LA MATEMATICA DELL'OROLOGIO
INDICE
DI COSA SI TRATTA?
1.
LE CLASSI DI RESTO
2.
CRITERI DI DIVISIBILITA
3.
COLLEGAMENTO CON I NUMERI PRIMI
4.
APPLICAZIONE NELLA VITA REALE
5.
DI COSA SI TRATTA?
Per spiegarla bisogna partire dall'aritmetica ordinaria, di cui sappiamo che opera su insiemi infiniti di numeri: l’insieme dei numeri naturali e quello dei numeri interi.Nella realtà, però, si ha spesso a che fare con situazioni nelle quali i numeri possibili sono finiti; ad esempio l'orologio ha solo 12 o 24 ore. E' per questi casi che nasce l'aritmetica finita, con la quale si opera su un insieme limitato di numeri interi. Questa si chiama anche aritmetica modulare o circolare, in quanto una volta raggiunto l'ultimo numero si ricomincia dal primo; è stata introdotta da Carl Friedrich Gauss nel 1801. Consideriamo, nuovamente, l’insieme delle ore di un orologio analogico. Queste sono 12 (modulo) e vanno da 0 a 11, ciò vuol dire che, oltrepassato il modulo, il conto si azzera e ricomincia da capo. Per esempio, le 4 corrispondono anche alle 16 del pomeriggio, poichè 16-4 equivale a 12; in gergo matematico si dice che “16 è congruo a 4 modulo 12” . Due numeri a ,b € Z sono congrui modulo n se e solo se (a - b) è un multiplo di n.
LE CLASSI DI RESTO
[0] [1]…[n−1]
Quando si parla di classe di resto, si considera un insieme di quei numeri interi che danno lo stesso resto se divisi per uno stesso intero. Ad esempio {..., -7, -5, -3, 1, 3, 5, 7,...} formano una classe di resto perchè divisi per 2 danno lo stesso resto. Possiamo considerare l'aritmetica dell'orologio valida anche per queste.
- Il modulo equivale a 5
- Per ogni riga si aggiunge e toglie 5, partendo ogni volta da un numero diverso, ma in particolare dal successivo a quello utilizzato nella riga precedente
- Le righe saranno 4, poichè per la quinta i valori risulterebbero uguali a quelli della prima
- E' in questo che ricorre l'aritmetica dell'orologio, proprio perchè aggiungere righe significherebbe ripetere continuamente sempre le prime 4.
Per essere divisibile per 2: - 10 è congruo a 0 anche con modulo di base 2 (perché 10 e 0 divisi per 2 fanno entrambi il resto 0 che è lo stesso). - allora anche qui il numero generico sostituendo 10 con 0 diventa solo “a0”. - visto che le unità multiple di 2 sono tutte pari (0,2,4,6,8) allora per essere un multiplo di 2 l’ultima cifra deve essere pari. Per essere divisibile per 3: - 10 è congruo a 1 con il modulo di base 3 (perché 10 diviso 3 ha resto 1). - così, nel numero generico, si possono sostituire i 10 per degli 1, così però l'espansione generica del numero diventa solamente la somma delle sue cifre. - allora per essere uguale a 0 con il modulo di base 3, la somma delle cifre deve essere divisibile per 3. - alla fine arriviamo alla conclusione quindi che un numero è divisibile per 3 solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 3 (lo stesso ragionamento si applica anche per la divisibilità per 9).
CRITERI DI DIVISIBILITA
Qualsiasi numero può essere scomposto in: *dove ogni “a” rappresenta delle unità, decine, centinaia… Per essere divisibile per 10: - se “n” è divisibile per 10 allora il numero “n” è pari a 0 con un modulo di base 10. - tra l'altro con modulo a base 10, 10 e 0 sono congrui (perché entrambi diviso 10 hanno resto 0), perciò nel numero generico riusciamo a sostituire 10 con 0, ottenendo così solo “a0” che sono le unità. - allora le unità devono prendere un valore tale che anch'esse siano divisibili per 10 con resto 0. - così, visto che l’unico multiplo di 10 compreso tra 0 e 9 è 0 allora per essere un multiplo di 10 il numero deve terminare per 0.
