3.1. FUNTZIOEN EZAUGARRIAK, BIGARREN MAILAKO EKUAZIOAK

FUNTZIOEN EZAUGARRIAK 2. MAILAKO EKUAZIOAK

HASI!

Adibidez: gorputzaren tenperatura egunaren orduaren arabera.

y mendeko aldagaia: tenperatura

Zer dira funtzioak?

Gogora ekar dezagun funtzioak zer diren: Bi multzoren arteko erlazioa da, non lehenengo multzoko elementu bakoitzari bigarren multzoko elementu bakarra egokitzen zaion. Lehenengo multzoko elementuak: aldagai askeak (x) Bigarren multzoko elementuak: mendeko aldagaiak (y) Funtzioa adierazteko : y = f(x)

x aldagai askea: ordua

Funtzioak eta ez funtzioak

Gogoratu, funtzioa izateko x bakoitzari y bakarra dagokio. Bi balio dabaude, ez da funtzioa izango.

Ez da funtzioa.

Funtzioa da.

Eremua eta ibilbidea

Ibilbidea: - y mendeko aldagaiak har ditzakeen balioen multzoa. - Hau da, y ardatzan funtzioa non hasi eta non amaitzen den. - I letrarekin adierazten da.

Eremua: - x aldagai askeak har ditzakeen balioen multzoa. - Hau da, x ardatzan funtzioa non hasi eta non amaitzen den. - E letrarekin adierazten da.

Tarteak eremua eta ibilbidea adierazteko

Bi ikur erabiltzen dira: - Parentesia () : zenbakia ez da tartean sartzen. - Kortxetea []: zenbakia tartean sartzen da.

Tartea: hasiera eta amaiera bat duten zenbaki multzoa.Hiru mota daude: irekia, erdirekia eta itxia.

E = [–3, 3] I = [–1, 2]

Gorakortasuna, beherakortasuna

Funtzio baten hazkundea deskribatzeko gorakortasuna eta beherakortasuna erabili dezakegu.

Funtzio bat edo honen tarteak izan daitezke:

• Gorakorra: x handitzean, y ere handitzen bada.

• Beherakorra: x handitzean, y txikitzen bada.

• Konstantea: x handitzean, y ez bada aldatzen.

Hauke tarteekin adierazten dira, parentesiak erabiliz.

Gorakorra: (-3,-1)U(1.75,3) Beherakorra: (-1,1.75)

Mutur erlatiboak

Mutur erlatiboak: hazkundearen aldaketa adierazten duten puntuak

Bi motatakoak izan daitezke:

• Minimo erlatiboa m: funtzioa beherakor izatetik gorakor izatera pasatzen da.

• Maximo erlatiboa M: funtzioa gorakor izatetik beherakor izatera pasatzen da.

Puntuak direnez, M (a, b) erako adierazpena dute, non

• a: puntuaren x koordenatua den.
• b: puntuaren y koordenatua den.

Maximo erlatiboa: M(-1,-2) minimo erlatiboa: m(1.75,-1)

5. Jarduera.

ADIBIDEA

Adierazi zein diren honako funtzio hauen eremuak, ibilbideak, mutur erlatiboak, gorakortasuna eta beherakortasuna.

5. Jarduera.

Adierazi zein diren honako funtzio hauen eremuak, ibilbideak, mutur erlatiboak, gorakortasuna eta beherakortasuna.

Funtzioen jarraitasuna

Funtzio bat jarraitua da baldin eta haren grafikoa eskua paperetik altxatu gabe irudika badaiteke.

Hori gertatzen ez denean, esaten da funtzioa etena dela.

Aldagai askearen zer baliorentzat den jarraitua edo etena esaten da.

Funtzioa etena da x = –1 eta x = 1 puntuetan.

Funtzioak etena da x = 1 puntuan.

Funtzioa jarraitua da eremu osoan

6. Jarduera.

Adierazi zein den honako funtzio hauen jarraitasuna.

