MATHEMATICS INFO

esponenziali

Potenz e con esponete intero

Potenze con esponete razionae

aⁿ

esponente

base

Non sono definite: - le potenze con base zero ed esponente nullo o negativo - le potenze con base un numero negativo ed esponente razionale o irrazionale

Proprietà delle potenze

• 1ˣ = 1
• 0ˣ= 0
• a⁰ = 1
• a⁻ˣ = (1/a)ˣ

• aˣ⋅aʸ = aˣ⁺ʸ
• aˣ:aʸ = aˣ⁻ʸ
• (aˣ)ʸ = aˣʸ
• aˣ⋅bˣ =(a⋅b)ˣ
• aˣ:bˣ = (a:b)ˣ

Proprietà delle potenze

y = aˣ

Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: Si distinguono due casi: con a∈ ℝ⁺

a > 1 0 < a < 1

esponenziali

• Il dominio della funzione è R ;
• Il codominio è R+
• La funzione è biunivoca

Se a > 1 La funzione è crescente

Se 0 < a < 1 La funzione è decrescente

Funzione esponenziale con base e

y = aˣ

Dove "e" è un numero irrrazionale deto numero di Nepero, che vale circa 2,71828182845

Crescita esponenziale

Ci sono fenomeni il cui andamento è descrivibile con una funzione esponenziale e il cui andamento molto rapido viene detto crescita esponenziale

Equzioni esponenziali

Un'equzione esponenziale contiene almeno una potenza con l'incognita all'esponente, del tipo

aˣ = b

con a > 0

Un'equazione esponenziale di questo tipo può essere

• impossibile se b ≤ 0, perché aˣ non può essere negativo o nullo
• determinata se b > 0

Disequazioni esponenziali

Una disequzione esponenziale contiene almeno una potenza con l'incognita all'esponente.

se 0 < a < 1 aˣ > aʸ ⇔ x < y

se a > 1 aˣ > aʸ ⇔ x > y

Logaritmi

Dati 2 numeri reali positivi a e b si dice logaritmo in base a di b l'esponente x da assegnare alla base a per ottenere b

argomento

Logab

Logab = x

ax = b

base

All'aumentare dell'argomento b, il logaritmo: Aumenterà se a > 1 Diminuira se 0 < a < 1

Proprietà dei logaritmi

1. Loga(b·c) = logab + logac
2. Loga(b:c) = logab - logac
3. Logabn = n·logab
4. Logaa = 1
5. alog b = b

6. Loga1 = 0

7. Logab = Logcb : Logca

Funzione logaritmica

Una funzione logaritmica è del tipo: y = logax con a > 1 e a ≠ 1Si distingue nei seguenti casi:

1. Ha come dominio R+ 2. Ha insieme immagine R3. è una funzione biunivoca 4. Il grafico interseca l'asse delle x sul punto (1;0)

Logaritmi

Equazioni logaritmiche

Un'equazione logaritmica è un tipo di equazione dove l'incognita x appare nell'argomento di almeno un logaritmo In alcuni casi è opportuno utilizzare un incognita ausiliare per riolvere le equazioni logaritmiche

LogaA(x) = LogaB(x)

con A(x) > 0 e B(x) > 0

Disequazioni logaritmiche

Una disequazione logaritmica è una disequazione dove l'incognita x appare nell'argomento di almeno un logaritmoLa soluzione di una disequazione logaritmica si ottiene risolvendo il sistema formato da:

• Le condizioni di esistenza dei logaritmi
• La disequazione che si ottiene tra la disuguaglianza degli argomenti.

LogaA(x) < LogaB(x)