipendente (X), la seconda tessera è la variabile dipendente (Y). Nel momento in cui la prima tessera cade e tocca la seconda tessera, la seconda tessera cade. Al contrario, se solo la seconda tessera cade, la prima tessera rimane in piedi.

2. Strumenti compensativi

• Computer
• Phet
• Calcolatrice
• Righello
• L'insegnante che legge ad alta voce i quesiti
• Formulari

1. La Funzione Lineare

La funzione lineare è una retta sul piano cartesiano

ax + by + c = 0 y = mx + q

Forma implicita Forma esplicita

La forma esplicita è formata da:

• y = variabile dipendente

• x = variabile indipendente

• m = coefficiante angolare

• q = termine noto

2. Casi particolari

CASO 1

CASO 2

CASO 3

m = 0

m < 0

m > 0

y = q

La retta con m minore di 0 è decrescente, cioè, andando da sinistra a destra, la retta va in basso

La retta con m maggiore di 0 è crescente, cioè, andando da sinistra a destra, la retta va in alto

Le rette che non toccano l'asse X sono orizzontali e hanno formula y = q

CASO 4

CASO 5

x = numero

q = 0

La retta passa per l'origine, cioè il punto P (0,0), e hanno la formula: y = mx

Le rette verticali sono l'eccezione! Non toccano mai l'asse Y e hanno la formula: x = un numero

3. Esercizio guidato

Se stai scrivendo sul foglio...

y = 2x + 1

• prima di tutto devi contruire uno schemino con X e Y
• poi dai a X un valore e sostituisci quel numero nella funzione

q =A

• arrivi così a trovare due punti A (0, 1) e B (1,3)

• disegna questi due punti nel piano cartesiano, poi uniscili con una retta

• Se noti il punto A (0,1) corrisponde a q, cioè il punto in cui la retta incontro l'asse Y

Se stai usando Phet...

y = 2x + 1

• apri il programma Phet e clicca "Equazioni in forma esplicita"

• nella schermata principale inserisci sulla destra i valori della tua funzione

• osserva il disegno che compare in automatico sulla sinistra

Esercizi

Ora tocca a te! Disegna le seguenti funzioni

Svolgi questi esericizi su Phet

• y = 3x − 5
• y = − 2x + 1
• y = 3x − 4
• y = −x − 1
• y = 1x

3

• y = 2x − 8

• y = − 3x + 3

• 2y - 4x + 1
• x + y-3
• 2 +5y -x

Svolgi questi esercizi sul foglio

• y = 1 − 2x
• y = −x
• y = 1x

2

• y = x + 1
• y = 2x − 3
• y = 2x − 2

• y = 2x -1

3

• y = x + 2
• x - y +7 = 0
• 15-5x-10y = 0

Come ti trovi meglio? Preferisci disegnare su un foglio o usare Phet?

NB: Ricordati che, prima di iniziare a svolgere l'esercizio, devi sempre trasformare la retta in forma esplicita y = mx + q!

Verifica sul foglio

1) Disegna sul piano cartesiano le seguenti funzioni:y = 2x - 1 y = -5x + 1 y = 5x y = 3 x = - 2 22) Data la seguente funzione: y = 2x + 12- Dai dei valori a X e Y e disegna la retta sul piano cartesiano - Quanto vale m? - Quanto vale q?3) Data la seguente funzioni: 3x + y - 4 = 0- Trasforma la retta da implicita ad esplicita - Dai dei valori a X e Y e disegna la retta sul piano cartesiano - Quanto vale m? - Quanto vale q? - La funzione è crescente o decrescente? Perchè? 4 ) Osserva il disegno e indica quale delle seguenti funzioni è quella giusta:a) y = 3/2 + 3 c) y = 3/2 + 2b) y = 3/2 d) y = 5x + 4

Verifica su Phet

1) Disegna su Phet le seguenti funzioni e fai lo screenshot:y = 2x - 1 y = -5x + 1 y = 5x y = 3 x = - 2 22) Data la seguente funzione: y = 2x + 12- Disegnala su Phet e fai lo screenshot - Quanto vale m? - Quanto vale q?3) Data la seguente funzioni: 3x + y - 4 = 0- Trasforma la retta da implicita ad esplicita - Disegnala su Phet e fai lo screenshot - Quanto vale m? - Quanto vale q? - La funzione è crescente o decrescente? Perchè? 4 ) Osserva il disegno e indica quale delle seguenti funzioni è quella giusta:a) y = 3/2 + 3 c) y = 3/2 + 2b) y = 3/2 d) y = 5x + 4

m = coefficiente angolare

II coefficiente angolare m è un numero che indica la pendenza della retta rispetto all'asse X. Al variare di m, varia la pendenza della retta.

• Per esempio nell'immagine la pendenza della retta cambia in base a m, cioè il numero accanto alla X
• Per calcolare m devi tenere conto che è il rapporto tra i valori delle Y di due punti e i valori delle X degli stessi punti.
• Per esempio, se prendiamo i punti A (0,1) e B (2, 6), m = Yb -Ya , quindi 6-1 = 5

Xb-Xa 2-0 2

• quindi m = 5/2, cioè "sale" 5 volte sull'asse delle Y e "va a destra" per 2 volte parallela all'asse X

Da impicita a esplicita

• Parti dalla funzione in forma implicita 2x + 3y + 5 = 0
• Sposta 2x e 5 oltre l'uguale e cambia il segno (come in tutte le equazioni)

3y = - 2x - 5

• Per arrivare ad avere y = ... devi togliere il 3, quindi devi dividere per 3 entrambi i membri dell'equazione

3y = - 2x - 5 3 3

• A questo punto i 3 del primo membro si semplificano e arrivi ad avere y = - 2x - 5

3

q = termine noto

Il termine noto indica il punto di incontro tra la retta e l'asse delle Y.

• Per esempio nell'immagine q è il punto in rosa, cioè P (0,1)