Ecuaciones de la recta

ECUACIONES DE LA RECTA

Empezar

Un punto A y un vector director de la recta vd

Para escribir la ecuación de una recta necesitaremos

Un punto A y un vector nomal a la recta n

Cálculo de la pendiente. Cálculo del vector director dado dos puntos.

Dos puntos A y B

Supongamos que nuestro punto es A( 1, -2 ) y el vector director es vd ( 3, -4 )

Ecuación implicita.

Ax + By + C = 0

Ecuación vectorial.

OX = OA + t vd (x,y) = ( 1, -2 ) + t ( 3, -4)

El vector n (A,B) es un vector normal, ( perpendicular) a la recta. Se calcula a partir del vd ( intercambiamos las coordenadas y cambiamos el signo a una de ellas) En este caso n ( 4, 3 ). 4x +3y + C = 0 Para calcular el valor de C sustituimos un punto en la ecuacuación y despejamos C 4(1 ) +3(-2) + C = 0 C= 2

4x + 3y + 2 = 0

Ecuación paramétrica

x = 1 + 2 t y = - 2 - 4 t

Ecuación continua.

y = m x + b

Ecuación explicita.

y - (-2) - 4

x - (+1 ) 3

m es la pendiente de la recta, se puede calcular con el vd m= -4 /3 . Para calcular "b" sustituimos A( 1, -2) en la ecación y ontendremos b= -2/3

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y = -4 x - 2 3 3

Supongamos que nuestros puntos son A( 1, -2 ) y B ( 3, 4 ), a partir de ellos calcularemos : el vector director vd = AB = ( 3-1 , 4 - (-2))= ( 2, 6 ) = ( 1, 3) 0 vd= BA =( -2, -6)= ( -1, -3) el vector normal n = ( 3, -1 ) la pendiente m = 3

Ecuación implicita.

3 x -1 y -5 = 0

Ecuación vectorial.

(x,y) = ( 1, -2 ) + t ( 1, 3)

Ecuación paramétrica

x = 1 + t y = - 2 +3 t

Ecuación explicita.

y = 3 x - 5

Ecuación punto pendiente

y - 1 = 3 ( x- (-2) ) y - 1 = 3 ( x + 2)

Ecuación continua.

x - (+1 ) 1

y - (-2) 3

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Supongamos que nuestro punto es A( 1, -2 ) y nuestro vector normal n = ( 5, -1) En este caso podemos calcular también el vd y la pendiente m el vector director vd = ( 1, 5) la pendiente m = 5

Ecuación implicita.

5 x -1 y - 7 = 0

Ecuación vectorial.

(x,y) = ( 1, -2 ) + t ( 1, 5)

Ecuación paramétrica

x = 1 + t y = - 2 +5 t

Ecuación explicita.

y = 5 x - 7

Ecuación punto pendiente

y - 1 = 3 ( x- (-2) ) y - 1 = 3 ( x + 2)

Ecuación continua.

x - (+1 ) 1

y - (-2) 5

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Cálculo de un vector definido por dos puntos :

Restaremos extremo menos origen. Si es posible se simplificará , ya que lo que nos interesa es sólo la dirección y así los números serán lo más pequño posible. Por ejemplo A( 1, -2) y B ( 3, 4) El vector que va desde A hasta B será AB = ( 3, 4) - ( 1, -2) = (3-1, 4- (-2)) =( 2, 6 ) El vector AB = (2, 6) tendrá la misma dirección que el vector AB` = ( 1, 3)

Cálculo de la pendiente de una recta:

La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las X , es decir la tangente del ángulo del vector director de la recta , que representaremos por m . Si nuestro vector director de la recta es vd=( 3, -4) m = -4/3 Si nuestro vector director de la recta es vd= ( 1, 3 ) m = 3/1 = 3

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