SCIENCE VIBRANT PRESENTATION

Problema de modelação matemática

TRABALHO REALIZADO POR: GABRIELA SOARES Nº4 INÊS CASTRO Nº11 TOMÁS MARTINS º12

Indíce

EXPONENCIAIS

INTRODUÇÃO

MATMÁTICA E AS CIÊNCIAS

CONCLUSÃO

TRIGONOMETRIA

COMO CALCULAR

INTRODUÇÃO

As funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são elementos fundamentais em diversas áreas das ciências, desempenhando papéis essenciais na modelagem, análise e compreensão de fenómenos naturais e sistemas complexos. A sua aplicação transcende os limites da matemática pura, encontrando-se intrinsecamente entrelaçada com inúmeras disciplinas científicas. Embora a ideia de matemática muitas vezes nos deixe questões de como se relaciona o que aprendemos com a vida real e o nosso dia-a-dia facilmente olhamos em redor e encontramos na matmática a explicação para vários fenómenos nos quais não esperavamos encontra-la.

A MATEMÁTICA E AS CIÊNCIAS

As funções trigonométricas, amplamente utilizadas na descrição de fenómenos periódicos, como o movimento oscilatório de sistemas mecânicos, as ondas eletromagnéticas na ótica e análise de correntes alternadas em circuitos elétricos. As funções exponenciais e logarítmicas, essenciais desde a física nuclear e química, modelando a radioatividade e cinética de reações químicas, até à biologia, onde desempenham papéis cruciais na modelagem de populações, processos de crescimento celular e termodinâmica dos organismos. Além disso, nas ciências da computação e engenharia, as funções exponenciais e logarítmicas são amplamente utilizadas em algoritmos de otimização, análise de complexidade computacional e na conceção de sistemas de comunicação digital. Estas também desempenham um papel importante na economia e na análise financeira, especialmente na modelagem do crescimento económico, taxas de juros e na avaliação de investimentos. Para o ramo das ciências a sua utilização é essencial. Na medicina, na engenharia, na economia, na astronomia, na geografia, na física, etc... Hoje vamos alargar o nosso conhecimento e focar-nos em como a trigonometria é aplicada na astronomia e as funções exponências na nos vários ramos das ciências.

TRIGONOMETRIA E O ÂNGULO DE PARALAXE

Como é que os astrónomos medem distâncias entre as estrelas e a Terra, ou entre outros corpos celestes?

Quando se olha para o céu não se tem a mesma noção de distância que na Terra, ou seja, vemos a duas dimensões. Por esta razão, os astrónomos utilizam técnicas diferentes para estimar a distância de uma estrela à Terra, uma delas é o método da paralaxe. Este método baseia-se na comparação de duas observações de um astro feitas a partir da Terra, em dois momentos com uma diferença de 6 meses entre eles. Deste modo, obtém-se uma diferença angular, usada para calcular a distância entre a Terra e o astro.

A trigonometria é usada para calcular a distância até à estrela com base na mudança aparente da sua posição angular quando observada de diferentes pontos da órbita terrestre. Ao fotografarmos um astro em janeiro e depois em julho (por exemplo), o fundo de estrelas de cada foto será diferente. Exemplificação: Fotografia de janeiro Fotografia de julho

Assim, comparando as fotos é possível medir um ângulo 2α e, por conseguinte, α – ângulo de paralaxe.

COMO SE CALCULA?

Para calcular a distância de uma estrela à Terra, podemos utilizar uma expressão que relaciona:

• o ângulo de paralaxe, p;
• a distância, d, até a estrela;
• a distância média entre a Terra e o Sol, 1AU (unidade astronómica);

A relação entre a distância até a estrela (d), o raio da órbita da Terra (1UA) e o ângulo de paralaxe (p) é dada pela tangente do ângulo de paralaxe: NOTA: distância, d, medida em unidades astronómicas (UA) ou qualquer outra unidade de distância conveniente, para converter de UA para km, podemos multiplicar a distância em UA pelo valor da unidade astronômica em km:

Aplicação das exponenciais e logarítmicas

Biologia e Medicina: Nas ciências da vida, as funções exponenciais são comummente usadas para modelar o crescimento populacional de organismos, como bactérias em culturas microbiológicas ou células em culturas celulares. Além disto, as taxas de decaimento exponencial são usadas na medicina para entender a meia-vida de substâncias no corpo ou a degradação de medicamentos. Ecologia: Em ecologia, as funções exponenciais são utilizadas para modelar o crescimento populacional de espécies em ecossistemas, bem como o decaimento de recursos naturais finitos, como a quantidade de carbono em reservatórios geológicos. Economia e Finanças: As funções exponenciais e logarítmicas são amplamente utilizadas em economia e finanças para modelar o crescimento económico, a inflação, as taxas de juros compostas e o valor presente líquido de investimentos. Estas são essenciais na análise de investimentos, precificação de derivativos financeiros e na gestão de riscos.

Física: Na física, as funções exponenciais são aplicadas numa variedade de contextos, incluindo decaimento radioativo, processos de difusão e dispersão de partículas, e na descrição de fenômenos de oscilação amortecida. Os logaritmos são usados em várias fórmulas físicas, como na Lei de Beer-Lambert na espectrofotometria e na Lei de Newton do Resfriamento.Geologia e Geofísica: Nas ciências da Terra, as funções exponenciais são usadas para modelar o decaimento radioativo de isótopos em rochas e minerais, permitindo a datação de materiais geológicos. Os logaritmos são empregados na escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos, onde a magnitude é logaritmicamente relacionada à energia liberada. Psicologia e Ciências Sociais: As funções exponenciais e logarítmicas são aplicadas em psicologia para modelar o aprendizado, a memória e a tomada de decisões. Na sociologia, são utilizadas para entender o crescimento populacional, a difusão de informações e a propagação de doenças nas redes sociais.

CONCLUSÃO

A modelação matemática, especialmente quando envolve funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, desempenha um papel vital nas diversas ciências, fornecendo uma estrutura sólida para compreender e prever fenómenos complexos. Através da aplicação destas funções, os cientistaspodem descrever e analisar uma ampla variedade de processos naturais e sistemas dinâmicos, desde o comportamento de populações biológicas até o funcionamento de sistemas económicos. Através da modelação matemática, os invetigadoress podem captar padrões e regularidades nos dados observados, identificar relações causais subjacentes e testar hipóteses. No entanto, é importante reconhecer as limitações da modelação matemática, especialmente quando se trata de sistemas altamente não lineares ou sujeitos a incertezas significativas. Os modelos são simplificações da realidade e, portanto, podem não capturar todos os aspetos importantes de um fenómeno. É essencial usar a modelação matemática com cautela, combinando-a com experiências cuidadosas e análises críticas dos resultados. Em suma, a modelação matemática, com o uso de funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, é uma ferramenta poderosa e versátil nas ciências, fornecendo insights profundos sobre o funcionamento dos sistemas naturais e sociais. A sua aplicação contínua e refinamento constante são essenciais para desenvolver a nossa compreensão perante o mundo e enfrentar desafios complexos que nos esperam.

Eureka!

Diapositivo 1 (uma.pt) Geologia : Determinação de Distâncias Astronômicas (Paralaxe) (ciencias-geologia.blogspot.com) (PDF) Aplicações da Trigonometria na Astronomia: Medição de Distâncias pelo Método de Paralaxe | Custódia Drumond - Academia.edu