Sequenza Didattica Matematica

Matematica

Funzione quadratica: la parabola

Start

Chiara Mancini Paola Belloni

1. Il contesto

Liceo Economico sociale, 3° anno

La classe è formata da 16 alunni, di cui 6 femmine e 10 maschi. In classe é presente una studentessa con Disturbo misto delle capacità scolastiche (dislessia severa, disortografia, discalculia) in soggetto con difficoltà linguistiche e attentive.

2. Metodologie e strategie didattiche

Strumenti compensativi: - Formulario - Calcolatrice - Esercizi svolti

Tic: - Phet - panquiz/Moduli GOGLE

Misure dispensative - Tempi maggiori per le verifiche

Metodologie didattiche: - Esercitazioni in gruppo - Problem solving

3. Prerequisiti

La retta

Sistemi lineari

- Conoscere la funzione lineare - Sapere rappresentare graficamente la funzione lineare

- Sapere risolvere un sistema lineare con almeno uno dei metodi

reflect

Verifica dei prerequisiti

Realizzare una verifica su Kahoot/panquiz. I ragazzi possono rispondere a questo quiz utilizzando il pc oppure anche il cellulare.

Esempi di possibili domande.

Inizio attività

Note:

• Ipotiziammo di utilizzare le prossime slide per presentare l'attività ai ragazzi.
• Il punto di partenza è la definizione di parabola che ci introduce gli elementi caratteristici della parabola.
• Identifichiamo questi elementi sia a livello grafico che a livello teorico, poi passeremo alla funzione.
• Inseriamo dei momenti di riflessione e ragionamenti condivisi.

1. Gli elementi della parabola

Definizione

La PARABOLA è formata da punti che hanno la stessa distanza da una retta chiamata DIRETTRICE e da un punto detto FUOCO.

FUOCO

VERTICE

RICORDA:FUOCO e DIRETTRICE si trovano alla stessa distanza dal VERTICE.

DIRETTRICE

1. Gli elementi della parabola

VERTICE E ASSE

ASSE

Il VERTICE è il punto in cui passa una retta verticale che si chiama ASSE ed è perpendicolare alla direttrice.

VERTICE

2. La funzione quadratica

y= a x 2 + b x + c

https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_all.html?locale=it

Primo approccio a PHET: modificando i coefficienti si modifica la parabola!

2. La funzione quadratica: problem solving

https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_all.html?locale=it

Proponiamo di svolgere la seguente esercitazione:- la classe viene divisa in 4 gruppi e ad ogni gruppo verrà consegnato un pc - Prevediamo di lasciare circa 10 minuti ai gruppi per ragionare su ogni slide - condivisione dei risultati

2. La funzione quadratica: problem solving

y= a x 2 + b x + c

https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_all.html?locale=it

Passo 1: Dai un valore diverso da 0 a b e a c. Prova a modificare a... Cosa succede? E se a=0?

2. La funzione quadratica: problem solving

y= a x 2 + b x + c

https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_all.html?locale=it

Passo 2: Dai un valore diverso da 0 a a e a c. Prova a modificare b... Cosa succede? E se b=0?

2. La funzione quadratica: problem solving

y= a x 2 + b x + c

https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_all.html?locale=it

Passo 3: Dai un valore diverso da 0 a a e b. Prova a modificare c... Cosa succede? E se c=0?

Esercitazione: riconoscimento dei coefficienti

y = 3 x 2 + 2 x - 3

Esercitazione: riconoscimento dei coefficienti

y = - 3 + 2 x 2 + 4 x

RICAPITOLANDO!

y= a x 2 + b x + c

E' il coefficiente che indica la concavità della parabola. - Se a>0 la concavità è verso l'alto, - se a<0 la concavità è verso il basso. - Se a=0 è una retta

RICAPITOLANDO!

y= a x 2 + b x + c

E' il coefficiente che indica la pendenza della parabola rispetto all'asse y. Se b=0 il vertice è sull'asse delle y.

RICAPITOLANDO!

y= a x 2 + b x + c

E' il coefficiente che determina l'intersezione della parabola con l'asse delle y. Se c=0 la parabola passa per l'origine. Se anche b=0 il vertice coincide con l'origine.

COSTRUZIONE DELLA PARABOLA

Note:Da qui in poi andiamo ad analizzare e ad imparare a costruire la parabola partendo dagli elementi che la costituiscono. Prevediamo di fare questo in più lezioni, proiettando le slide ma chiedendo l'interazione degli alunni. Ogni elemento verà analizzato e si può prevedere prima di passare all'elemento successivo, anche eventuali esercizi per consolidare l'apprendimento di quanto appena spiegato.

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QUALE SARA' LA CONCAVITA'?

y= 1 x 2 - 4 x + 3

• se a > 0 la concavità è verso l'alto

• se a < 0 la concavità è verso il basso.

