Tema 22. El aprendizaje de los números y el cálculo numérico

Tema 22.

El aprendizaje de los números y el cálculo numérico. Números naturales, enteros, fraccionarios y decimales. Sistemas de numeración. Relación entre los números. Operaciones de cálculo y procedimientos del mismo (calculo escrito, mental, estimación y calculadora). Intervención educativa.

Índice

2.4

Números decimales

Introducción

Sistemas de numeración

El aprendizaje de los números y el cálculo numérico

Relaciones entre los números

Números naturales, enteros, fraccionarios y decimales

Operaciones de cálculo y procedimientos del mismo (cálculo escrito, mental, estimación y calculadora)

2.1

Números naturales (N)

2.2

Números enteros (Z)

Intervención Educativa

2.3

Numeros Fraccionarios

Conclusión

Bibliografía

Introducción

Área: el alumnado desarrolla habilidades para utilizar y relacionar los números, aprender operaciones básicas y sus símbolos e interpretar distinto tipo de información, ampliando sus conocimientos y resolviendo problemas

Pensamiento numérico = comprensión que tiene una persona sobre los números y las operaciones, así como su habilidad para hacer juicios matemáticos y desarrollar estrategias manejando números y operaciones. Este pensamiento se adquiere gradualmente y usando los números en contextos significativos.

NORMATIVA: Loe-LOMLOE --> Finalidad de la ed. primaria (facilitar a los alumnos...) Objetivos: "desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas..."

+ NORMATIVA

01

el aprendizaje de los números y el cálculo numérico

Niños/as: llegan con variedad de conocimientos numéricos adquiridos (vida cotidiana). Docentes: conocer conceptos previos PARA cuestionar y reformular esas ideas (con estrategias) y proporcionar situaciones (darles significado).

"Número": surge de la necesidad de saber la cantidad de elementos que se poseen, requieren o necesitan = necesidad de contar --> Son la base fundamental de la c. matemática. Alumnos de primaria: usar los números en diferentes contextos. Leer y escribir números exigen la presencia de reglas que transciendan de una imagen mental a una actividad motriz. "Cálculo Numérico" = conjunto de operaciones y procedimientos para operar con números (algoritmos de cálculo).

ETAPA: Aprender distintos algoritmos PARA automatizar las operaciones aritméticas = aprender sus reglas + desarrollar procedimientos de cálculo escrito y mental + estimaciones + calculadora.

El aprendizaje de los números se realiza simultáneamente al de las operaciones

aumentando la dificultad a medida que se incrementa la magnitud de los números

Los números y las operaciones son FUNDAMENTALES:

• Intervienen en actividades como contar, ordenar, medir, numerar u operar.
• Constituyen la base para el resto de conocimientos matemáticos

La noción de la SUMA unida a la de la RESTA, seguidamente la MULTIPLICACIÓN = sumas sucesivas, después DIVISIÓN y porcentajes

Los números fraccionarios como parte de un grupo (actividades manipulativas y visuales). Relacionar el décimo con los números decimales.

CONTENIDOS (D38 o D61)

02

números naturales, enteros, fraccionarios y decimales

2.1 Los números naturales (N)

Aquellos que forman parte del conjunto {1, 2, 3, 4, ...}. Hay autores que también incluyen el 0.

Al conjunto de números naturales se le simboliza con "N" y se representan en una semirrecta situando el 0 (o el 1) en el origen, y a continuación el resto de números (a la misma distancia) siguiendo un orden progresivo hacia la derecha.

"Número natural": responde a cuántos elementos tiene este conjunto. También se puede usar para ordenar dicho conjunto. Podemos hablar de números CARDINALES (uno, dos, tres...) y ORDINALES (primero, segundo, tercero...)

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Operaciones con números NATURALES:

Multiplicación o Producto

ADICIÓN o SUMA

Unir dos conjuntos disjuntos (SUMANDOS) obteniendo un tercero (TOTAL o SUMA)

Suma de sumandos iguales. Los términos se llaman FACTORES y el resultado PRODUCTO.

