Equipo4_DPE_ADA2_LECTURA4

Errores y dificultades de estudiantes de ingeniería en el significado del Teorema de Bayes

Didactica de la Probabilidad

Equipo 4: Javier ChanArturo Kauil Aura Pech Camila Sabido

Datos del artículo

Título

"Errores y dificultades de estudiantes de ingeniería en el significado del Teorema de Bayes"

Autores

• Leidy J. Arboleda Villa
• Eliécer Aldana Bermúdez
• Francisco A. Gutierres

Publicación

01/10/2020

Propósito

Identificar y analizar los posibles conflictos semióticos que enfrentan los estudiantes de Ingeniería de Sistemas y Computación al resolver problemas relacionados con el teorema de Bayes.

Propósitos específicos

Aportar a la literatura sobre aprendizaje probabilístico

Reconocer errores y dificultades

Explorar conflictos semióticos

Aplicar el enfoque ontosemiótico

Proponer recomendaciones para la enseñanza

Explicación del marco teórico

Enfoque ontosemiótico (EOS)

Consiste en la formulación de una ontología de objetos matemáticos que tiene en cuenta el triple aspecto de la matemática: actividad de resolución de problemas, socialmente compartida, lenguaje simbólico y sistema conceptual lógicamente organizado. Tomando como noción primitiva la de situación-problemática, se definen los conceptos teóricos de práctica, objeto (personal e institucional) y significado, con el fin de hacer patente y operativo, del concepto matemático.

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Características de la población

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03

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Fecha de la investigación

Población de estudio

Tamaño de la muestra

Contexto académico

Propuesta de enseñanza-aprendizaje

La propuesta de enseñanza/aprendizaje de contenidos probabilísticos adopta un enfoque crítico y aplicado, dirigido a superar limitaciones en la comprensión y aplicación del teorema de Bayes. Las estrategias sugeridas se derivan del análisis de conflictos y funciones semióticas, con el propósito de mejorar tanto la comprensión conceptual como la aplicación práctica de los conocimientos probabilísticos. A continuación, se describen estas estrategias.

Énfasis en la formación crítica

Enseñanza basada en aplicaciones

Énfasis en la comprensión lectora

Fortalecimiento de la representación gráfica

Énfasis en argumentos operacionales

Contextualización de la enseñanza

Ronda de preguntas

Situación-Problema 1.a

En una operación de llenado automático la probabilidad de que el volumen de llenado sea incorrecto es 0.05; 0.002 y 0.15 cuando el proceso se realiza a baja velocidad, velocidad media y alta velocidad respectivamente. Suponga que el 35% de los contenedores se llena cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, el 5% se efectúa a una velocidad media, y el restante se efectúa a baja velocidad.

a. Represente con alguna gráfica el enunciado.

Dificultades y obstáculos asociados

Traducción entre lenguajes

Presentan problemas para relacionar e interpretar la expresión verbal del problema, con sus expresiones simbólica, gráfica y numérica.

Clasificación:

• Ontogénico

Problemas con la interpretación de diagramas de árbol

No se logra identificar cómo se relacionan las ramificaciones del diagrama con las probabilidades.

• En la primera ramificación del diagrama se debe colocar la probabilidad de las particiones del espacio muestral P(Bi)

• En la segunda ramificación, para cada partición, se considera la probabilidad de que ocurra A o su complemento Ac dada la partición, P(A|Bi) o P(Ac|Bi)

Clasificación:

• Didáctico

Ejemplos

En general, la mayoría de los estudiantes no lograron interpretar el problema en un lenguaje gráfico (diagrama de árbol)

Situación-Problema 1.b

En una operación de llenado automático la probabilidad de que el volumen de llenado sea incorrecto es 0.05; 0.002 y 0.15 cuando el proceso se realiza a baja velocidad, velocidad media y alta velocidad respectivamente. Suponga que el 35% de los contenedores se llena cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, el 5% se efectúa a una velocidad media, y el restante se efectúa a baja velocidad.

b. Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen correcto ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido llenado cuando el proceso se realizaba a baja velocidad?

