CALCULO INTEGRAL 1

CALCULO INTEGRAL

821-M

INTEGRANTES DEL EQUIPO

Cruz Cruz Amairani 233139237

Elizalde Cuautle Valeria 233139121

Escapite Rios Maximiliano 233139125

Garcia Frias Ingrid Valeria 233139186

NOTACIÒN SIGMA

Es una herramienta útil que se emplea para trabajar con las sumas de una serie de números y resolver una amplia gama de problemas de series. La notación sigma (notación de suma) ayuda a expresar expresiones matemáticas complejas y complicadas. La notación sumatoria se denota con la letra griega (Σ). Hace que las formulaciones matemáticas sean más concisas y manejables al hacer que las sumas complicadas sean más comprensibles. Es crucial en campos como matemáticas, estadística, física, informática, economía y más, ya que ayuda con la resolución de problemas, la optimización de algoritmos y los cálculos matemáticos eficientes.

PROPIEDADES

• La notación sigma consta de varios componentes clave:
• El símbolo de suma (Σ): este símbolo es la letra griega sigma (Σ), que representa la idea de sumar o sumar una secuencia de términos.
• El índice de suma: el índice suele estar representado por una variable (a menudo una letra), que toma valores enteros. Define los términos que se suman y varía desde un valor inicial hasta un valor final.

• El formato general de la notación sigma es el siguiente:
• Σ k yo = j f yo
• Aquí hay un desglose de la notación:
• Σ: El símbolo de suma.
• i: El índice de sumatoria.
• j: El límite inferior de sumatoria. Indica dónde comienza la sumatoria.
• k: El límite superior de la suma, que indica dónde termina la suma.
• f: El término expresión, donde i es la variable índice.

EJEMPLO

VIDEO EXPLICANDO EL TEMA

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SUMAS DE RIEMANN

La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de formas, generalmente rectángulos o trapecios dentro del área irregular, calcular el área de cada una de las formas finitas y sumarlas. Este método de integración numérica presenta el problema que al sumar las áreas se obtiene un margen de error grande. En una suma de Riemann de aproximación por defecto, o también llamada suma de Riemann izquierda, aproximamos el área con rectángulos donde la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo izquierdo de su base (Figura 2a). En una suma de Riemann de aproximación por exceso, o también llamada suma de Riemann derecha, aproximamos el área con rectángulos donde la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo derecho de su base (Figura 2b). En una suma de Riemann de aproximación en el punto medio, aproximamos el área con rectángulos donde la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el punto medio de su base (Figura 2c). En la suma de Riemann por aproximación trapezoidal, aproximamos el área con trapecios donde los dos vértices superiores del trapecio tocan la curva (Figura 2d).

EJEMPLO

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INTEGRALES

Es la operación inversa a la derivación. Esto significa que cuando encontramos la integral de una función, obtenemos la función que al derivarla nos dará la función que estamos integrando. Por ello la integral se conoce también como antiderivada.

• Integrales indefinidas: Cuando encontramos la integral indefinida, es importante que incluyamos una constante de integración. La constante nos dice que el resultado de es dado como. Esta es cualquier constante que, independientemente del valor, nos dará la función original al derivarla. Esto es porque la derivada de una constante es . Si una función tiene una constante y se deriva, se pierde esta constante. Al integrar una función, esta función podría provenir de una función primitiva con cualquier constante.
• Integrales definidas: Una integral definida es una integral con límites. Podemos representar esto como al área de la curva debajo de dos puntos: a y b.
• Integrales inmediatas: Cuando las integrales indefinidas pueden ser calculadas usando una fórmula general sin hacer sustituciones, álgebra o factorizaciones, estas se conocen como integrales inmediatas.

EJEMPLO

Teorema Fundamental del Calculo

PARTE 1

Cálculo es un teorema extremadamente poderoso que establece la relación entre la diferenciación y la integración, y nos da una manera de evaluar integrales definidas sin usar sumas de Riemann o calcular áreas. El teorema consta de dos partes, la primera de las cuales, el teorema fundamental del cálculo, parte 1, se enuncia aquí. La Parte 1 establece la relación entre diferenciación e integración. En segundo lugar, merece la pena comentar algunas de las implicaciones clave de este teorema. Por algo se llama teorema fundamental del cálculo. No solo establece una relación entre integración y diferenciación, sino que también garantiza que cualquier función integrable tiene una antiderivada. En concreto, garantiza que cualquier función continua tiene una antiderivada.

PARTE 2

El teorema fundamental del cálculo, parte 2 (también conocido como el teorema de evaluación) establece que si podemos encontrar una antiderivada para el integrando, entonces podemos evaluar la integral definida evaluando la antiderivada en los puntos extremos del intervalo y restando. Después de encontrar las áreas aproximadas sumando las áreas de rectángulos n, la aplicación de este teorema es sencilla por comparación. Casi parece demasiado sencillo que el área de toda una región curva pueda calcularse simplemente evaluando una antiderivada en el primer y último punto final de un intervalo.

