PowerPoint di geometria

la geometria del piano

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indice

oggetti geometrici e proprietà

i postulati di appartenenza

le figure fondamentali

le operazioni con segmenti e angoli

lunghezze ampiezze e misure

una curiosità

oggetti geometrici e prorpietà

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oggetti geometrici e proprietà

le definizioni

le geometria si occupa di studiare le relazioni tra enti geometrici. gli enti sono descritti da definizioni. una definizione è una frase nella quale viene associato un nome ad un ente e ne vengono elencate le proprietà

gli enti primitivi

gli enti primitivi non vengono definiti perché sono gli enti principali con cui si danno defninizioni; si chiamano enti primitvi e sono: il punto, la retta e il piano.

punto

retta

piano

oggetti geometrici e proprietà

le figure geometriche

la retta e il piano sono un insieme di punti; un insieme qualsiasi di punti costituisce una figura geometrica. lo spazio è l'insieme di tutti i punti e contiene tutte le figure. una figura che apartiene ad un piano si chiama figura piana, altrimenti si chiama figura solida

i postulati o assiomi

in geometria ci sono alcune proprietà a cui affidiamo un ruolo simile a quello assunto dagli enti primitivi: alcune proprietà vengono assunte come "primitive", quinidi non sono dedotte, ma accettate per vere. A queste proprietà viene dato il nome di postulati o assiomi

i teoremi

sono enunciati in cui la verità può essere dimostrata. una dimostrazione è una sequenza di deduzioni che, partendo da un' ipotesi, fa giungere ad una nuova affermazione, la tesi. un teorema che è l'immediata conseguenza di un altro teorema si dice corollario se in un teorema vengono scambiate ipotesi e tesi prende il nome di teorema inverso

i postulati di appartenenza e d'ordine

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i postulati di appartenenza e d'ordine

i postulati di appartenenza

i postulati di appartenenza possono essere considerati come delle definizioni implicite, che definiscono (insieme ai postulati d'ordine) gli enti primitivi

postulati

1 ad una retta appartengono almeno 2 punti distinti e ad un piano almeno 3 punti distinti e non allineati 2 due punti distinti appartengono ad una ed una sola retta 3 tre punti distinti e non allineati appartengono ad uno ed un solo piano 4 considerata una retta su un piano, c'è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta 5 se una retta passa per 2 punti di un piano, allora appartiene al piano

i postulati d'ordine

ogni retta può essere orientata stabilendo su di essa un verso di percorrenza, che consente di mettere in relazione i suoi punti

conseguenze

postulati

1 se A e B sono 2 punti distinti di una retta, o A precede B o B precede A2 se A precede B e B precede C allora A precede C 3 preso un punto A su una retta c'è almeno un punto che precede A e uno che segue A 4 presi 2 punti distinti B e C su una retta (con B che precede C), allora c'è almeno un punto A della retta che segue B e precede C

1 per un piano passano infinite rette 2 un piano contiene infiniti punti e infinite rette 3 una retta è illimitata 4 la retta è un insieme denso

le figure fondamentali

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le figure fondamentali

semirette

presa una retta orientata e un punto "O" su di essa, sono semirette gli insiemi "O" e tutti i punti che lo seguono; "O" e tutti i punti che lo precedono

segmenti

è un insieme che continene A e B, e tutti i punti che precedono A e seguono B

segmento nullo

gli estremi coincidono, quindi non ci sono punti interni

segmentI CONsecutivi

due segmenti sono consecutivi se hanno in comune solo un estremo; sono adiacenti quando appartengono alla stessa retta e sono consecutivi

le figure fondamentali

poligonale

è una figura costituita da un ordinato insieme di segmenti in cui ogni segmento e il successivo sono sempre consecutivi ma non adiacenti; ogni estremo dei segmenti appartiene al massimo a 2 di essi. una poligonale può essere aperta, chiusa, semplice o intrecciata

aperta

chiusa

semplice

intrecciatA

I SEMIPIANI

considerata una retta r di un piano, un semipiano di origine r è l'inieme dei punti di r e di uno dei due insiemi in cui il piano è diviso da r

le figure fondamentali

le figure concave e convesse

una figura è convessa se due suoi punti qualsiasi sono estremi di un segmento tutto contentuto nella figura. in caso contrario è concava

la congruenza delle figure

due figure sono uguali se coincidono punto per punto. Due figure sono congruenti quando possiamo spostarne una con un movimento rigido (movimento che non deforma la figura) e renderle uguali. la congruenza è una relazione di equivalenza: -riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa -simmetrica: se A≅B allora B≅A -transitiva: se A≅B e se B≅C, allora A≅C. le figure possono essere sovrapposte da un movimento rigido: traslazione; rotazione; simmetria sono congruenti fra loro: 2 rette; 2 semirette; 2 piani; 2 semipiani

linee piane

la linea piana è un insieme di punti ottenuti da un movimento continuo. le linee possono essere: rette, semirette e segmenti oppure linee curve, che a loro volta possono essere semplici, intrecciate, chiuse o aperte.dati su un piano i punti C e P, la circonferenza di centro C e raggio P è l'insieme dei punti del piano che hanno distanza da C uguale a quella di P.

