relazione d'ordine e equivalenza

relazione d'ordine e relazione di equivalenza

Flavia Suany Da Silva

M.64599

Classe V

per parlare di relazione d'ordine e di equivalenza dobbiamo prima definire il prodotto cartesiano

Prerequisiti

conoscere gli insieme.

leggere e scrivere il numeri.

conoscere il precedente e il successivo.

conoscere l'insieme dei numeri naturali e interi.

il prodotto cartesiano.

prodotto cartesiano

Definizione:

Il PRODOTTO CARTESIANO è una operazione tra due insiemi. Dati due insiemi (non vuoti)A e B, il A X B, è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a,b), in cui "a" è l'elemento dell'insieme A e "b" è l'elemento dell'insieme B.

A x B= {(a, b) : a є A, b є B}

Prodotto cartesiano di A e B

facciamo un esempio

A= (1,2,3)B= (a,b) A X B= {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), 3,b)}

Ma come rappresentiamo un prodotto cartesiano ?

WATCH

Possiamo farlo in tre modi:

Diagramma Cartesiano

Diagramma ad albero

Diagramma di Eulero Venn

adesso definiamo il concetto di relazione in matematica

cos'è una relazione?

Possiamo dire che:

Se il termine indica un legame tra due elementi, in matematica

una RELAZIONE è una CORRISPONDENZA che associa uno o più elementi di un'insieme A ad uno o più elementi di un'insieme B

Possiamo scriverla come:

aRb

b∈B

a∈A

cos'è una relazione?

Prendendo due insiemi: A= (1,2,3) B=(a,b,c,d)

Colleghiamo alcuni elementi di A ad elementi di B attraverso la relazione di Eulero Venn

Possiamo osservare che relazione è un SOTTOINSIEME del prodotto cartesiano.

R⊆ A X B

Facciamo ora il prodotto cartesiano A X B che sarà:

(1,a);(1,b);(1,c);(1,d); (2,a);(2,b);(2,c);(2,d); (3,a);(3,b);(3,c);(3,d)

AXB=

proviamo con un esempio

Abbiamo due insieme A e B

A=(pane,uova,fragola) B=(banana,yogurt,bistecca,mela) R= Essere frutta

(pane,babana);(pane,yogurt);(pane,bistecca);(pane,mela) (uova,banana);(uova,bistecca);(uova,yogurt);(uova,mela) (fragola,banana);(fragola,yogurt);(fragola,bistecca);(mela,fragola)

AxB=

Possiamo vedere che le coppie che soddisfano la relazione sono solamente due, quindi:

aRb={(fragola,banana);(mela,fragola)}

⊂AxB

come possiamo rappresentare una relazione ?

RAPPRESENTAZIONE CON TABELLA A DOPPIA ENTRATA

RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE

Poniamo gli elementi di un insieme nella prima colonna, e quelli dell'altro insieme nella prima riga.

Le coppie sono elencata una dopo l'altra.

RAPPRESENTAZIONE SAGITTALE (DIAGRAMMA A FRECCE)

Elemento di A collegati ad elementi di B tramite delle frecce.

RAPRESENTAZIONE SUL PIANO CARTESIANO

Posso considerare gli elementi dell'insieme A( dominio o contro immagine) sul'asse delle ascisse, gli elementi dell'insieme B (condominio o immagine) sull'asse delle ordinate,individuando così sul piano le coppie ordinate.

Fino ad ora abbiamo presentato le relazioni come corrispondenze che associano uno o più elementi di un insieme A, ad uno o più elementi di un insieme B

Una RELAZIONE può però essere definita anche in un insieme in cui vengono associati gli elementi dell'insieme A con gli elementi dello stesso insieme A;

Individuando un particolare sottoinsieme del prodotto cartesiano A x A

Questo sottoinsieme verrà detto RELAZIONE in A

In questo caso l'insieme di partenza e l'insieme di arrivo COINCIDONO

facciamo un esempio

Prendiamo in considerazione un insieme finito AA={1,2,3,4,5,6,7,8,9} La relazione R in A collega ogni elemento con i suoi multipli

R={(2,4);(2,6);(2,8);(3,6);(3,9); (4,4); (4,8);(2,2);(6,6);(8,8);(7,7);(9,9);(1,1);(2,1);(3,1);(4,1);(5,1);(6,1);(7,1);(8,1);(9,1)}. In questa nuova visione di unico insieme inseriamo lo studio delle seguenti tipologie di relazioni.

QUALI RELAZIONi CONOSCIAMO?

Le relazioni possono essere strumenti per definire alcune proprietà matematiche; Possiamo soffermarci su alcune relazioni che possono soddisfarre contemporaneamente le proprietà che andremo a definire.