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Dificultades y obstáculos asociados

Olvido del numerador y denominador en el Teorema de Bayes

Se recuerda incorrectamente la fórmula de Bayes

• Recordar incorrectamente el numerador
• Olvido de la existencia del denominador en la fórmula

Clasificación:

• Didáctico

Relación entre probabilidades condicionales y totales

No se identifica que el denominador de la fórmula de Bayes es una probabilidad total; en específico, que P(C) (probabilidad de que el volumen de llenado sea correcto) es una probabilidad total

Clasificación:

• Didáctico

Diferenciar entre la probabilidad condicional y condicional inversa

Se asume que la probabilidad de que ocurra el evento C dado que sucede B, es igual a la probabilidad de B dado C; esto es

P(C|B) = P(B|C)

Clasificación:

• Ontogénico

Diferenciar entre la probabilidad condicional y conjunta

Interpreta una probabilidad condicional como una probabilidad conjunta.

P(A|B) = P(A∩B)

Clasificación:

• Ontogénico

Diferenciar entre la probabilidad condicional y simple

Origen Ontogénico

• El estudiante relaciona de forma incorrecta la probabilidad simple al estudio de la probabilidad condicional.
• Por la forma en que interpreta los problemas, no distingue la presencia de una probabilidad condicional; y por lo tanto, trata al problema como una probabilidad simple (donde no se identifica el evento condicionado ni el evento condicionante.

Interpretar la probabilidad condicional como una probabilidad simple (sin tener en cuenta la relación entre evento condicionante y condicionado), y por tanto utilizar

P(A) = casos favorables

casos posibles

Aplicación de axiomas de probabilidad

No tienen en cuenta los axiomas de probabilidad al momento de resolver ejercicios y efectuar operaciones con las probabilidades; o bien, aplica incorrectamente los axiomas de probabilidad.

Clasificación:

• Didáctico

P(II)

P(bv)

P(bv) - P(II)

P(bv)

- 1

P(II)

P(II)

P(II)

P(II)

En general, la mayoría de los estudiantes no lograron reconocer y aplicar correctamente el Teorema de Bayes para resolver el problema

Resolución de la situación-problema

Representación con alguna gráfica el enunciado.

Determina la correspondencia entre los datos del problema con la identificación del suceso condicionante C

Establece la identificación entre los datos del problema y la probabilidad condicional pedida

Identifica los sucesos V_i (los sucesos A, M, B) que forman una partición del espacio muestral

Representación con alguna gráfica el enunciado.

Relaciona las probabilidades condicionales dadas en el problema (C), su complemento (I) y su representación simbólica

Asigna la correspondencia entre las probabilidades condicionales dadas en el problema (C) y su representación simbólica

Construye un gráfico con los sucesos que forman una partición del espacio muestral y los sucesos I y C

Operación del teorema de Bayes y resultado de la probabilidad condicional.

Establece una relación entre las probabilidades dadas y el cálculo de probabilidades conjuntas

Asigna una relación entre las probabilidades conjuntas y el cálculo de la Probabilidad Total

Vincula la probabilidad conjunta, probabilidad total y el cálculo de la fórmula del teorema de Bayes

Resolución de la situación

En una operación de llenado automático la probabilidad de que el volumen de llenado sea incorrecto es 0.05; 0.002 y 0.15 cuando el proceso se realiza a baja velocidad, velocidad media y alta velocidad respectivamente. Suponga que el 35% de los contenedores se llena cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, el 5% se efectúa a una velocidad media, y el restante se efectúa a baja velocidad.

a. Represente con alguna gráfica el enunciado.

b. Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen correcto ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido llenado cuando el proceso se realizaba a baja velocidad?

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Estrategias para la enseñanza del Teorema de Bayes

Herramientas Gráficas

Enfoque de enseñanza

Reforzamiento

Conclusión del artículo con respecto a las dificultades de aprendizaje de los estudiantes

Como docentes de matemáticas en formación, es importante tener en cuenta tanto la parte epistemológica de los conceptos de probabilidad, como el desarrollo cognitivo del estudiante (el razonamiento que tiene, los conflictos presenta al aprender y al reflejar sus aprendizajes). Como ya hemos visto, la presencia de dificultades y errores es una parte natural del aprendizaje, mientras estos no sean causados por la práctica docente, sino que sean reflejo del desarrollo epistemológico de los conceptos y de la cognición del estudiante; de esta forma, el docente puede prevenir algunas dificultades y orientar su diseño didáctico a la resolución de estas.

