Biografía de Riemann

Biografía de

RIEMANN

Friedrich Bernhard Riemann

la Familia Riemann

Su padre fue un pastor luterano, quien combatió entre 1806 y 1815 en contra del ejército francés cuando este invadió Alemania, al terminar la guerra se casó con Charlotte Ebel, donde se mudaron a Quickborn. Donde tuvieron seis hijos dos niños y cuatro niñas

Friedrich Bernhard Riemann nace el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz,Alemania.Bernhard fue el segundo de los seis y el primero varón.

su infancia

Durante su infancia toda su familia pasó grandes precariedades pues no tenían mucho dinero, por lo que durante sus primeros años no asistieron a la escuela y fueron educados en casa por su padre, quien le enseñó a leer, escribir, aritmética e historia, pero su padre al notar la gran capacidad que mostraba Bernhard para resolver los problemas matemáticas decidió a los 10 años contratarle un profesor particular.

historia academica

Con 14 años Bernhard fue a vivir con su abuela a Hanóver para empezar a estudiar el liceo pero dos años después al fallecer su abuela fue a vivir a otra ciudad cercana a Quickborn donde terminó sus estudios

Gracias a esta cercanía con su hogar lo ayudó a mejorar su estado de ánimo pues podía visitarlos bastante, ya que para él era difícil y afectaba su ánimo el extrañar a su familia.

La actitud de Bernhard era la de un chico muy retraído, tímido y modesto, incluso siempre fue un poco incómodo para el hablar frente al público.

encuentro con las matemáticas

Bernhard pudo descubrir las matemáticas y su pasión por estas gracias al director Johanneum Gymnasium quien al percatarse de su talento le dio acceso a su biblioteca personal donde Riemann leyó tantos libros que aumentaron su conocimiento.

En 1846 con 19 años ingresó a la Universidad de Gotinga para estudiar filosofía y teología pero al tomar clase de Carl Friedrich Gauss, quien daba clases en esta institución, no pudo evitar su interés por esta rama por lo que después de que su padre le diera permiso para cambiarse de carrera a la de matemáticas.

Riemann comenzó a estudiar la carrera de matemáticas y en 1847 se cambio a la Universidad de Berlín pues esta le ofrecía un nivel mejor en algunas áreas,

TESIS DOCTORAL DE RIEMANN“Fundamentos para una teoría general de las funciones de una variable compleja”

En la tesis doctoral de Riemann se menciona la variable compleja, antes se pensaba que operaciones como raíz de números negativos carecían de sentido, pues no eran requeridos números negativos para actividades cotidianas, pero estas operaciones aparecen cuando se trataba de resolver una ecuación donde aparece una incógnita elevada al cubo, por lo que los matemáticos italiano Noccoló Fontana y Girolamo Cardano quienes desarrollaron métodos para resolver este tipo de ecuaciones, al necesitar de este tipo de raíces para resolver sus ecuaciones, pero al considerar que los raíces cuadradas de números negativos representan números inexistentes los denominan números imaginarios, y los admitían como ficciones útiles que les permitían resolver ecuaciones de tercer grado.

En 1849 regresó a Gotinga para realizar su tesis doctoral con la guia de Gauss, el trabajo titulado “Fundamentos para una teoría general de las funciones de una variable compleja” fue aprobado por el tribunal en 1851, en este trabajo se plasmaron las bases de la topología moderna.

La topología es el estudio de las propiedades que no se modifican al aplicarse una deformación topológica.

A pesar de estos grandes aportes por parte de Euler nunca explicó claramente la representación de estos números nuevos, por lo que la existencia de estos números estuvo en debate hasta 1799 donde gracias a la Tesis doctoral de Gauss fueron aceptados finalmente. La idea de Gauss sobre estos números consistía en que cada número complejo representa en realidad un punto en el plano .

Leonhard Euler en el siglo XVIII fue el primero en operar abiertamente con estos números y estudiarlos, quien propuso que i²=-1, por lo tanto √-1=i, también él fue quien llamó números complejos a los números de tipo a+bi.

El primero en hablar de funciones fue Leonhard Euler quien definió que una función era una regla que a cada número le asigna, a su vez, un número; esta regla debía ser expresada necesariamente por una fórmula la cual podemos llamar f, la forma en la que expresamos y escribimos las funciones es como lo hacía Euler.

También demostró teoremas referidos a estos, por ejemplo en 1748 publicó su famosa fórmula conocida como la fórmula de Euler.

condiciones para una regla de asignación

Dirichlet planteó dos condiciones que debían cumplirse para una regla de asignación, la regla debía indicar de forma clara y precisa qué imagen se le asigna a cada número, y también ningún número podía tener más de una imagen diferente.