1 è MAGGIORE di 0 quindi mi aspetto una parabola con la concavità verso l'alto

ASSE DI SIMMETRIA

y= 1 x 2 - 4 x + 3

X = - b / 2 a

X = 4 / 2 * 1 = 4/ 2 = 2

X= 2

ASSE DI SIMMETRIA

y= 1 x 2 - 4 x + 3

X = - b / 2 a

asse di simmetria: X= 2

LE CORDINATE DEL VERTICE

LA CORDINATA X LA CONOSCIAMO GIA'!

y= 1 x 2 - 4 x + 3

Xv = - b / 2 a

Yv = - ∆ / 4 a

∆ =b 2 - 4 a c ∆ = (- 4)2 - 4 *1* 3 = 16 -12 =4

Xv = 2

Yv = - 4 / 4 * 1 = - 1

VERTICE

y= 1 x 2 - 4 x + 3

Xv = 2

Yv = - 1

LE COORDINATE DEL FUOCO

CONOSCIAMO GIA' QUASI TUTTO!

y= 1 x 2 - 4 x + 3

X = - b / 2 a

Y = (1 -∆) / 4 a

X= 2

∆ = 4

Y = (1 - 4) / 4 * 1 = - 3/ 4

LE COORDINATE DEL FUOCO

y= 1 x 2 - 4 x + 3

X = 2

Y = - 3 / 4

DIRETTRICE

CONOSCIAMO GIA' QUASI TUTTO!

y= 1 x 2 - 4 x + 3

Y= - ( 1+∆) / 4 a

Y = - ( 1+ 4) / 4 = - 5 / 4

DIRETTRICE

CONOSCIAMO GIA' QUASI TUTTO!

y= 1 x 2 - 4 x + 3

Y= - 5 / 4

INTERSEZIONI CON GLI ASSI - premessa

INTERSEZIONE

risolvere un sistema di equazioni !

ma quali sono le equazioni degli assi cartesiani ?

INTERSEZIONI CON GLI ASSI - premessa

EQUAZIONI ASSI CARTESIANI: RAGIONIAMO!

Tutti i punti sull'asse delle y hanno in comune l'ascissa uguale a 0

Tutti i punti sull'asse delle x hanno in comune l'ordinata uguale a 0

INTERSEZIONI CON L'ASSE DELLE X

Y =O

EQUAZIONE ASSE X

Metto a sistema:- equazione dell'asse - equazione della parabola

Ricorda: formula per risolvere equazione secondo grado

( 3 , 0)

( 1 , 0)

INTERSEZIONI CON L'ASSE DELLE X

I PUNTI TROVATI:

( 3 , 0)

( 1 , 0)

( 1 , 0)

( 3 , 0)

INTERSEZIONI CON L'ASSE DELLE Y

X=O

EQUAZIONE ASSE Y

Metto a sistema:- equazione dell'asse - equazione della parabola

( 0 , 3)

INTERSEZIONI CON L'ASSE DELLE Y

IL PUNTO TROVATO:

( 0 , 3)

( 0 , 3)

RICAPITOLANDO

• ASSE DI SIMMETRIA: X = 2
• VERTICE: ( 2 ; -1 )
• FUOCO: ( 2 ; -3 / 4 )
• DIRETTRICE: Y = - 5 / 4
• INTERSEZIONE ASSE X: ( 1 ; 0 ) ( 3 , 0 )
• INTERSEZIONE ASSE Y: ( 0 ; 3 )

DATO UN PUNTO... COME FACCIO A SAPERE SE APPARTIENE ALLA PARABOLA?

IL PUNTO (3,2) APPARTIENE ALLA PARABOLA y= 1 x 2 - 4 x + 3 ?

2= 1 *3 2 - 4 *3 + 3 2= 1* 9-12+3 2= 9-12+3 2=0 EQUAZIONE NON VERA QUINDI?

SOSTITUISCI il punto all'interno della funzione!

IL PUNTO NON APPARTIENE ALLA PARABOLA

LE FORMULE DA RICORDARE

VERIFICA

• Abbiamo pensato alla creazione di una verifica a quiz con moduli google.
• E' stato pensato, di iserire all'interno della verifica sommativa sia una parte teorica che pratica.
• La verifica verrà svolta al PC e ai ragazzi viene data la possibilità di avere comunque un foglio su cui fare calcoli, oppure utilizzare PHET per disegnare grafici funzionali alla risposta delle domande.
• All'alunno con disturbo misto delle capacità scolastiche diamo la ossibilità di utilizzare il formulario e la calcolatrice.

VERIFICA

VERIFICA

Domande sul riconoscimento della funzione

VERIFICA

COMPITO DI REALTA'

La FUNZIONE DELL'UTILE ha l'andamento di una PARABOLA RIVOLTA VERSO ILBASSO

il vertice è il punto che massimizza l'utile

Vertice (800;11300)

• Per avere il massimo utile bisogna produrre 800 pezzi un determinato prodotto.
• Il massimo utile sarà 11.300 euro

AZIENDA NON IN PERDITA

AZIENDA IN PERDITA

COMPITO DI REALTA': PROBLEM SOLVING

Un'azienda che produce lieviti per la panificazione, ha realizzato, un utile in euro, espresso da una funzione il cui grafico è rappresentato sotto, dove con X vengono indicati i chili di lievito prodotto e venduto e con Y l'utile. Prova a rispondere alle seguenti domande.

( 12500 , 120250)

1. Qual'èla quantità di lievito che bisogna produrre per ottenere il massimo utile?2. Quanto sarà il massimo utile? 3. Indica sulla parabola quali sono i punti in cui l'utile è 0?

GRAZIE MILLE PER L'ATTENZIONE!

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