RELAZIONI D'ORDINE

RELAZIONI D'EQUIVALENZA

RELAZIONE D'EQUIVALENZA

Sono dette RELAZIONI D'EQUIVALENZA, delle particolari relazioni che rispondono all'esigenza di classificare secondo un criterio assegnato gli oggetti di un insieme, mettendo in uno stesso sottoinsieme gli elementi che vengono ritenuti "uguali" secondo il criterio assegnato

PROPRIETA' RIFLESSIVA

Le RELAZIONI D'EQUIVALENZA soddisfano contemporanemente tre proprietà

PROPRIETA' SIMMETRICA

PROPRIETA' TRANSITIVA

Generalmente indichiamo una relazione d'equivalenza con il simbolo

PROPRIETÀ RIFLESSIVA

Una relazione gode della proprietà riflessiva so ogni elemento dell'insieme è sempre in relazione con se stesso.

Nel linguaggio algebrico si scrive

X è in relazione ad x per ogni x appartenente ad A

x R x

∀x∈A

PROVIAMO CON UN ESEMPIO

Proviamo a verificare la proprietà riflessiva:

Prendiamo in considerazione un insieme A non vuoto

A={2,3,4,5,6,7,8,9}

La relazione R collega ogni elemento dell'insieme A con i suoi multipli nello stesso insieme.

La relazione che otterremo sarà:

R={(2,2);(2,4);(2,6);(2,8);(3,3);(3,6);(3,9);(4,4);(4;8);(5,5);(6,6);(7,7);(8,8);(9,9)}

La relazione è multiplo di..." rispetta la proprietà riflessiva, perchè ogni numero è multiplo di se stesso.

Essendo un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxA posso rappresentare la relazione attraverso una tabella a doppia entrata.

PROVIAMO CON UN ESEMPIO

Facciamo ora un esempio in cui una relazione non è riflessiva

Consideriamo l'insieme delle RETTE DEL PIANO CARTESIANO E la relazione R=X è perpendicolare ad Y

La relazione R non è riflessiva perchè

UNA RETTA NON PUO' ESSERE IN RELAZIONE CON SE STESSA

Quindi la relazione non è una relazione d'equivalenza, perchè non rispetta una delle tre proprietà.

proprietà simmetrica

Una relazione gode della proprietà simmetrica se ogni coppia di elementi di un insieme A (non vuoto) (a,b) può essere confrontata con la coppia (b,a)

Quindi, per ogni elemento a in relazione con l'elemento b, anche l'elemento b sarà in relazione con a

∀a,b∈A da aRb => bRa

proviamo insieme con un esempio

Proviamo a verificare la proprietà simmetrica:

Prendiamo in considerazione l'insieme non vuoto A

A={-1,-2,-3,1,2,3} La relazione R collega ogni elemento nell'insieme con il suo opposto. Gli elementi che fanno parte della suddetta relzione sono:

R={(-1,1);(-2,2);(-3,3);(1,-1);(2,-2);(3,-3)}

-1

-3

-2

PROVIAMO CON UN ESEMPIO

Quando invece una relazione non gode della proprietà simmetrica, vediamo un esempio:

Consideriamo l'insieme non vuoto A A={2,3,4,6} La relazione R collega ogni numero al suo divisore R={(2,4);(3,6)}

Proprietà transitiva - necessitano almeno 3 elementi x,y,z

Una relazione gode della proprietà transitiva quando, dati tre elementi qualsiasi di un insieme non vuoto A, (x,y,z), se x è in relazione con y, y è in relazione con z, allora x sarà anche esso in relazione con z

∀x,y,z A| xRy, yRz => xRz

PROVIAMO CON UN ESEMPIO

Proviamo a verificare la proprietà transitiva attraverso un esempio. Consideriamo l'insieme non vuoto A: A={2,4,6,8,10} La relazione R mette in relazione una coppia di numeri pari. Possiamo quindi vedere che 2R4 4R6

Gli elementi 2 e 4 sono in relazione perchè entrambi pari

Gli elementi 4 e 6 sono in relazione perchè entrambi pari

AVREMO QUINDI CHE: 2R6 Perchè entrambe le coppie formano coppie pari E' possibile verificarlo con tutte le coppie dell'insieme

Proviamo con un esempio

Possiamo vedere come una relazione non rispetta la proprietà transitiva attraverso un esempio con le rette x,y,z La relazione R è :" x è perpendicolare a y "

Questa relazione NON può essere transitiva perchè:

• la retta x è perpendicolare alla retta y e la retta y è a sua volta perpendicolare a z, la retta z è parallela alla retta x.

QUINDI: la retta x con la retta z non sarà perpendicolare

Proviamo con un esempio

Queste proprietà possiamo utilizzarle anche nella nostra quotidianità; proviamo con alcuni esempi concreti:

Proprietà simmetrica A={Arancia, mandarino} R= "Ha lo stesso colore di..." Se l'arancia ha lo stesso colore del mandarino ALLORA il mandarino avrà lo stesso colore dell'arancia

Proprietà riflessiva

A= {Pantaloni nell'armadio] R = " Ha la stessa taglia di..." La relazione sarà verificata in quanto ogni Pantaloni avrà la stessa taglia di se stessa

Proprietà transitiva A={ Alessandro, Michele, Antonio} R= " Ha la stessa età di..." Se Alessandro ha la stessa età di Michele Se Michele ha la stessa età di Antonio ALLORA Alessandro avrà la stessa età di Antonio

Proviamo con un esempio

Abbiamo analizzato le diverse proprietà, ora però proviamo ad unirle cosi da presentare un esempio di RELAZIONE D'EQUIVALENZA

Prendiamo in consierazione un insieme A che contiene n. 3 fratelli A={Maria, Rosa, Francesco} R= "abita nella stessa casa di ..."