EJEMPLO

EJEMPLO

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COMPETENCIA 2

Métodos de Integración

Se entiende por métodos de integración al conjunto de las diferentes técnicas elementales usadas (a veces de forma combinada) para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Así, dada una función 𝑓(𝑥) f(x)}, un método de integración nos permite encontrar otra función 𝐹 (𝑥) F(x)} tal que: lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función 𝐹(𝑥) F(x)} tal que 𝑓(𝑥) f(x)} sea su derivada:

INTEGRACION POR PARTES

Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:Regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca MENOS Flaca Vestida De Uniforme (UDV = UV - FVDU) Método:El integrando debe ser un producto de dos factores (si no lo es, podemos transformarlo para que lo sea).Uno de los factores será u y el otro será dvSe calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.Se aplica la fórmula. .

EJEMPLO

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INTEGRACION TRIGONOMETRICA

Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución –desde luego que son válidos los teoremas de integración–, pero sobre todo se deben tener siempre presentes los T5.11 a T5.16. T5.11 (senu)’=cosu u’ T5.12 (cosu)’= –senu u’ T5.13 (tanu)’= sec2u u’ T5.14 (ctgu)’= –csc2u u’ T5.15 (secu)’= secu tanu u’ T5.16 (cscu)’= -cscu ctgu u’ En lo general después de aplicar las diferentes sugerencias dadas en la teoría T-CI3-100, pero muy en especial: Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas. Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica. Reducir una fracción impropia. Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x). Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).

Algunas de las identidades trigonométricas que te pueden ser útiles son:

EJEMPLO

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Algunas de las identidades trigonométricas que te pueden ser útiles son:

Sustitución Trigonométrica

La sustitución trigonométrica es un método de integración. En lugar de sustituir usando una nueva variable que es función de x (u=f(x)), se define a x como una función trigonométrica de una nueva variable (x=f(θ)). El método consiste en: Reescribir la ecuación en términos de la variable (θ) y su diferencial (dθ) Resolver la integral Reescribir el resultado en términos de x

EJEMPLO

Fracciones Parciales

Es un procedimiento para integrar funciones racionales. Se hace referencia a integrales de un cociente de funciones, del tipo: Por lo que se debe recordar que es es común expresar una suma de expresiones racionales de la forma: Pero en este caso se requiere el proceso inverso, es decir, representar una expresión racional simple como la suma de dos o más cocientes simples denominados fracciones racionales. Procedimiento necesario en la solución de integrales de algunas funciones racionales.

Función racional propia Si se considera una función racional H definida por: donde P(x) y Q(x) son polinomios. Se dice que H(x) es una fracción propia, siempre y cuando el grado de P(x) (numerador) sea menor que el grado de Q(x) (denominador). Si se tiene una fracción propia se puede empezar el procedimiento de fracciones parciales, en caso contrario se deber realizar operaciones algebraicas, como la división de polinomios o la división sintética para llegar a una fracción propia. El método general de solución, por fracciones parciales, busca descomponer una fracción propia de la forma: P(x)/Q(x) en dos o más fracciones parciales. Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen al factorizar Q(x) en un producto de factores lineales o cuadráticos.

EJEMPLO

Integrales Impropias

En cálculo, una integral impropia de una función es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número que no está dentro de su dominio, a ∞, o a ∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones. Si la función 𝑓(𝑥) al ser integrada desde 𝑎 hasta 𝑐 tiene una discontinuidad en 𝑐, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si 𝑐=∞ entonces la integral: Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

EJEMPLO

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COMPETENCIA 4

SERIES Y SUCESIONES

Una sucesión a n es convergente cuando tiene límite finito. El límite L de una sucesión es el número al que la sucesión se aproxima cada vez más. Se dice que la sucesión a n converge a su límite L y se expresa por: Una sucesión es divergente cuando no tiene límite. Es decir, cuando no existe ningún número finito al cual se aproxima. Cuando una sucesión es divergente, decimos que no existe su límite:

EJEMPLO

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Una serie Taylor es una forma inteligente de aproximar cualquier función como un polinomio con un número infinito de términos. Cada término del polinomio de Taylor proviene de las derivadas de la función en un solo punto. Creado por Sal Khan.

SERIE DE TAYLOR

EJEMPLO

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SERIE MCLAURIN

Una serie infinita de potencias de (x-a) en la que el coeficiente de (x-a)k está dado por la regla anterior, se llama Serie de Taylor de f(x) en a. En el caso especial a=0, la serie de potencias se llama Serie de Maclaurin.

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FUENTES

Síntesis y organización

• https://lapiedradesisifo.com/notacion-sigma-definicion-propiedades-importancia-y-ejemplos/
• https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/164613/Talens%20-%20C%C3%A1lculo%20del%20%C3%A1rea%20bajo%20una%20curva%3A%20la%20suma%20de%20Riemann.pdf?seqt#:~:text=La%20suma%20de%20Riemann%20consiste,un%20margen%20de%20error%20grande.
• https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/integrales/
• https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/5-3-el-teorema-fundamental-del-calculo
• https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm