Funções de Crescimento
Prof. Patrícia Canha
Trabalho de Pesquisa
MATE MÁTICA
Inês Esteveves nº14
Ano Letivo 2023/2024
Indíce
Introdução
Noção de um logaritmo de um número
Modelação Matemática
Função Logaritmo
Função Exponencial
Propriedades analíticas e gráficas da Função Exponencial
Propriedades analíticas e gráficas da Função Exponencial
10
Exercicios
Regras Operatórias das Potências
11
Conclusão
Equações Exponenciais
Introdução
Quais são os objetivos?
Introdução
Quais são os objetivos?
Este trabalho foi proposto e realizado no âmbito da disciplina de Mátemática no Módulo "Funções de Crescimento" e tem como objetivo desenvolver e aplicar os conteúdos dados durante as aulas.
Serão apresentados vários tópicos falados durante a aula e 4 exercicos onde irei desenvolver os meus conhecimentos de factos, conceitos e procedimentos sobre a matéria.
ATENÇÃO!
Ao decorrer da apresentação é possível encontrar este icon Ao passar o cursor por cima do mesmo é possível encontrar informações sobre o assuntro onde este foi inserido! Teste! Aqui primeiro
Modelação Matemática
Modelação Matemática
A expressão abaixo é um limite fundamental da matemática que converge para um número especial chamado Euler, denotado por "e". Este número é aproximadamente igual a 2,71828 e é fundamental em várias áreas da matemática e da ciência. O limite em questão é:
À medida que n tende ao infinito, essa expressão se aproxima de e.
Modelação Matemática - História
O número de Neper, denotado por "e", é um número irracional aproximadamente igual a 2.71828. Descoberto pelo matemático Leonhard Euler no século XVIII, o número de Neper é fundamental em diversas áreas da matemática, ciências naturais e engenharia.
John Napier também fez contribuições significativas para o desenvolvimento dos logaritmos, embora sua obra não tenha abordado especificamente o número "e" da mesma maneira que Euler o fez.
Jhon Nepier
Leonhard Euler
Função Exponencial
Função Exponencial
Mas existem que tipos de funções exponenciais?
A função exponencial é uma função matemática que segue a forma geral f(x) = a x bx onde a e b são constantes e b é um numero real positivo diferente de 1.
Função Exponencial
Crescente
O gráfico da função f(x) = ax é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.
Função Exponencial
Decrescente
Uma função exponencial é considerada decrescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui. Isso ocorre quando a base é um número entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1.
Função Exponencial
Decrescente
Uma função exponencial é considerada decrescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui. Isso ocorre quando a base é um número entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1.
Função Exponencial
E as Assíntotas Horizontais
Denomina-se o eixo dos x como “assíntotas horizontais”. Reta assíntota é uma reta em que a distância de um ponto tende para zero em direção do infinito
Propriedades analíticas e gráficas da Função Exponencial
Propriedades analíticas da Função Exponencial
A função exponencial f(x)=a⋅b
x
possui várias propriedades analíticas importantes, das quais se destacam 5 principais:
Dominio e Imagem
Comportamento Limite
Assíntotas
Monotonicidade
Pontos Importante
Propriedades analíticas da Função Exponencial
Dominio e Imagem
O domínio da função exponencial é R, o conjunto de todos os números reais. A imagem da função exponencial depende dos valores de a e b.Se a > 0, a função exponencial é sempre positiva para todos os valores de x. Se b > 1, a função cresce rapidamente à medida que x aumenta, estendendo-se até o infinito positivo (
+
∞ ). Se
0 < b <1, a função decresce rapidamente à medida que x aumenta, aproximando-se de zero, mas nunca alcançando zero. Nesse caso, a imagem está contida no intervalo (0,a).