COLLEGAMENTO CON I NUMERI PRIMI
Pierre di Fermat nel XVII secolo trovo una proprietà inaspettata: per un orologio con un numero primo di ore “p”, se si posiziona la lancetta su un valore “x” allora dopo un numero di passi determinato da x^p, la lancetta sempre tornerà al valore “x”. Leonardo Eulero nel XVIII secolo generalizzo la proprietà di Fermat. Lui considero il numero di ore dell'orologio (n) come il prodotto tra “p” e “q”, due numeri primi qualsiasi, così con la lancetta sul valore x, dopo un numero di passi determinati da x^(p-1)(q-1)+1, la lancetta sempre tornerà al valore “x”.
APPLICAZIONE NELLA VITA REALE
2. Si costruiscono i numeri di codifica e decodifica. Viene calcolato il primo numero E (che non ha divisori in comune con b) e servirà per la codifica. Poi viene calcolato quel numero D che moltiplicato per E e diviso per b dà resto 1. D servirà poi per la decodifica.
1. Vengono scelti due numeri primi molto grandi: p e q che vengono tenuti segreti nonostante il loro prodotto N non lo sia. Per tener segreto il tutto si utilizza oltre che alla matematica dell'orologio anche il teorema di Eulero: b=(p-1)(q-1)
La crittografia
Insieme di tecniche che permettono di trasmette messaggi mantenendoli segreti a tutti, tranne alle persone che hanno la "chiave" per capirli.
3. Per la codifica viene preso il numero della carta di credito m, che poi verrà trasformato in m elevato a E e il risultato si chiamerà C. Fatto questo poi si farà la divisione C:N la quale presenterà il resto nel risultato, il quale sarà un numero in codice che corrisponderà ad un altro numero.
4. Per la decodifica viene calcolato il numero C elevato a D con cui si potrà fare la divisione con N la quale presenterà anche lei il resto che corrisponderà a m.
SITOGRAFIA
- https://www.mat.uniroma1.it/sites/default/files/PASCAL-AritmeticaModulareCrittografia.pdf MATEMATICA DELL'OROLOGIO
- https://www.crocealeramo.edu.it/images/pdf/MATEMATICA%20E%20CRITTOGRAFIA.pdf MATEMATICA DELL'OROLOGIO
- https://www.andreaminini.org/matematica/aritmetica-modulare/#:~:text=E'%20detta%20anche%20aritmetica%20dell,aritmetica%20modulare%20ripartono%20da%20capo. MATEMATICA DELL'OROLOGIO
- https://www.matematicamente.it/staticfiles/approfondimenti/approfondimenti/Calconi-classi_resto_1.pdf CLASSI DI RESTO
- https://meinfach.altervista.org/le-classi-di-resto-modulo-n/ CLASSI DI RESTO
- https://otrediklein.wordpress.com/2013/06/25/la-matematica-dell-orologio/ CRITERI DI DIVISIBILITA
FINE
- Lavoro di Alessia De Angelis, Matteo Givone, Gianluca Romeo Fujimoto
La matematica dell'orologio
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Created on March 2, 2024
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LA MATEMATICA DELL'OROLOGIO
INDICE
DI COSA SI TRATTA?
1.
LE CLASSI DI RESTO
2.
CRITERI DI DIVISIBILITA
3.
COLLEGAMENTO CON I NUMERI PRIMI
4.
APPLICAZIONE NELLA VITA REALE
5.
DI COSA SI TRATTA?
Per spiegarla bisogna partire dall'aritmetica ordinaria, di cui sappiamo che opera su insiemi infiniti di numeri: l’insieme dei numeri naturali e quello dei numeri interi.Nella realtà, però, si ha spesso a che fare con situazioni nelle quali i numeri possibili sono finiti; ad esempio l'orologio ha solo 12 o 24 ore. E' per questi casi che nasce l'aritmetica finita, con la quale si opera su un insieme limitato di numeri interi. Questa si chiama anche aritmetica modulare o circolare, in quanto una volta raggiunto l'ultimo numero si ricomincia dal primo; è stata introdotta da Carl Friedrich Gauss nel 1801. Consideriamo, nuovamente, l’insieme delle ore di un orologio analogico. Queste sono 12 (modulo) e vanno da 0 a 11, ciò vuol dire che, oltrepassato il modulo, il conto si azzera e ricomincia da capo. Per esempio, le 4 corrispondono anche alle 16 del pomeriggio, poichè 16-4 equivale a 12; in gergo matematico si dice che “16 è congruo a 4 modulo 12” . Due numeri a ,b € Z sono congrui modulo n se e solo se (a - b) è un multiplo di n.
