probabilità

Calcolo combinatorio

Probabilità statistica

Probabilità assiomatica

Probabilità soggettiva

Introduzione

Probabilità classica

Studiamo insieme

Probabilità

Oggi il calcolo delle probabilità ci pervade in molti contesti del nostro vivere quotidiano. Il meteo che controlliamo la mattina prima di uscire ci dà delle previsioni usando un linguaggio probabilistico.

La teoria della probabilità nasce, all’inizio del diciassettesimo secolo, dagli studi riguardanti la soluzione di alcuni problemi sorti nel gioco d’azzardo, quali ad esempio il gioco dei dadi. I nobili, infatti, facendo di queste attività uno dei propri passatempi preferiti, affidavano ai vari studiosi del tempo il compito di risolvere i loro quesiti a tal proposito.

P(E) = 1 evento certo poichè il numero dei casi favorevoli è uguale al numero dei casi possibili

P(E) = 0 evento impossibile dato che il numero dei casi favorevoli è nullo

0 ≤ P(E) ≤ 1 la probabilità di un evento è sempre compresa tra 0 e 1, poichè il numero dei casi favorevoli è sempre minore o uguale al numero dei casi possibili

dove E rappresenta un evento, mentre P(E) è la probabilità che si verifica l'evento

introduzione

Due eventi E1 ed E2 si dicono dipendenti quando il verificarsi dell'uno modifica la probabilità dell'altro

Due eventi E1 ed E2 si dicono indipendenti quando il verificarsi dell'uno non modifica la probabilità dell'altro

Due eventi E1 ed E2 si dicono incompatibili quo il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro, cioè quando due eventi non possono verificarsi contemporaneamente.

Due eventi E1 ed E2 si dicono compatibili quando il verificarsi dell'uno non esclude il verificarsi dell'altro e i due eventi possono verificarsi contemporaneamente.

tipi di eventi

probabilità condizionata

Dati due eventi E1 ed E2, con p(E)≠0, si chiama probabilità condizionata di E2 rispetto ad E1, e si indica con p(E2|E1), la probabilità che si verifichi E2 nell'ipotesi che E1 sia verificato

prodotto logico di eventi

Il prodotto logico di due eventi E1e E2 è uguale al prodotto della probabilità dell'evento E1 per la probabilità dell'evento E2 nell'ipotesi che E1 sia verificato

somma logica di eventi

La probabilità della somma logica di due eventi E1 ed E2 è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi diminuita dalla probabilità del loro prodotto logico

dinstinguiamo anche

probabilità condizionata

prodotto logico di eventi

somma logica di eventi

esempi

calcolo combinatorio

Raggruppamenti di n elementi a k a k che differiscono per almeno un elemento ma non per l'ordine

combinazioni

disposizioni

Raggruppamenti di n elementi a k a k che differiscono per l'ordine o per un elemento

permutazioni

calcolo combinatorio

Raggruppamenti ad n elementi distinti ad n a n che differiscono per l'ordine

calcolo combinatorio

combinazioni

disposizioni

permutazioni

esempi

calcolo combinatorio

I valori della frequenza relativa di un evento sono compresi tra 0 e 1: 0 ≤ f(E) ≤ 1 N.B. Frequenza 0 non significa che l'evento è impossibile, ma soltanto che non si è mai verificato. Per esempio, se nelle prove effettuate non è mai uscita una pallina gialla, questo non significa che nell'urna ve ne siano. Allo stesso tempo, frequenza 1 mon significa che l'evento è certo, ma soltanto che in quella serie di esperimenti è stato sempre osservato

Scegli una persona a caso e calcola la probabilità che la persona scelta: a. abbia più di 59 anni b. sia un maschio tra i 40 e 59 anni SOLUZIONE: Dobbiamo calcolare n facendo la somma di tutto, ovvero 1212+1567+1129+1490+1562+2202+432+784=10378 a. adesso calcoliamo m da utilizzare nella frazione m/n, sommando per prima cosa 432+784=1216, e ora sappiamo che la probabilità che abbia più di 59 anni è 1216/10378 b. i maschi tra 40 e 59 anni sono 1562 e quindi la probabilità che esca è 1562/10378

ESEMPIO: Una recente statistica su un campone di persone che si recano abitualmente al cinema ha consentito di ricavare i dati raccolti nella seguente tabella excel:

La frequenza relativa f(E) di un evento sottoposto a n esperimenti, effettuati tutti nelle stesse condizioni,è il rapporto fra il numero delle volte m in cui E si è verificato e il numero n delle prove effettuate

probabilità statistica

il valore si ottiene facendo il rapporto fra la somma P che si è disposti a pagare, per esempio in una scommessa, e la somma V che si riceverà nel caso in cui l'evento si verifichi. Inoltre, deve sussistere la condizione di coerenza: la persona che accetta di pagare P per ottenere V deve anche essere disposta a ricevere P per pagare V nel caso l'evento si verifichi

SOLUZIONE: la probabilità di vittoria secondo il sondaggio è 1800/3000 che equivale a 3/5, mentre secondo gli scommettitori è 6/9, che corrisponde a 2/3

ESEMPIO: In un certo momento della campagna elettorale negli USA, un sondaggio fra gli elettori aveva rilevato che su 3000 persone 1800 avrebbero votato per il partito democratico. Contemporaneamente, gli scommettitori davano la vittoria del partito democratico 6 a 9 (cioè, scomettendo 6 dollari, se ne sarebbero ricevuti 9 in caso di vittoria). Calcola la probabilità di vittoria secondo il sondaggio e secondo gli scommettitori.

La probabilità soggettiva di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona, in base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione, assegna il verificarsi di un evento

probabilità soggettiva

ESEMPIO (probabilità contraria):

Possiamo esprimere il valore della probabilità anche mediante la percentuale, per esempio, se p(E)=0,5=5/10, allora p(E)=50%. In questo caso valgono anche le osservazioni ho accennato all'inizio, e possiamo definire anche l'evento contrario. Se prendiamo in considerazione un evento E, il suo contrario è l'evento che si verifica se e solo se non si verifica E

ESEMPIO (probabilità classica):

La probabilità di un evento E è uguale al rapporto tra il numero di casi favorevoli (f) e casi possibili (u)

probabilità classica

1 p(E) ≥ 0 2 p(U) = 1 3 se E1 ∩ E2 = Ø, allora p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2)

):

Dato uno spazio campionario U, una funzione p che associa a ogni evento E dello spazio degli eventi un numero reale viene detta probabilità se soddisfa i seguenti assiomi:

probabilità assiomatica