1. RIFLESSIVA Perchè ognuno abita nella stessa casa di se stesso.2. SIMMETRICA Perchè se Maria abita nella stessa casa di Rosa, allora Rosa abita nella stessa casa di Maria.3. TRANSITIVA Perchè se Maria abita nella stessa casa di Rosa, Rosa abita nella stessa casa di Francesco, allora Maria abita nella stessa casa di Francesco

RELAZIONI D'ORDINE

Le RELAZIONI D'ORDINE sono particolari relazioni che rispondono all'esigenza di stabilire "che cosa viene prima di che cosa" secondo il criterio assegnato

PROPRIETA' RIFLESSIVA

Le RELAZIONI D'ORDINE soddisfano contemporaneamente tre proprietà

PROPRIETA' ANTI-SIMMETRICA

PROPRIETA' TRANSITIVA

PROPRIETà ANTI-SIMMETRICA

Una relazione gode della proprietà anti-simmetrica quando, dati due elementi, di un insieme A, diversi tra loro, per ogni elemento x in relazione con y, l'elemento y non è in relazionne con x

Scriveremo

∀x,y A xRy , x=y => yRx

proviamo con un esempio

Per verificare quando un relazione non risponde alla prorpietà anti-simmetrica potremmo proporre un esempio: Prendiamo in considerazione l'insieme A=(2,4) E la relazione R "essere minore o uguale " Possiamo vedere come 2 4 MA 4 2

Abbiamo verificato in questo modo come aRb ma bRa

Proprietà Transitiva (ESEMPIO PRECEDENTE FRATELLI)

Si dice che una relazione gode della proprietà transitiva se tutte le volte che un elemento a è in relazione con un elemento b, e l'elemento b è in relazione con l'elmento c, ALLORA l'elemento a sarà in relazione con l'elmento c

Scriveremo a,b,c A aRb bRc => aRc

proviamo con un esempio

Prendiamo in considerazione un insieme non vuoto A A( 3,5,8) La relazione che andremo ad analizzare sarà ancora una volta " è minore o uguale " Per verificare se la relazione gode della proprietà transitiva dovremmo ottenere aRb, bRc e aRc

(a≤b, b c, a c)

Vediamo che: 3 5, 5 8, 3 8

Abbiamo in questo modo verificato la proprietà

PROVIAMO CON UN ESEMPIO

Proviamo ora a verificare se una relazione possiamo definirla relazione d'ordine, se rispetta contemporaneamente tutte e tre le proprietà

Prendiamo l'insieme dei numeri naturali N N={1,2,3,4....} Dobbiamo capire se la relazione R " x è multiplo di y" è una relazione d'ordine

• E' RIFLESSIVA Ogni numero è multiplo di se stesso se lo moltiplico per il fattore 1. es.( 3 è multiplo di se stesso)

• E' ANTI-SIMMETRICA Presi due numeri diversi, se x è multiplo di y, allora y non sarà multiplo di x es.( se 6 è multiplo di 3, 3 non è è un divisore).

• E' TRANSITIVA Presi tre numeri diversi, se x è multiplo di y, e y è multiplo di z, allora x sarà multiplo di z. es.( 18/6/3)

Relazioni d'ordine

A sua volta le relazioni d'ordine si dividono in due tipi:

RELAZIONE D'ORDINE PARZIALE

RELAZIONE D'ORDINE TOTALE

Queste relazioni mettono in relazione solo una parte degli elementi dell'insieme. Non è sempre possibile confrontare tutti gli elementi tra loro. In quest caso l'insieme viene detto INSIEME PARZIALMENTE ORDINATO

Queste relazioni mettono mettono in relazione tutti gli elementi dell'insieme . E' possibile confrontare ogni elemento con tutti gli altri. In questo caso l'insieme viene detto INSIEME TOTALMENTE ORDINATO

PROVIAMO CON UN ESEMPIO

Proviamo ora a verificare se una relazione possiamo definirla relazione d'ordine, se rispetta contemporaneamente tutte e tre le proprietà

Prendiamo l'insieme dei numeri naturali N N={1,2,3,4....} Dobbiamo capire se la relazione R " x è multiplo di y" è una relazione d'ordine

• E' RIFLESSIVA Ogni numero è multiplo di se stesso se lo moltiplico per il fattore 1. es.( 3 è multiplo di se stesso)

• E' ANTI-SIMMETRICA Presi due numeri diversi, se x è multiplo di y, allora y non sarà multiplo di x es.( se 6 è multiplo di 3, 3 non è è un divisore).

• E' TRANSITIVA Presi tre numeri diversi, se x è multiplo di y, e y è multiplo di z, allora x sarà multiplo di z. es.( 18/6/3)

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