Sistemi di equazioni lineari

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

• Definizione

• Calssificazione dei sistemi in base alla soluzione

• Risoluzione sistema di equazioni lineari

DEFINIZIONE

Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni per le quali si cercano eventuali soluzioni comuni. ESEMPIO:

Un sistema si dice INTERO se tutte le equazioni che lo compongono sono intere. Un sistema si dice FRAZIONARIO se almeno una delle equazioni che lo compongono è un’equazione frazionaria.Il GRADO di un sistema intero è il prodotto dei gradi delle sue equazioni. ESEMPIO

soluzioni di un sistema lineare a due incognite

Un sistema di due equazioni lineari in due incognite è un sistema formato da due equazioni di primo grado nelle stesse due incognite.Un sistema si dice determinato quando ha un numero finito di soluzioni.Un sistema si dice indeterminato quando ha infinite soluzioni. Un sistema si dice impossibile quando non ha soluzioni. Un sistema di due equazioni lineari in due incognite ridotto a forma normale è un sistema del tipo:

Esempio

Esempio

Come risolviamo i sistemi lineari?

In base alle caratteristiche del nostro sistema, potremo scegliere qual è il metodo di risoluzione più adeguato o che, semplicemente, preferiamo applicare. Ci sono 4 metodi per risolvere i sistemi, puoi scegliere tu quale metodo usare. In base alle equazioni del sistema, un metodo può essere più veloce di un altro. Questi metodi sono:

• IL METODO DELLA SOSTITUZIONE

• IL METODO DEL CONFRONTO

• IL METODO DELLA RIDUZIONE

• IL METODO DI CRAMER

METODO DELla sostituzione

Per risolvere un sistema di due equazioni lineari in due incognite occorre: 1. ridurre il sistema in forma normale (applicando i principi di equivalenza delle equazioni) 2. verificare se il sistema è determinato, (in caso affermativo continuare con la risoluzione) 3. ricavare un’incognita da una delle due equazioni 4. sostituire l’espressione dell’incognita trovata nell’altra equazione 5. risolvere l’equazione in un’incognita ottenuta 6. sostituire la soluzione trovata nell’altra equazione per determinare il valore dell’altra incognita 7. scrivere la coppia dei valori soluzione del sistema 8. effettuare la verifica della soluzione (non obbligatoria).

Esempio

METODO DEl confronto

Per risolvere un sistema di due equazioni lineari in due incognite occorre: 1. ridurre il sistema in forma normale (applicando i principi di equivalenza delle equazioni) 2. verificare se il sistema è determinato, (in caso affermativo continuare con la risoluzione) 3. ricavare la stessa incognita da entrambe le equazioni 4. uguagliare le due espressioni delle incognite trovate 5. risolvere l’equazione in un’incognita ottenuta 6. sostituire la soluzione trovata in una delle due equazioni per determinare il valore dell’altra incognita 7. scrivere la coppia dei valori soluzione del sistema 8. effettuare la verifica della soluzione (non obbligatoria).

Esempio

METODO DElLA RIDUZIONE o di addizione e sottrazione

Per risolvere un sistema di due equazioni lineari in due incognite occorre:1. ridurre il sistema in forma normale (applicando i principi di equivalenza delle equazioni) 2. verificare se il sistema è determinato, (in caso affermativo continuare con la risoluzione) 3. moltiplicare la prima equazione per il coefficiente della prima incognita della seconda equazione 4. moltiplicare la seconda equazione per il coefficiente della prima incognita della prima equazione 5. Se i coefficienti della prima incognita, nelle due equazioni, sono uguali si effettua la sottrazione membro a membro. Se invece sono opposti si esegue l’addizione. 6. risolvere la semplice equazione in un’incognita ottenuta 7. sostituire la soluzione trovata nell’altra equazione per determinare il valore dell’altra incognita 8. scrivere la coppia dei valori soluzione del sistema 9. effettuare la verifica della soluzione (non obbligatoria).

Esempio

METODO DI CRAMER

Esempio

ESEMPIO: RISOLUZIONE CON IL METODO DELLA SOSTITUZIONE

Verifichiamo se le soluzioni sono corrette...

ESEMPIO: RISOLUZIONE CON IL METODO DEL CONFRONTO

Verifichiamo se le soluzioni sono corrette...

ESEMPIO: RISOLUZIONE CON IL METODO DELLA RIDUZIONE

Verifichiamo se le soluzioni sono corrette...

ESEMPIO: RISOLUZIONE CON IL METODO DI CRAMER

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