Propriedades analíticas da Função Exponencial
Comportamento Limite
À medida que x se aproxima de
−
∞ , a função exponencial aproxima-se de zero se 0 < b <1 e se aproxima do infinito se b>1. À medida que x se aproxima de +∞, a função exponencial se aproxima do infinito se 0<b<1 e se aproxima de zero se b>1.
Assíntotas
A função exponencial não possui assíntotas verticais.Se uma constante for adicionada ou subtraída, pode haver uma assíntota horizontal.
Propriedades analíticas da Função Exponencial
Monotonicidade
A função é crescente se b >1 e decrescente se 0<b<1.
Pontos Importantes:
A função passa por pontos específicos, como (0,a), e o ponto (1,a⋅b) se b>1 ou (1,
b
a
) se 0<b<1.
Propriedades gráficas da Função Exponencial
A função exponencial f(x)=a⋅b
x
possui várias propriedades gráficas importantes, das quais se destacam 6 principais:
Curva Exponencial
Ponto de Intersação com o Eixo y
Assíntota Horizontal
Comportamento Assintótico
Influencia dos parametros a e b
Simetria
Propriedades gráficas da Função Exponencial
Ponto de Intersação com o Eixo y
Curva Exponencial
A função intercepta o eixo y em y = a (o valor de a na equação da função)
A curva de uma função exponencial crescente (b > 1) é acrescente e aproxima-se do eixo x, mas nunca o toca
A curva de uma função exponencial decrescente (0 <b < 1) é decrescente e aproxima-se do eixo x á medida que x aumenta
Assíntota Horizontal
A linha y = 0 é uma assíntota horizontal para funções exponenciais crescentes.
A linha y = 0 é uma assíntota horizontal para funções exponenciais decrescentes.
Propriedades gráficas da Função Exponencial
Comportamento Assintótico
A curva aproxima-se da assíntota, mas nunca a toca.
Simetria
Influencia dos parametros a e b
A função exponencial não possui simetria de eixo.
O parametro a influencia a posição vertical da curva e o parametro b influencia a inclinação da curva e o seu crescimento ou decrescimento.
Regras Operatórias das Potências
Regras Operatórias das Potências
As regras operatórias das potências são um conjunto de regras que facilitam e simplificam a manipulação de expressões envolvendo potências
Potência de uma Potência
Quociente de Potências de mesma Base
Produto de Potências de mesma Base
Potência de um Quociente
Potência de Expoente 0
Potência de um Produto
Potência de base 0
Potência de Base 1
Potência de Expoente 1
Equações Exponenciais
Equações Exponenciais
Uma equação exponencial é uma equação em que a incógnita aparece em forma de expoente. Geralmente, as equações exponenciais são dadas como : ax = b Onde a e b são números reais positivos e a≠ 1. Para resolver equações exponenciais usamos propriedades de logaritmos ou propriedades de expoentes.
Equações Exponenciais
Propriedade dos logaritmos
Na equação do tipo ax = b, é possível usar logaritmos para resolver. Tomando o logaritmo dos dois lados da equação obtemos:
Onde loga é o logaritmo na base de a.
Propriedade dos expoêntes
Se as bases de ambos os lados da equação forem iguais, podemos igual os expoentes.
Isso é util quando reescrevemos a expressão com as mesmas bases
Equações Exponenciais
Mudança de Base
Se não conseguir resolver diretamente com logaritmos na base da equação, pode-se usar a mudança de base dos logaritmos. Para uma base c qualquer, a mudança de base diz-se:
Usamos quando precisamos resolver uma equação exponencial com logaritmos comuns.