Conclusión del artículo con respecto a las estrategias de enseñanza

• Se evidenció lo que indica Díaz (2005), pues los estudiantes no lograron utilizar los conocimientos adquiridos en una situación puesta en contexto. Esto muestra la necesidad de favorecer una formación crítica del individuo en términos probabilísticos, una enseñanza de la probabilidad basada en aplicaciones tanto en situaciones de la vida cotidiana como en contextos relacionados con las profesiones de los estudiantes, tal como lo han afirmado autores como Carrera (2002), Batanero y Díaz (2011), y Rodríguez et al., (2014).

Conclusión del artículo con respecto a las estrategias de enseñanza

• Una de las principales herramientas de representación y deducción en el ámbito de la probabilidad son los diagramas y representaciones gráficas (Hierro et al., 2018). En particular, los diagramas de árbol favorecen la significación de la fórmula del Teorema de Bayes, pues permiten mostrar visualmente la relación entre las partes que conforman el teorema y los datos presentados en el problema.

Por tanto, se recomienda hacer mayor énfasis en la construcción de este tipo de gráficas durante el proceso de enseñanza de la probabilidad; además, a partir de los diagramas se deben de reforzar los argumentos operacionales que faciliten el uso de expresiones simbólicas relacionadas con la fórmula de Bayes.

Síntesis de las ideas expuestas

El artículo de Villa, Aldana y Gutierres estudia las dificultades y errores que presentan un grupo de estudiantes de ingeniería a través de una propuesta didáctica acerca del teorema de Bayes. En esta propuesta, se observaron las siguientes dificultades y errores: la incorrecta interpretación del problema, deficiencia en la traducción entre lenguajes, no saber construir e interpretar diagramas de arbol, no saber como proceder, no diferenciar entre distintas probabilidades, olvido del Teorema de Bayes, no identificar una probabilidad condicional, interpretación incorrecta de las probabilidades, y olvido de los axiomas de la probabilidad. Todo esto observado desde un punto epistémico, cognitivo y didáctico. Existe una estrecha relacion entre todas las dificultades que se presentaron, de forma que la presencia de una puede desencadenar las demás dificultades, llevando así a errores que muchos estudiantes presentan durante el estudio de la probabilidad condicional.

Conclusión del equipo con respecto a las dificultades de aprendizaje de los estudiantes

Las dificultades presentes en la lectura, no son exclusivas de la población estudiada; sino que se presentan en la mayoría de los cursos de probabilidad, independientemente del contexto. Esto puede ser debido a un origen:

Un título genial

Un título genial

Epistemologico

Didáctico

Ontogenico

Conclusión del equipo con respecto a las estrategias de enseñanza.

Las estrategias que se presentan en el articulo las consideramos pertinentes para la enseñanza del Teorema de Bayes, ya que

• Buscan romper el paradigma conductista de la eneseñanza tradicional.
• Se toma como base la resolución de situaciónes-problema (que son la base del aprendizaje matemático) contextualizados en un entorno real o relacionado con las carreras que los estudiantes desean estudiar.
• Refuerzan el aspecto conceptual del Teorema de Bayes.
• Se apoya de la construcción de gráficas (diagrama de árbol), que permiten al estudiante organizar y relacionar los datos, e identificar los datos faltantes para la resolución de los ejercicios Situación-Problema.

Todo esto propicia un aprendizaje significativo de la probabilidad condicional y del Teorema de Bayes.

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Pregunta para el equipo 1

Explica por qué es pertinente, para la enseñanza de la probabilidad, la resolución de situaciones-problemas como estrategia de enseñanza-aprendizaje

Pregunta para el equipo 2

¿Qué relación tiene la probabilidad a posteriori y a priori con el teorema de Bayes?