le figure fondamentali

gli angoli

un angolo è ciascuna delle due parti di un piano individuate da due semirette aventi la stessa origine, incluse le due semirette. le due semirette sono i lati dell'angolo; il punto di origine in comune è il vertice dell'angolo quando 2 angoli hanno in comune solo il vertice e un lato si dicono consecutivi. 2 angoli consecutivi i cui lati appartengono alla stessa retta si dicono adiacenti

adiacenti

consecutivi

concavi

convessi

le figure fondamentali

i poligoni

un poligono è l'insieme dei punti di una poligonale chiusa e non intrecciata e di tutti i suoi punti interni. un poligono può essere convesso o concavo. in un poligono: i segmenti che formano la poligonale sono i lati ed i loro estremi sono i vertici; gli angoli convessi formati dalle semirette di lati consecutivi sonon gli angoli interni; gli angoli adiacenti a quelli interni sono gli angoli esterni. ad ogni angolo interno ne corrispondono 2 esterni; i segmenti che hanno per estremi due vertici del poligono che non appartengono allo stesso lato sono le diagonali. Un poligono con tutti i lati congruenti è equilatero, con tutti gli angoli congruenti è equiangolo. un poligono regolare se è equilatero, è anche equiangolo. Classifichiamo i poligoni in base al numero di lati che hanno

le operazioni con i segmenti e con gli angoli

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le operazioni con i segmenti e con gli angoli

il confronto

confrontare due angoli o due segmenti significa stabilire se sono o non sono congruenti

confronto di angoli

confronto di segmenti

dati gli angoli ab e rs sovrapponiamo il primo con il secondo in modo che a coincida con r si possono verificare 3 casi ab≅rs se b coincide con s ab<rs se b è interna a rs ab>rs se b è esterna a rs

dati i segmenti AB e PQ sovrapponiamoli tra loro in modo che A coincida con P si possono verificare 3 casi AB≅PQ se b coincide con Q AB<PQ se B è interno a PQ AB>PQ se B è esterno a PQ

l'addizione

segmenti

angoli

se due segmenti AB e BC sono adiacenti, la loro somma è il segmento AC

se due angoli ab e bc sono consecutivi, la loro somma è l'angolo ac

se i due segmenti non sono adiacenti, otteniamo la loro somma spostandoli con un movimento rigido

se due angoli non sono consecutivi, otteniamo la loro somma spostandoli con un movimento rigido

le operazioni con i segmenti e con gli angoli

differenza

angoli

segmenti

se ab+bc≅ac, diciamo che bc è la differenza tra ac e ab. la differenza tra due angoli ab e cd qualsiasi non esiste se ab<cd

se AB+BC≅AC, diciamo che BC è la differenza tra AC e BC. la differenza tra 2 segmenti quasiasi AB e CD non esiste se AB<CD

multipli e sottomultipli

segmenti

angoli

dati un numero naturale n e un segmento AB, il segmento CD è multiblo di AB secondo n è:la somma di n segmenti congruenti ad AB, se n>1 ab, se n=1 il segmento è nullo se n=0 se n≠0, CD è diviso in n parti congruenti ad AB e diciamo che AB è sottomultiplo di CD secondo n

dati un numero naturale n e un angolo α, l'angolo β multiplo di α secondo n è:la somma di n angoli congruenti ad α se n>1 α se n=1 l'angolo nullo se n=0 se n≠0, β è diviso in n parti congruenti ad α e diciamo anche che α è sottomultiplo di β secondo n

le operazioni con i segmenti e con gli angoli

il punto medio di un segmento

il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti

la bisettrice di un angolo

la bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide l'angolo in 2 angoli congruenti

la definizione e i teoremi relativi agli angoli

un angolo che sia metà di un angolo piatto è un angolo retto minore di un angolo retto è un angolo acuto maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto è un angolo ottuso due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro

angoli complementari di uno stesso angolo

se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, o di angoli ordinatamente congruenti, allora sono congruenti

gli angoli opposti al vertice

due angoli si dicono opposti al vertice se hanno in comune il vertice e se i lati sono i prolungamenti dei lati dell'altro. se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti

lunghezze, ampiezze, misure

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lunghezze, amipiezze e misure

lunghezza e distanza

la lunghezza di un segmento è la classe di equivalenza, della relazione di congruenza fra segmenti, a cui appartiene il segmento. la distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che congiunge i due punti

ampiezze

l'ampiezza di un angolo è la classe di equivalenza, della relazione di congruenza fra angoli, a cui appartiene l'angolo. due angoli congruenti hanno ampiezza uguale

misure

per misurare la lunghezza di un segmento PQ, fissiamo lalunghezza di un altro segmento AB, non nullo, come unità di misura: se PQ=m/n AB, con m/n numero razionale positivo o nullo, diciamo che m/n è la misura della lunghezza di PQ rispetto ad AB e che le lunghezze PQ e Ab sono commensurabili. il concetto di misura può essere esteso anche al caso di lunghezze incommensurabili (la misura di una rispetto all'altra non è un numero razionale) per misurare le ampiezze degli angoli valgono considerazioni simili a quelle fatte per le lunghezze e le loror misure. se α e β sono le ampiezze di due angoli e α= m/n β, con m/n numero razionale positivo o nullo, diciamo che m/n è la misura di α rispetto a β

una curiosità

per curiosità

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Detta a la lunghezza del cateto AB, c la lunghezza dell'ipotenusa BC ed m la lunghezza della proiezione di AB su BC, dimostriamo la tesi del teorema sfruttando le proprietà dei parallelogrammi.