Noção de um logaritmo de um número
Noção de um logaritmo de um número
O logaritmo de um número é o inverso da operação de exponenciação. Por exemplo:
Se bx = y então o logaritmo de y na base de b, denotado como logb (y), é igual a x, logo:
Propriedades analíticas e gráficas da função logaritmo
Propriedades analíticas e gráficas da função logaritmo
A função lagoritmo apresenta algumas proprieadades tanto a nível analitico como gráficas. Analiticamente apresenta as proprieadades de:
Potência de base 0
Propriedade da Mudança de Base
Logaritmo 1
Logaritmo de 0
Propriedades analíticas e gráficas da função logaritmo
A função lagoritmo apresenta algumas proprieadades tanto a nível analitico como gráficas. Gráficamente as apresenta proprieadades de:
Intercepto
Assíntotas Verticais e Horizontais
Domínio e Imagem
Reflexão no Eixo
Gráfico típico
Comportamento em x -> +∞ e x -> 0+
Exercícios
Exercicio 1
Exercicio 1- Resolução
Exercicio 1- Resolução
Exercicio 1- Resolução
10
Conclusão
Conclusão
Após concluir o trabalho, aprendi por meio da pesquisa os tópicos e objetivos abordados no módulo que não foram consolidados devido à minha falta de estudo. Isso ensinou-me a importância de dedicar mais tempo e esforço não só durante as aulas mas no reforço do estudo em casa.
Na elaboração do trabalho de pesquisa senti mais dificuldade na organização de dados também devido á data do tempo limite da entrega do mesmo, e na seleção dos exercicios e execussão dos exercicios apresnetados.
Conclusão
Após um momento de auto reflexão determino que a minha auto avaliação para o trabalho de pesquisa equivale a 17 valores. Pois não me senti 100% satisfeita com o produto final devido á falta de tempo.
Sinto que deva melhorar e prestar mais atenção durante as aulas e desenvolver autonomia na realização das tarefas porpostas.
Webgrafia
https://chat.openai.com/
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/funcao-exponencial.html
https://www.infopedia.pt/artigos/$assintota-horizontal
http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/exponencial/fexponencial.htm
https://www.infoescola.com/matematica/logaritmo/
https://pt-pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://araquelexplica-te.pt/regras-das-potencias/
https://pt.slideshare.net/aldaalves/operaes-com-potncias-parte-i-8787844
Funções de Crescimento
Inês Esteves
Created on February 26, 2024
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Funções de Crescimento
Prof. Patrícia Canha
Trabalho de Pesquisa
MATE MÁTICA
Inês Esteveves nº14
Ano Letivo 2023/2024
Indíce
Introdução
Noção de um logaritmo de um número
Modelação Matemática
Função Logaritmo
Função Exponencial
Propriedades analíticas e gráficas da Função Exponencial
Propriedades analíticas e gráficas da Função Exponencial
10
Exercicios
Regras Operatórias das Potências
11
Conclusão
Equações Exponenciais
Introdução
Quais são os objetivos?
Introdução
Quais são os objetivos?
Este trabalho foi proposto e realizado no âmbito da disciplina de Mátemática no Módulo "Funções de Crescimento" e tem como objetivo desenvolver e aplicar os conteúdos dados durante as aulas.
Serão apresentados vários tópicos falados durante a aula e 4 exercicos onde irei desenvolver os meus conhecimentos de factos, conceitos e procedimentos sobre a matéria.
ATENÇÃO!
Ao decorrer da apresentação é possível encontrar este icon Ao passar o cursor por cima do mesmo é possível encontrar informações sobre o assuntro onde este foi inserido! Teste! Aqui primeiro
Modelação Matemática
Modelação Matemática
A expressão abaixo é um limite fundamental da matemática que converge para um número especial chamado Euler, denotado por "e". Este número é aproximadamente igual a 2,71828 e é fundamental em várias áreas da matemática e da ciência. O limite em questão é:
À medida que n tende ao infinito, essa expressão se aproxima de e.
Modelação Matemática - História
O número de Neper, denotado por "e", é um número irracional aproximadamente igual a 2.71828. Descoberto pelo matemático Leonhard Euler no século XVIII, o número de Neper é fundamental em diversas áreas da matemática, ciências naturais e engenharia.