Pregunta para el equipo 3

Explica por qué son pertinente las estrategias de enseñanza que se presentaron, para la enseñanza del teorema de Bayes

Referencias

Godino, J. D. Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto- semiotic approach to research in mathematics education. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 39 (1-2), 127-135. https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-006-0004-1 Godino, J. D., Giacomone, B., Batanero, C. & Font, V. (2017). Enfoque Ontosemiótico de los Conocimientos y Competencias del Profesor de Matemáticas. Bolema, 31(57), 90-113. https://www.scielo.br/j/bolema/a/jQy8nXFVBd9wPYY5R38JFYw/

Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen correcto, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido llenado cuando el proceso se realizaba a baja velocidad?Probabilidad de que el contenedor haya sido llenado a baja velocidad dado que el volumen de llenado es correcto P(B|C) =P(B∩C) /(P(C))

Desde el enfoque ontosemiótico, la resolución de situaciones-problema es la base del aprendizaje matemático. A partir de estas

1. Se observa la evolución de los significados personales declarados que los estudiantes tienen de los conceptos probabilisticos.
2. Se propicia la apropiación de los significados institucionales.

De esta forma, se logran aprendizajes significativos de conceptos, propiedades y teoremas de probabilidad.

Contribuir al conocimiento existente en la literatura académica sobre la enseñanza y aprendizaje de conceptos probabilísticos, especialmente en relación con el teorema de Bayes.

Origen Didáctico

Se considera que esta dificultad es de origen didáctico pues, en los cursos de probabilidad, no se dedica mucho tiempo ni se pone énfasis en la utilización de diagrámas de árbol para representar e interpretar problemas.

Probabilidad conjunta P(B∩C) =P(B)×P(C│B) =0,57 P(M∩C) =P(M)×P(C│M) =0,05 P(A∩C)=P(A)×P(C│A)=0,29

Origen Didáctico

Se considera que esta dificultad es de origen didáctico debido a que, al enseñar el Teorema de Bayes de forma memorística y mecanizada, el estudiante no logra significar este teorema; esto causa equivocaciones al momento de recordar la fórmula.

Se sugiere fortalecer la habilidad de los estudiantes para emplear argumentos operativos al enfrentar problemas probabilísticos. Esto implica no solo comprender la fórmula de Bayes, sino también justificar sus pasos de manera clara y coherente.

Debido a la frecuencia de conflictos semióticos en la interpretación de enunciados, se sugiere centrarse en el fortalecimiento de habilidades específicas de comprensión lectora para problemas probabilísticos. Esto podría lograrse mediante ejercicios de lectura guiada y análisis detallado de enunciados.

Origen Ontogénico

Es una dificultad de origen ontogénico debido a que se relaciona con la forma en que el estudiante interpreta la información escrita.

Se puede ver la relación al entender que en la probabilidad condicional la probabilidad conjunta P(A∩B), se puede escribir como P(A∩B)=P(A) P(B|A) Resultando entonces el Teorema de bayes Donde es posible ver que P(A|B) es la probabilidad a posteriori; mientras que P(A) es una probabilidad a priori.

Probabilidad total P(C)=P(B)×P(C│B) +P(M)×P(C│M) +P(A)×P(C│A)P(C)=0,9174

¿Explica cuál es la probabilidad conjunta?

Respuesta

Respuesta

Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen correcto C:{Volumen de llenado correcto}

Identificar y analizar los errores y dificultades que los estudiantes experimentan en la resolución de problemas que involucran el teorema de Bayes después de recibir instrucción en el curso de probabilidad y estadística.

¿Explica cuál es la probabilidad simple?

Respuesta

Caso relacionado

Es posible que se identifique correctamente que P(C) es una probabilidad total; sin embargo, debido a la incorrecta interpretación del problema, no es capáz de calcular correctamente la probabilidad total.

Probabilidad de que el llenado sea correcto dado que se efectúa a baja velocidadP(C|B) =1-P(I│B) =0,95 Probabilidad de que el llenado sea correcto dado que se efectúa a velocidad media P(C|M) =1-P(I│M) =0,998 Probabilidad de que el llenado sea correcto dado que se efectúa a alta velocidad P(C|A)=1-P(I|A)=0,85

Se centra en:

• Reforzar los argumentos operacionales que se utilizan en el cálculo de la probabilidad.
• Fomentar el uso de expresiones simbólicas (en un lenguaje matemático-probabilístico) para representar los datos que requiere el problema, evidenciando así su presencia en la fórmula del Teorema de Bayes.

Teorema de BayesP(B|C) =P(B∩C) /P(C)P(B|C) =(P(B)×P(C│B)) /P(C) P(B|C)=0,57/0,9174=0,6213

Se propone integrar un enfoque crítico en la educación estadística de los estudiantes, promoviendo una comprensión profunda de los conceptos probabilísticos y su aplicación práctica en contextos reales.

