Geometria euclidea

Geometria

"L'arte di ragionare bene su disegni fatti male" (Poincarè)

concetti fondamentali

Ogni teoria matematica (non solo la geometria euclidea) si basa su:

Gli assiomi o postulati sono sono proposizioni (frasi) che si considerano vere, senza darne una giustificazione.

Gli enti primitivi sono sono concetti di cui non si dà una definizione esplicita.

Su queste fondamenta si costruiscono le definizioni e i teoremi che andranno a formare la teoria matematica.

teorema

Un teorema è un'affermazione che deve essere verifica tramite una dimostrazione (cioè un ragionamento deduttivo) che fa riferimento agli assiomi considerati e ai teoremi precedentemente dimostrati.

IPOTESI (HP): condizioni iniziali, premesse

TESI (TH): risultato finale, conseguenza

DIMOSTRAZIONE: procedimento logico che parte dalle ipotesi e arriva alla tesi

geometria euclidea

concetti primitivi

ASSIOMI

DEFINIZIONI

TEOREMI

Assiomi di relazione tra enti primitivi

assiomi

Assiomi di appartenenza

Assioma d'ordine della retta

Definizioni

figura geometrica

Semiretta

Segmento

Definizioni

convessa

figura geometrica

concava

Semiretta

consecutivi

Segmento

adiacenti

Definizioni

convessa

figura geometrica

concava

Semiretta

consecutivi

Segmento

adiacenti

Poligonale

Una poligonale è una figura geometrica formata da un insime ordinato di segmenti tali che:

• ogni segmento e il suo successivo sono consecutivi ma non adiacenti
• ogni estremo dei segmenti è in comune al massimo a due segmenti

lati

vertici

Quali tra queste figure è una poligonale?

Poligonale

aperta

chiusa

intrecciata

Assiomi di relazione tra enti primitivi

Assiomi di appartenenza

assiomi

Assioma d'ordine della retta

Assioma di partizione del piano

Definizioni

figura geometrica

Angolo

Semipiano

Angolo

convesso

Date due semirette con la stessa origine, un angolo è la figura costituita dalle due semirette e da una delle due parti in cui il piano è diviso dalle semirette stesse. Il vertice delle semirette è detto origine dell'angolo e le due semirette, lati dell'angolo.

concavo

opposti al vertice

consecutivi

giro

piatto

adiacenti

nullo

Definizioni

figura geometrica

Angolo

Semipiano

Poligono

POLIGONO

Un poligono è la figura geometrica formata da una poligonale chiusa e non intrecciata e dai punti interni ad essa.

angolo interno

diagonale

angolo esterno

corda

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Considerata una retta qualsiasi di un piano, essa divide l’insieme dei punti del piano che non le appartengono in due regioni con le seguenti proprietà:

• due punti qualsiasi appartenenti alla stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca la retta

• due punti qualsiasi appartenenti a regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca la retta.

- Si può definire un orientamento (o verso di percorrenza) di una retta.- Inoltre, i punti su una retta (orientata) possono essere ordinati in modo tale che:

• dati due punti distinti A e B sulla retta, con A che precede B, esiste sempre un punto C compreso tra A e B
• dato un punto P della retta, esistono sempre due punti sulla retta A e B tra cui P è compreso

Enti primitivi

In una teoria matematica ogni concetto deve essere associato ad una definizione, che ne descrive tutte le caratteristiche intrinseche.Nella formulazione delle definizioni devono comparire solo concetti precedentemente definiti, in modo da non incorrere in circoli viziosi. Per questa ragione, è necessario introdurre dei concetti primitivi che non possono/devono essere definiti.

• Per due punti distinti, passa una e una sola retta.
• Ogni retta contiene almeno due punti distinti.

• Data una retta su un piano, esiste almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.
• Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano.

- Si può definire un orientamento (o verso di percorrenza) di una retta.- Inoltre, i punti su una retta (orientata) possono essere ordinati in modo tale che:

• dati due punti distinti A e B sulla retta, con A che precede B, esiste sempre un punto C compreso tra A e B
• dato un punto P della retta, esistono sempre due punti sulla retta A e B tra cui P è compreso

Assiomi

Prima di introdurre un assioma in una teria matematica, è necessario controllare che questo non contraddica gli assiomi già introdotti.Inoltre non deve succedere che da un assioma se ne possa derivare un altro, attraverso un ragiomaneto deduttivo. Se ciò accadesse la proposizione dedotta dovrebbe essere inserita tra i teoremi.

Enti primitivi

In una teoria matematica ogni concetto deve essere associato ad una definizione, che ne descrive tutte le caratteristiche intrinseche.Nella formulazione delle definizioni devono comparire solo concetti precedentemente definiti, in modo da non incorrere in circoli viziosi. Per questa ragione, è necessario introdurre dei concetti primitivi che non possono/devono essere definiti.

• Per due punti distinti, passa una e una sola retta.
• Ogni retta contiene almeno due punti distinti.

• Data una retta su un piano, esiste almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.
• Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano.

• Ogni piano è un insieme di punti.

• Ogni retta è un sottoinsieme del piano.

Assiomi

Prima di introdurre un assioma in una teria matematica, è necessario controllare che questo non contraddica gli assiomi già presenti.Inoltre non deve succedere che da un assioma se ne possa derivare un altro, attraverso un ragiomaneto deduttivo. Se ciò accadesse la proposizione dedotta dovrebbe essere inserita tra i teoremi.

• Ogni piano è un insieme di punti.

• Ogni retta è un sottoinsieme del piano.