LE CLASSI DI RESTO
[0] [1]…[n−1]
Quando si parla di classe di resto, si considera un insieme di quei numeri interi che danno lo stesso resto se divisi per uno stesso intero. Ad esempio {..., -7, -5, -3, 1, 3, 5, 7,...} formano una classe di resto perchè divisi per 2 danno lo stesso resto. Possiamo considerare l'aritmetica dell'orologio valida anche per queste.
Per essere divisibile per 2: - 10 è congruo a 0 anche con modulo di base 2 (perché 10 e 0 divisi per 2 fanno entrambi il resto 0 che è lo stesso). - allora anche qui il numero generico sostituendo 10 con 0 diventa solo “a0”. - visto che le unità multiple di 2 sono tutte pari (0,2,4,6,8) allora per essere un multiplo di 2 l’ultima cifra deve essere pari. Per essere divisibile per 3: - 10 è congruo a 1 con il modulo di base 3 (perché 10 diviso 3 ha resto 1). - così, nel numero generico, si possono sostituire i 10 per degli 1, così però l'espansione generica del numero diventa solamente la somma delle sue cifre. - allora per essere uguale a 0 con il modulo di base 3, la somma delle cifre deve essere divisibile per 3. - alla fine arriviamo alla conclusione quindi che un numero è divisibile per 3 solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 3 (lo stesso ragionamento si applica anche per la divisibilità per 9).
CRITERI DI DIVISIBILITA
Qualsiasi numero può essere scomposto in: *dove ogni “a” rappresenta delle unità, decine, centinaia… Per essere divisibile per 10: - se “n” è divisibile per 10 allora il numero “n” è pari a 0 con un modulo di base 10. - tra l'altro con modulo a base 10, 10 e 0 sono congrui (perché entrambi diviso 10 hanno resto 0), perciò nel numero generico riusciamo a sostituire 10 con 0, ottenendo così solo “a0” che sono le unità. - allora le unità devono prendere un valore tale che anch'esse siano divisibili per 10 con resto 0. - così, visto che l’unico multiplo di 10 compreso tra 0 e 9 è 0 allora per essere un multiplo di 10 il numero deve terminare per 0.
COLLEGAMENTO CON I NUMERI PRIMI
Pierre di Fermat nel XVII secolo trovo una proprietà inaspettata: per un orologio con un numero primo di ore “p”, se si posiziona la lancetta su un valore “x” allora dopo un numero di passi determinato da x^p, la lancetta sempre tornerà al valore “x”. Leonardo Eulero nel XVIII secolo generalizzo la proprietà di Fermat. Lui considero il numero di ore dell'orologio (n) come il prodotto tra “p” e “q”, due numeri primi qualsiasi, così con la lancetta sul valore x, dopo un numero di passi determinati da x^(p-1)(q-1)+1, la lancetta sempre tornerà al valore “x”.
APPLICAZIONE NELLA VITA REALE
2. Si costruiscono i numeri di codifica e decodifica. Viene calcolato il primo numero E (che non ha divisori in comune con b) e servirà per la codifica. Poi viene calcolato quel numero D che moltiplicato per E e diviso per b dà resto 1. D servirà poi per la decodifica.
1. Vengono scelti due numeri primi molto grandi: p e q che vengono tenuti segreti nonostante il loro prodotto N non lo sia. Per tener segreto il tutto si utilizza oltre che alla matematica dell'orologio anche il teorema di Eulero: b=(p-1)(q-1)
La crittografia
Insieme di tecniche che permettono di trasmette messaggi mantenendoli segreti a tutti, tranne alle persone che hanno la "chiave" per capirli.
3. Per la codifica viene preso il numero della carta di credito m, che poi verrà trasformato in m elevato a E e il risultato si chiamerà C. Fatto questo poi si farà la divisione C:N la quale presenterà il resto nel risultato, il quale sarà un numero in codice che corrisponderà ad un altro numero.
4. Per la decodifica viene calcolato il numero C elevato a D con cui si potrà fare la divisione con N la quale presenterà anche lei il resto che corrisponderà a m.
SITOGRAFIA
FINE
- Lavoro di Alessia De Angelis, Matteo Givone, Gianluca Romeo Fujimoto