¿Explica cuál es la probabilidad condicional inversa?

Respuesta

Se propone basar la enseñanza de estadística en aplicaciones prácticas, tanto en la vida diaria como en contextos profesionales relevantes para los estudiantes, facilitando así la transferencia del conocimiento teórico a situaciones reales.

El 35% de los contenedores se llena cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, el 5% se efectúa a una velocidad media, y el restante se efectúa a baja velocidad.A: {El llenado automático se efectúa a alta velocidad} P (A)=0,35 M: {El llenado automático se efectúa a velocidad media} P (M)=0,05 B: {El llenado automático se efectúa a baja velocidad} P (B)=0,60

Derivar recomendaciones pedagógicas basadas en los hallazgos para mejorar la enseñanza y el aprendizaje del teorema de Bayes, haciendo énfasis en la comprensión conceptual y la aplicación práctica de los conocimientos probabilísticos en situaciones problemáticas.

Se sugiere integrar la enseñanza de la probabilidad y el teorema de Bayes en contextos pertinentes a la Ingeniería de Sistemas y Computación, buscando aumentar la motivación al demostrar la aplicabilidad directa de los conceptos aprendidos.

Origen didáctico

En lo general, no se resuelven problemas donde se muestre como la probabilidad total está involucrada en la probabilidad condicional.

Investigar y explorar los conflictos semióticos, que representan desajustes en los significados asignados a un objeto matemático por parte de los estudiantes y las instituciones educativas, analizando tanto los aspectos epistémicos como cognitivos.

El enfoque de enseñanza de la probabilidad se basa en la aplicación de los conceptos estudiados, tanto en situaciones de la vida cotidiana como en contextos relacionados con las profesiones de los estudiantes. Es decir, una contextualización de los conocimientos.

Origen Didáctico

No se ejemplifican los axiomas de probabilidad, de forma que, al no tener un aprendizaje significativo, los estudiantes los olvidan y no los tienen en cuenta a la hora de resolver problemas.

• Contextualizar los conocimientos de probabilidad ayuda a transitar de un aprendizaje mecánico a uno significativo, de esta forma se va dando solución a las dificultadaes relacionadas con la memorización de definiciones, teoremas, axiomas, etc.
• Por otro lado, el reforzamiento del lenguaje probabilistico y el uso de herramientas gráficas ayudan a solucionar las dificultades relacionadas a la traducción entre lenguages. Además, ayudan a relacionar la información con su expresión probabilistica, y a identificar los datos requeridos para solucionar el problema.

¿Explica cuál es la probabilidad condicional?

Respuesta

Dado que los árboles de decisión son herramientas efectivas para comprender el teorema de Bayes, se sugiere enfocarse en el diseño e interpretación de diagramas, particularmente árboles de decisión. El objetivo es que los estudiantes conecten la información gráfica con la formulación simbólica.

También se puede hacer uso de las herramientas gráficas como apoyo en el proceso de enseñanza, con la finalidad de organizar y ver la relación entre los datos del problema. Un ejemplo es el diagrama de árbol, el cual permite evidenciar la relación entre las partes que conforman el Teorema de Bayes; ayudando así a la significación de este teorema.

Origen Ontogénico

El estudiante traduce "la probabilidad condicional del evento A dado que sucede B" como la intersección de los eventos A y B

Probabilidad de que el llenado sea incorrecto dado que se efectúa a baja velocidadP(I|B) =0,05 Probabilidad de que el llenado sea incorrecto dado que se efectúa a velocidad media P(I|M) =0,002 Probabilidad de que el llenado sea incorrecto dado que se efectúa a alta velocidad P(I|A)=0,15

¿Explica cuál es la probabilidad total?

Explicación

Respuesta

Utilizar el enfoque ontosemiótico como marco teórico para analizar y comprender cómo los estudiantes desarrollan significados y utilizan el teorema de Bayes en contextos específicos, destacando las prácticas matemáticas y las relaciones entre significados institucionales y personales.

Origen Ontogénico

Los estudiantes suponen que la probabilidad condicional es conmutativa, pues relacionan que P(A∩B)=P(B∩A)con el cálculo de probabilidades condicionales.