Simetria

Ordenatu-ardatzarekiko simetria (OY-rekiko simetria)

Ordenatu ardatzetik tolestuz funtzioaren bi erdiak elkarren gainean geratzen badira, esaten da funtzioa OY ardatzarekiko simetrikoa dela

Simetria

Kkoordenatu-jatorriarekiko simetria (O (0, 0) puntuarekiko simetria).

Grafikoa ordenatuen ardatzetik tolestu eta ondoren absiza ardatzetik tolestuz gero, grafikoaren bi erdiak elkarren gainean geratzen dira. O(0,0) puntutik igarotzen dira.

7. Jarduera

Esan zer simetria agertzen den honako funtzio hauetan.

9. Jarduera

Deskriba itzazu honako funtzio hauek, haien ezaugarriak aintzat hartuz: eremua eta ibilbidea, hazkundea, mutur erlatiboak, jarraitutasuna eta simetria. Bete ezazu honako taula:

TaULA

Parabolaren ezaugarriak

Parabolak honako sei ezaugarriekin definituko ditugu:

E = (- ∞,∞)=R

1. EREMUA 2. IBILBIDEA 3. HAZKUNDEA 4. MUTUR ERLATIBOAK 5. JARRAITASUNA 6. SIMETRIA

I= muturraren araberakoa (-∞, y) edo (y, ∞)

Gorakorra tarte bat eta beherakorra beste tartea

Maximoa M edo minimoa m. Erpina deitzen zaio.

Beti jarraia da.

Simetria ardatza x = n zenbaki batean izango da.

ADIBIDEA 2

ADIBIDEA 1

10. Jarduera

Aztertu parabiola hauen eremua, ibilbidea, hazkundea, mutur erlatiboak, jarraitutasuna eta simetria-ardatza. Bete ezazu honako taula:

TaULA

Zer dira bigarren mailako ekuazioak?

Gogoraten baduzue, maila aldagaiak duen berreketarekin lotuta dago. Beraz, bigarren mailako ekuazio batean aldagaiak bi berretzaile izan ditzake: 1 eta 2. 3x2 - 2x = 10 Baliteke lehen mailako mononioa ez agertzea: 2x2 - 18 = 0 Bi metodo daude:

2. mailako ekuazioen ebazpena

3. Kontuan izan bi emaitza egongo direla.

1. Lehendabizi, forma orkorrean idatzi behar dugu ekuazioa. Honetarako, behar diren eragiketak eta propietateak erabili.

2. a, b eta c koefizienteen balioak bereizi, eta honako adierazpenean ordezkatu.

a = 1, b = –4 eta c = 3

x1 = 1 x2 = 3

Kasu bereziak

ax2 = 0 erakoak. Hauen soluzioa x = 0 da beti.

Kasu bereziak

ax2 +c = 0 erakoak. Bi aukera daude: bi soluzioa izatea, edo soluzio errealik ez izatea.

Kasu bereziak

ax2 + bx = 0 erakoak. Bi soluzioa dituzte, bat beti x = 0 izanik.

x biderkagai komuna atera:

Bi biderkagaiak 0rekin berdindu:

Bigarren biderkagaietik x askatu:

24 J.

1. Identifika itzazu a, b eta c koefizienteak bigarren mailako honako ekuazio hauetan:

2. Lotu ekuazioak eta soluzioak, ekuazioa ebatzi gabe:

24 J.

Ebatzi bigarren mailako honako ekuazio hauek.

24 J.

Gogoratu

Ebatzi bigarren mailako honako ekuazio hauek.

Identitate nabarmenak

Kasu posibleak

Gehi-gehi

5 + 2 · (x + 3) = 5 + 2x + 6

Ken-gehi

5 – 2 · (x + 3) = 5 – 2x – 6

Ken-ken

5 – 2 · (x - 3) = 5 – 2x + 6

Irudiko puntu beteek eta hutsek irudiarekin erlazionatutako esanahi zehatza dute. Puntu beteak adierazten du x = 1-en irudia 2 dela eta ez 1.

Kasu posibleak

Gehi-gehi

5 + 2 · (x + 3) = 5 + 2x + 6

Ken-gehi

5 – 2 · (x + 3) = 5 – 2x – 6

Ken-ken

5 – 2 · (x - 3) = 5 – 2x + 6