4t ESO EQUACIONS

LLEGENDA ICONES

Passant el ratolí per damunt, s'obrirà una finestra on es mostraran els exercicis que cal que l'alumne faci.

Clicant al damunt s'obrirà un vídeo explicatiu sobre el contingut treballat.

Passant el ratolí per damunt, s'obriran finestres que mostraran explicacions, resolucions d'exercicis, ...

Mostra curiositats, connexions amb altres matèries, etc. sobre el tema tractat.

Clicant al damunt, et portarà a les diapositives amb exercicis on es treballen exercicis.

Explica trucs i ampliacions de continguts.

Mostra quelcom a tenir en compte important que cal que recordis.

Resol preguntes sobre continguts que hem treballat a classe.

EQUACIONS

Paolo Ruffini (22/09/1765-09/05/1822)

ÍNDEX

Equacions biquadrades

Equacions de 2n grau completes

Equacions de 2n grau incompletes

Equacions de grau major que 2

Nombre solucions equacions de 2n grau

Problemes

Creació equacions donades les solucions

EQUACIONS DE 2n GRAU COMPLETES

Les solucions de l'equació són x= 2 i x= -1 i la factorització de l'equació és: (x-2)·(x+1)

EQUACIONS DE 2n GRAU INCOMPLETES

Com ja saps, una equació de segon es pot escriure ax2 + bx + c = 0.Direm que l'equació és completa quan tots els coeficients, a,b i c siguin diferents de zero, i per tant, direm que és incompleta quan algun dels coeficients b ó c sigui zero. Per tant: 1. Completa: ax2 + bx + c = 0 on a,b i c ≠ 0 Ex. x2+2x+1=02. Incompleta: ax2 + bx = 0 on a i b ≠ 0 i c = 0 Ex. 5x2+10x=03. Incompleta: ax2 + c = 0 on a i c ≠ 0 i b = 0 Ex. 3x2-27=04. Incompleta: ax2 = 0 on a≠0 i b = c = 0 Ex. 5x2=0

EQUACIONS DE 2n GRAU INCOMPLETES

Exemple: 3x2-27=01r. Aïllem x2 com si l'equació fos de primer grau 2n. Apliquem

2. Incompleta: ax2 + c = 0 on a i c ≠ 0 i d = 0

1r: 3x2 =27 x2= 27/3 x2=9 2n: x= ±√9 per tant, x=3 i x=-3

EQUACIONS DE 2n GRAU INCOMPLETES

Exemple: 5x2+10x=01r. Traiem factor comú x 1r: x · (5x+10) = 02n. Apliquem a · b = 0 si a=0 o b=0 2n: x=0 o 5x+10=0 5x=-10 x=-2

3. Incompleta: ax2 + bx = 0 on a i b ≠ 0 i c = 0

EQUACIONS DE 2n GRAU INCOMPLETES

Exemple: 5x2=0Apliquem a · b = 0 si a=0 o b=0 5 · x2 = 0 5≠0 o x2=0 x = 0

4. Incompleta: ax2 = 0 on a ≠ 0 i b=c = 0

EQUACIONS DE 2n GRAU INCOMPLETES

Exercicis

EQUACIONS DE 2n GRAU COMPLETES

Exercicis

Resol les equacions de l'activitat anterior utilitzant la fórmula general. Indica en cada cas els valors que prenen els coefi cients a, b i c.

Resol aquestes equacions de segon grau. Indica en cada cas el valor dels coeficients a, b i c.

EQUACIONS DE 2n GRAU COMPLETES

Exercicis

Resol aquestes equacions de segon grau. Transforma-les fins a obtenir la forma simplificada:

DISCRIMINANT EQUACIONS 2n GRAU

DISCRIMINANT

Exercicis

Calcula el discriminant d’aquestes equacions i indica el nombre de solucions que tenen:

DISCRIMINANT

Exercicis

Troba el valor de k perquè l’equació de segon grau tingui una solució única:

DISCRIMINANT

Exercicis

Tria dos valors de k per tal que les equacions següents tinguin dues solucions:

Tria dos valors de k per tal que les equacions següents no tinguin solució:

CREACIÓ D'EQUACIONS DONADES LES SOLUCIONS

Siguin els nombres x1 i x2 les solucions o arrels d’una equació. A partir d’aquests valors, podem construir l’equació de la qual en són la solució de la següent manera: (x – x1)(x – x2) = 0 Exemple: Siguin x = 2 i x = -1 les solucions d'una equació desconeguda, anem a calcular-la: (x-2) · (x+1) = 0, aplicant la propietat distributiva obtenim: x2 + x - 2x - 2 = 0 x2 - x - 2 = 0

EQUACIONS DONADES SOLUCIONS

Exercicis

Escriu per a cada cas una equació de segon grau que tingui les solucions indicades:

EQUACIONS DONADES SOLUCIONS

Exercicis

Troba les solucions de les equacions factoritzades:

EQUACIONS BIQUADRADES

Les equacions biquadrades són aquelles de grau 4 que no tenen terme de grau 3 ni de grau1, és a dir, tenen la següent forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Com es resolen? 1r: Fem un canvi de variable t = x2 i x4 = t2 2n: Obtenir una equació de segon grau amb variable t. Identifiquem a, b i c. 3r: Resolem l'equació de 2n grau. 4t. Desfem el canvi de variable aplicant

EQUACIONS BIQUADRADES

Exercicis

Resol aquestes equacions biquadrades:

EQUACIONS BIQUADRADES

Exercicis

Resol aquestes equacions biquadrades:

EQUACIONS GRAU MAJOR QUE 2

Utilitzant la factorització de polinomis poden resoldre algunes equacions de grau més gran que 2. El mètode consisteix a escriure l’equació en la forma P(x) = 0 i factoritzar el polinomi buscant-ne les arrels. Així aconseguim tenir un producte igual a zero i resoldrem de forma més senzilla l'equació.

Exemple: 1r: Busquem les arrels del polinomi x4 – 5x3 – 12x2 + 44x + 80 x = 4, x = 5, x = -2 (doble) 2n: Factotizem i igualem a zero per crear l'equació (x-4) · (x-5) ·(x+2)2 = 0 3r: Resolem l'equació (x-4) · (x-5) ·(x+2)2 = 0

x4 – 5x3 – 12x2 + 44x + 80 = 0

EQUACIONS D'ORDRE MAJOR QUE 2

Exercicis

Resol aquestes equacions:

EQUACIONS D'ORDRE MAJOR QUE 2

Exercicis

Factoritza primer i després resol les equacions següents:

EQUACIONS D'ORDRE MAJOR QUE 2

Exercicis

Traient primer factor comú, resol les equacions següents:

PROBLEMES

Per resoldre un problema algebraic, és important seguir els següents passos:

1r. Llegir bé l'enunciat per tal d'identificar les dades conegudes i desconegudes.2n. Assignar la incògnita a una dada desconeguda i expressem les altres dades desconegudes en termes d’aquesta. 3r. Relacionar les dades mitjançant una equació. 4t. Resoldre l’equació i donar la solució del problema.

Exemple: L’Anna, l’Ona i l’Èrica tenen en total 540 cromos. L’Anna té el doble de cromos que l’Ona, i l’Ona té dos terços dels cromos que té l’Èrica. Quants cromos té cadascuna?

1r Coneixem el total, 540 cromos, i desconeixem la quantitat de cromos de l'Ona ,l'Èrica i l'Anna. 2n. Identifiquem les dades i triem la incògnita. Considerem x els cromos que té l’Èrica. Per tant, tindrem: Érica: x cromos, Ona: cromos i Anna: cromos 3rn. Plantegem l’equació: "En total (per tant, sumant) les tres amigues tenen 540 cromos" 4t. Resolem l’equació i donem la solució del problema: Resolent l’equació, obtenim x = 180. Així doncs, l’Èrica té 180 cromos, l’Ona té 120 cromos (dos terços de 180) i l’Anna té 240 cromos.

PROBLEMES

Exercicis

Si restem a la quarta part del producte de dos nombres naturals parells consecutius el triple del nombre més gran, el resultat és 18. Quins són aquests nombres? Un nombre excedeix en tres un altre. El producte dels dos és 340. Quins són aquests nombres? La Judit té el triple d’anys que en Gabriel. D’aquí a 10 anys passarà a tenir-ne el doble. Quants anys té cadascú?

PROBLEMES

Exercicis

La Cecília té 35 anys i la seva cosina Marta, 10. Quants anys han de passar perquè l’edat de la Cecília sigui el doble que la de la Marta? En una lligueta de bàsquet a doble volta hi participen 12 equips. Cada partit guanyat val 2 punts, i cada partit perdut, 1 punt. Al final de la competició, un equip té 36 punts. Quants partits ha guanyat? Un tren surt de l’estació a una velocitat de 180 km/h. Mitja hora després en surt un altre a una velocitat de 210 km/h. Quant de temps trigarà el segon tren a atrapar el primer?

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Un pagès té dos camps destinats al cultiu de verdures. Els dos camps són quadrats, i el costat del més gran és 2 m més llarg que el costat del més petit. Dedica 66 m2 al cultiu de mongetes. Aquest cultiu ocupa el 25 % de la superfície del camp petit i la meitat de la superfície del gran. Quina és la longitud del costat de cada camp?

Exercicis