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RESTA o SUSTRACCIÓN

División

Quitarle una parte (SUSTRAENDO) al total que tenemos inicialmente (MINUENDO) obteniendo como resultado otro número menor (DIFERENCIA)

Repartir un número (Dividendo) entre otro (divisor), obteniendo un número (cociente) que multiplicado por el divisor te dé el Dividendo.

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+ INFO

También verán...

Los números PRIMOS (divisibles unicamente entre ellos mismos y 1) y COMPUESTOS

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Multiplos y divisores (calculando en 6º el m.c.m. y el m.c.d. mediante la DESCOMPOSICIÓN en FACTORES)

2.2 Números enteros (Z)

Aquellos que resultan de restar dos números naturales, pudiendo dar como resultado un número positivo (N) o negativo. Se representan con el símbolo "Z". Incluye números negativos, positivos o naturales y el 0: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Entre ellos se pueden realizar operaciones como...

Alumnos de primaria: Representar gráficamente y ordenar números enteros

...sumas, restas o multiplicaciones, obteniendo como resultado otro número entero.

RECTA NUMÉRICA: El 0 se situa en medio dividiendo la recta; los numeros N se situarán a la derecha y los negativos a la izquierda de forma descendente.

Se puede hallar el VALOR ABSOLUTO de un número entero

...prescindiendo del signo. Este se representa entre dos barras verticales.

"Sera mayor aquel nº situado más a la derecha de la recta"

2.3 Números Fraccionarios o fracciones

Fracción propia e impropia

Equivalencia entre fracciones y números decimales

PROPIA: Numerador + pequeño que denominador. IMPROPIA: Lo contrario. Ej: 7/4

Se definen como el cociente de dos números enteros "a" y "b". Se representa como a/b , donde "b" recibe el nombre de denominador (partes en las que se ha dividido la unidad) y "a" es el numerador (unidades fraccionarias que poseemos).

Conceptos:

Fracciones equivalentes

Ordenación y Representación de fracciones

Dividiendo (simplificación) o multiplicando numerador y denominador por el mismo número.

El conjunto de números fraccionarios (ej: 1/2, 547/922 o 6/5...) junto a los números Z, quedan recogidos en los que denominamos "números racionales" (Q)

Operaciones con fracciones de igual denominador

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2.4 Números Decimales

Son números racionales (Q) para los cuales encontramos una fracción decimal que los represente, por ej: 0,3 = 3/10 Son una forma alternativa de representar las fracciones y surgen al tratar de afinar las medidas reales y disminuir los errores.

En ellos encontramos DOS PARTES separadas por una coma. Lo que se encuentra a la izquierda de la coma es la PARTE ENTERA, y a la derecha la PARTE DECIMAL. Según su formación encontramos números decimales RACIONALES e IRRACIONALES. Los IRRACIONALES son números con infinitas cifras no periódicas que no pueden expresarse como fracciones

los DECIMALES por cursos

En 3º se empezará a introducir a los alumnos/as en los números decimales a través de la moneda y será a partir de 5º y 6º cuando esto se desarrolle más profundamente.

3. Sistemas de Numeración

Conjunto de normas para escribir y expresar cualquier número. A lo largo de la historia han existido numerosos sistemas (maya, egipcio...) y en la actualidad son posicionales (el valor de un dígito depende tanto del símbolo como de la posición que ocupa)

SISTEMA SEXAGESIMAL

SISTEMA DECIMAL

OTROS SISTEMAS

El sistema BINARIO (base 2), OCTAL (base 8) o HEXADECIMAL (16) empleados en las TIC.

El habitual. Se compone de 10 símbolos (dígitos 0-9) a los que se les otorga un valor según de la posición que ocupen (U, D, C...)

Sistema de numeración en base 60. Se aplica a la medida del tiempo y a la amplitud de los ángulos

4. Relación entre los números

Los números surgieron de necesidades sociales. Desde la aparición de los números naturales hasta los fraccionarios o decimales, el campo numérico ha ido ampliándose siguiendo una teoría de conjuntos, es decir, la relación entre los tipos de números consiste en una inclusión sucesiva.