John Napier também fez contribuições significativas para o desenvolvimento dos logaritmos, embora sua obra não tenha abordado especificamente o número "e" da mesma maneira que Euler o fez.
Jhon Nepier
Leonhard Euler
Função Exponencial
Função Exponencial
Mas existem que tipos de funções exponenciais?
A função exponencial é uma função matemática que segue a forma geral f(x) = a x bx onde a e b são constantes e b é um numero real positivo diferente de 1.
Função Exponencial
Crescente
O gráfico da função f(x) = ax é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.
Função Exponencial
Decrescente
Uma função exponencial é considerada decrescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui. Isso ocorre quando a base é um número entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1.
Função Exponencial
Decrescente
Uma função exponencial é considerada decrescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui. Isso ocorre quando a base é um número entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1.
Função Exponencial
E as Assíntotas Horizontais
Denomina-se o eixo dos x como “assíntotas horizontais”. Reta assíntota é uma reta em que a distância de um ponto tende para zero em direção do infinito
Propriedades analíticas e gráficas da Função Exponencial
Propriedades analíticas da Função Exponencial
A função exponencial f(x)=a⋅b x possui várias propriedades analíticas importantes, das quais se destacam 5 principais:
Dominio e Imagem
Comportamento Limite
Assíntotas
Monotonicidade
Pontos Importante
Propriedades analíticas da Função Exponencial
Dominio e Imagem
O domínio da função exponencial é R, o conjunto de todos os números reais. A imagem da função exponencial depende dos valores de a e b.Se a > 0, a função exponencial é sempre positiva para todos os valores de x. Se b > 1, a função cresce rapidamente à medida que x aumenta, estendendo-se até o infinito positivo ( + ∞ ). Se 0 < b <1, a função decresce rapidamente à medida que x aumenta, aproximando-se de zero, mas nunca alcançando zero. Nesse caso, a imagem está contida no intervalo (0,a).
Propriedades analíticas da Função Exponencial
Comportamento Limite
À medida que x se aproxima de − ∞ , a função exponencial aproxima-se de zero se 0 < b <1 e se aproxima do infinito se b>1. À medida que x se aproxima de +∞, a função exponencial se aproxima do infinito se 0<b<1 e se aproxima de zero se b>1.
Assíntotas
A função exponencial não possui assíntotas verticais.Se uma constante for adicionada ou subtraída, pode haver uma assíntota horizontal.
Propriedades analíticas da Função Exponencial
Monotonicidade
A função é crescente se b >1 e decrescente se 0<b<1.
Pontos Importantes:
A função passa por pontos específicos, como (0,a), e o ponto (1,a⋅b) se b>1 ou (1, b a ) se 0<b<1.
Propriedades gráficas da Função Exponencial
A função exponencial f(x)=a⋅b x possui várias propriedades gráficas importantes, das quais se destacam 6 principais:
Curva Exponencial
Ponto de Intersação com o Eixo y
Assíntota Horizontal
Comportamento Assintótico
Influencia dos parametros a e b
Simetria
Propriedades gráficas da Função Exponencial
Ponto de Intersação com o Eixo y
Curva Exponencial
A função intercepta o eixo y em y = a (o valor de a na equação da função)
A curva de uma função exponencial crescente (b > 1) é acrescente e aproxima-se do eixo x, mas nunca o toca A curva de uma função exponencial decrescente (0 <b < 1) é decrescente e aproxima-se do eixo x á medida que x aumenta
Assíntota Horizontal
A linha y = 0 é uma assíntota horizontal para funções exponenciais crescentes. A linha y = 0 é uma assíntota horizontal para funções exponenciais decrescentes.
Propriedades gráficas da Função Exponencial
Comportamento Assintótico
A curva aproxima-se da assíntota, mas nunca a toca.
Simetria
Influencia dos parametros a e b
A função exponencial não possui simetria de eixo.
O parametro a influencia a posição vertical da curva e o parametro b influencia a inclinação da curva e o seu crescimento ou decrescimento.