Naturales (N)

Enteros (Z)

Decimales

Racionales (Q)

Reales (R)

Conjunto compuesto por: números racionales (Q) e irracionales (I)

Incluye: Z, números FRACCIONARIOS y parte de los números DECIMALES*

N = {1, 2, 3, 4, ...}.

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Poseen una parte entera y una decimal.

Conjunto más pequeño. Algunos autores incluyen el 0 en este grupo.

Incluye números positivos (o N), negativos y el 0.

Algunos pueden asociarse con una fracción.

(*) Aquellos que pueden expresarse en forma de fracción

Por lo que incluye: N, Z, fraccionarios y decimales

Estas relaciones...

...son leyes que establecen vínculos entre elementos de distintos conjuntos

Las operaciones serán leyes que, aplicadas a dos o más elementos de uno o varios conjuntos dan, como resultado, otro elemento. Es por esto que son útiles los números, ya que se pueden combinar entre si para obtener nuevos números.

5.

operaciones de cálculo y procedimientos del mismo (cálculo escrito, mental, estimación y calculadora)

CALCULO MENTAL: estimaciones y Op. mentales

Cálculo artimético = aplicación de las operaciones aritméticas (mediante su algoritmo u otros procedimientos)

Resolver un problema matemático sin ayuda instrumental. Esto mejora la autonomía para el cálculo aritmético. Las ESTIMACIONES son valoraciones aproximadas sobre el resultado de una operación empleando números sencillos y con rapidez. El valor no será exacto pero si adecuado para TOMAR DECISIONES.

CALCULO ESCRITO

Ligado al concepto de cada operación. Dicho proceso = algoritmo y conviene que sea memorizado. Realización mecánica (siempre de la misma forma, independientemente de la magnitud de los números)

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LA CALCULADORA U OTRO SOPORTE

Aparato o máquina que mediante un procedimiento electrónico realiza el cálculo de operaciones.

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6. Intervención Educativa

En Ed. Primaria se busca alcanzar una alfabetización numérica eficaz: capacidad de enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones.

METODOLÓGICAMENTE: Principios Generales (LOE-LOMLOE)

CONTENIDOS: 6 bloques (D38/D61)

• Aprendizajes significativos y adecuados al nivel (conocimientos previos, intereses y estilos de aprendizaje)
• Enseñanza individualizada (adaptaciones y atención a la diversidad)
• Buen clima, con estímulos y experiencias variadas
• Desarrollar algoritmos de cálculo y aplicarlos en contextos diversos + cálculo mental + estrategias variadas
• Materiales didácticos y recursos manipulativos. Emplear juegos o las TIC (gamificación).

BLOQUE "Sentido Numérico" (M: "Números y Operaciones")

MATERIALES a emplear

Las ACTIVIDADES MANIPULATIVAS son fundamentales para adquirir ciertos conocimientos.

Conclusión

Dentro de los CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS los números y las operaciones son elementales: sirven de base para adquirir otros conocimientos posteriores y facilitan el acceso a conocimientos de otras áreas, respondiendo a las necesidades de los niños (valor funcional)

Las relaciones entre números proporcionan al alumnado experiencias diversas (significados de los números según el contexto)

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Tarea del maestro = partir del conocimiento previo del alumnado, que comprendan el significado de los números y los símbolos (utilizarlos como herramientas en diversas situaciones). + Proporcionarles estrategias, actividades y reflexión.

Bibliografía

Alsina, C. y otros (1995)

Enseñar matemáticas. Graó

Antón, J.L. y otros (1994)

Taller de matemáticas. Narcea

Castro, E. y otros (2001)

Didáctica de las matemáticas en educación primaria. Síntesis

Godino, J.D. (2004)

Didáctica de las matemáticas para maestros. Universidad de Granada

¡TEMA TERMINADO!

¿Otro TEMA?

DIVISIÓN

OPERACIÓN INVERSA AL PRODUCTO

Si al terminar el resto es 0 (no te sobra nada), la división es EXACTA.Si el resto es distinto de 0, se dice que es ENTERA.