Regras Operatórias das Potências
Regras Operatórias das Potências
As regras operatórias das potências são um conjunto de regras que facilitam e simplificam a manipulação de expressões envolvendo potências
Potência de uma Potência
Quociente de Potências de mesma Base
Produto de Potências de mesma Base
Potência de um Quociente
Potência de Expoente 0
Potência de um Produto
Potência de base 0
Potência de Base 1
Potência de Expoente 1
Equações Exponenciais
Equações Exponenciais
Uma equação exponencial é uma equação em que a incógnita aparece em forma de expoente. Geralmente, as equações exponenciais são dadas como : ax = b Onde a e b são números reais positivos e a≠ 1. Para resolver equações exponenciais usamos propriedades de logaritmos ou propriedades de expoentes.
Equações Exponenciais
Propriedade dos logaritmos
Na equação do tipo ax = b, é possível usar logaritmos para resolver. Tomando o logaritmo dos dois lados da equação obtemos:
Onde loga é o logaritmo na base de a.
Propriedade dos expoêntes
Se as bases de ambos os lados da equação forem iguais, podemos igual os expoentes.
Isso é util quando reescrevemos a expressão com as mesmas bases
Equações Exponenciais
Mudança de Base
Se não conseguir resolver diretamente com logaritmos na base da equação, pode-se usar a mudança de base dos logaritmos. Para uma base c qualquer, a mudança de base diz-se:
Usamos quando precisamos resolver uma equação exponencial com logaritmos comuns.
Noção de um logaritmo de um número
Noção de um logaritmo de um número
O logaritmo de um número é o inverso da operação de exponenciação. Por exemplo:
Se bx = y então o logaritmo de y na base de b, denotado como logb (y), é igual a x, logo:
Propriedades analíticas e gráficas da função logaritmo
Propriedades analíticas e gráficas da função logaritmo
A função lagoritmo apresenta algumas proprieadades tanto a nível analitico como gráficas. Analiticamente apresenta as proprieadades de:
Potência de base 0
Propriedade da Mudança de Base
Logaritmo 1
Logaritmo de 0
Propriedades analíticas e gráficas da função logaritmo
A função lagoritmo apresenta algumas proprieadades tanto a nível analitico como gráficas. Gráficamente as apresenta proprieadades de:
Intercepto
Assíntotas Verticais e Horizontais
Domínio e Imagem
Reflexão no Eixo
Gráfico típico
Comportamento em x -> +∞ e x -> 0+
Exercícios
Exercicio 1
Exercicio 1- Resolução
Exercicio 1- Resolução
Exercicio 1- Resolução
10
Conclusão
Conclusão
Após concluir o trabalho, aprendi por meio da pesquisa os tópicos e objetivos abordados no módulo que não foram consolidados devido à minha falta de estudo. Isso ensinou-me a importância de dedicar mais tempo e esforço não só durante as aulas mas no reforço do estudo em casa.
Na elaboração do trabalho de pesquisa senti mais dificuldade na organização de dados também devido á data do tempo limite da entrega do mesmo, e na seleção dos exercicios e execussão dos exercicios apresnetados.
Conclusão
Após um momento de auto reflexão determino que a minha auto avaliação para o trabalho de pesquisa equivale a 17 valores. Pois não me senti 100% satisfeita com o produto final devido á falta de tempo.
Sinto que deva melhorar e prestar mais atenção durante as aulas e desenvolver autonomia na realização das tarefas porpostas.
Webgrafia
https://chat.openai.com/
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/funcao-exponencial.html
https://www.infopedia.pt/artigos/$assintota-horizontal
http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/exponencial/fexponencial.htm
https://www.infoescola.com/matematica/logaritmo/
https://pt-pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://araquelexplica-te.pt/regras-das-potencias/
https://pt.slideshare.net/aldaalves/operaes-com-potncias-parte-i-8787844