PRUEBA de la DIVISIÓN:

divisor x cociente + resto = Dividendo

(*) Reglas de DIVISIBILIDAD:

• DIVISIBLE entre 2: el nº debe ser PAR.
• DIVISIBLE por 3: la suma de sus dígitos es 3 o múltiplo de 3.
• DIVISIBLE por 5: su última cifra es 0 o 5.
• DIVISIBLE entre 10: acaba en 0

VALOR ABSOLUTO

PROPIEDADES de la MULTIPLICACIÓN:

• Propiedad CONMUTATIVA: 3 X 5 = 5 X 3
• Propiedad ASOCIATIVA: (2 X 4 ) X 3 = 2 X (4 X 3)
• Propiedad DISTRIBUTIVA: (2 X 4 ) + (2 X 7 ) = 2 X (4 + 7)

(*) Si aparecen OPERACIONES COMBINADAS

Orden: 1º Paréntesis, 2º potencias y raíces, 3º multiplicaciones y divisiones y 4º sumas y restas

(**) POTENCIACIÓN

Producto de factores iguales. Ej: 5 x 5 x 5 = 53

En sexto harán cálculos con potencias de base 10

Se trabajarán...

las operaciones con números enteros positivos y se introducirá en el uso de los números negativos en contextos reales:

como las medidas de temperatura, sumergirte en el mar o los gastos frente a los ingresos.

No se pueden trabajar las decenas sin haber visto antes las unidades.

Los números negativos se trabajarán desde aspectos funcionales, como la temperatura o bajando pisos hasta el sótano.

CALCULADORA

OTRAS AYUDAS

Un manejo inteligente exige desarrollar técnicas de CÁLCULO MENTAL para anticiparse al resultado y prevenir errores que puedan surgir en el manejo.

• Cuentas con los dedos
• Ábacos
• Ayudas gráficas

MATERIALES

• No estructurados: bolsas, vasos, pelotas, cajas...
• Materiales didácticos adaptados: dominó, folios con áreas incompletas y sombreados, puzzles...
• Ábacos: útiles para trabajar el principio de posición.
• Regletas: varillas de colores que pretenden reproducir nuestro sistema de numeración con su longitud.
• Recursos TIC: PDI (explicaciones), ejercicios en el ordenador, problemas en la Tablet, representaciones gráficas, aula virtual, blogs o sotware específico (genially, kahoot, quizizz)

Al estar ORDENADOS podemos COMPARAR dos números facilmente:

5 es mayor que 3, y 3 es menor que 5.

Estos números son ILIMITADOS (sumando +1 a cualquier número natural obtienes otro)

Contenidos

Bloque "sentido númerico" o "Números y operaciones"

• Tipos de números (naturales, enteros, decimales, fraccionarios...)
• Operaciones con números naturales, fraccionarios y decimales
• Operaciones combinadas
• Cálculo mental
• Resolución de problemas

Nºs Decimales

Pueden incluirse en distintas categorías según su parte decimal (racionales e irracionales)

ESTIMACIÓN

Son procesos para hacer más sencilla una operación. PROCEDIMIENTOS:

• Redondeo: se suprimen cifras de la derecha del número y se sustituyen por ceros siguiendo el criterio: "si la cifra que se suprime es > o = que 5, la de su izquierda aumenta 1 unidad, si es menor, se deja igual."
• Sustitución: sustituir los datos por otros aproximados pero compatibles de modo que la operación resulte más sencilla.

PROPIEDAD fundamental de la RESTA:

Si sumamos o restamos un mismo número al minuendo y al sustraendo, la diferencia no varía

PRUEBA de la RESTA:

Sustraendo + diferencia = minuendo

RD157/22 Decreto61/22 o D38/22

"La competencia matemática se adquiere mediante el dominio combinado del cálculo aritmético, formas geométricas, medida y el uso del razonamiento"

PROPIEDADES de la SUMA:

• Propiedad CONMUTATIVA: "El orden de los sumandos no altera el producto". Ej: 4 + 2 = 2 + 4.
• Propiedad ASOCIATIVA: Al sumar tres o más sumandos, el resultado será el mismo sin importar el orden en el que estos se sumen. Ej: (5 + 1) + 3 = 5 + (1 + 3)

SISTEMA de NUMERACIÓN ROMANA

Es un sistema ADITIVO, pero que sigue ciertas reglas posicionales.