Surge un problema al cumplirse esta última cuando se trata de funciones de variable compleja, Riemann llamaba funciones multiformes a aquellas funciones que presentaban esta ambigüedad y uniformes a las que siguen las primeras condiciones.

Superficies de Riemann.

Lo que hoy conocemos como superficies de Riemann, eran invariantes topológicos, superficies que Riemann asociada a funciones de variable compleja una superficie, la importancia de esta asociación está en que muchas de las propiedades de la función compleja se reflejan en propiedades topológicas de su superficie asociada.

Estas superficies nos dan un modo de mostrar gráficamente las características de una función de variable compleja. En las discontinuidades de una función en las superficies de Riemann representan una línea por la cual es posible pasar de una capa a otra de la superficie.

Habilitationsschrift

1850El sueño de Riemann era convertirse en profesor de matemáticas en la universidad de Gotinga, pero para realizarlo debía a parte de tener un doctorado realizar una investigación original y diferente de la de su tesis doctoral para hacerlo, llamada Habilitationsschrift.

Empezó a trabajar en esta tesis en 1852 y en 1854 se contacto con su director, que era Gauss, para comunicarle sus temas.

Como un requisito de este trabajo era realizar tres investigaciones diferentes para que después de desarrollarlas un poco su director escogería cual completar.

tema para Habilitationsschrift

La investigación estuvo lista en mayo de 1854, el trabajo se tituló “Sobre las hipótesis que sirven de fundamento a la geometría”, el cual contenía poderosas ideas que llevaron a la reformulación de la geometría y de la física.

Opciones de temas para el trabajo de habilitación de Riemann, (ordenados por preferencia de Riemann)

• El primero era exponer un nuevo concepto matemático, conocido hoy como la integral de Riemann.
• El segundo era un análisis físico-matemático de la distribución de las cargas eléctricas en cuernos no son ni conductores ni no conductores.
• Y el tercer tema propone reformular los principios de la geometría, así como la revisión de algunos de los conceptos centrales de la física de Newton.

En septiembre de 1854 comenzó a trabajar como profesor en la Universidad de Gotinga, donde debido a su personalidad al principio se le dificulto el dar clases, pero logró adaptarse.

Por ser una idea novedosa y en la que también había pensado Gauss en algún momento opto por la tercera opción para completar.

Distancia entre dos puntos.

Esfera e Hiperesferas.

En su trabajo de habilitación Riemann extendió la idea de distancia entre dos puntos a una variedad diferencial cualquiera, por lo que introdujo el concepto de geodésica el cual es el camino más corto de todo slos que conectan dos puntos de esa variedad diferencial; por lo que teniendo en cuenta este modo, las rectas son las geodésicas del plano. Riemann dijo que la distancia entre dos puntos de una variedad diferencial cualquiera es la longitud del arco de geodésica que los conecta.

Riemann postuló que el universo en el que vivimos, en realidad es una variedad diferencial de tres dimensiones. Una superficie esférica es la “cáscara” de un cuerpo tridimensional perfectamente simétrico, una hiperesfera es la “cáscara tridimensional” de un objeto de cuatro dimensiones perfectamente simétrico.

La integral de Cauchy

Debido a que esta idea sonaba contradictoria al tratar de explicarse y al requerirse una fundamentación lógica para esta, Augustin Louis Cauchy en 1817 en su libro “Curso de análisis” planteó la idea de que en lugar de ser rectángulos infinitos de base dx, los cambio por rectángulos que tuvieran una base pequeña para luego imaginar que esas bases se van reduciendo cada vez más, obteniendo así aproximaciones más exactas al área que se busca conforme las bases se hacen más pequeñas. A pesar de que esta idea tiene lógica no se consideró la existencia de funciones discontinuas, por lo que al aparecer estas la integral de Cauchy quedó obsoleta.

La idea de integral fue desarrollada por Newton y Leibniz de manera independiente con el propósito de solucionar el problemas de calcular el área de la región entre el eje horizontal y el gráfico de una cierta función, para solucionar este problema plantearon que el área a calcular estaba formada por infinitos rectángulos.

integral de Riemann

El trabajo preferido de Riemann fue la de su integral, quien en un principio planteó el problema que él intentaba resolver, Dirichlet, visitó Gotinga durante 1852, durante la elaboración de su habilitación, y pudo conversar con él y obtener sus notas, a pesar de gustarle mucho esta idea después de que el tema de su habilitación fuera uno diferente después de esto ya no intentó publicar su trabajo, si no que fue hasta 1867 y Dedekind quien tomaras las notas de Riemann y realizará un artículo para publicarlo, el artículo se tituló “Sobre la posibilidad de representar una función mediante una serie trigonométrica”.

Sumas infinitas

Riemann demostró que no todas las sumas infinitas dan el mismo resultado sin importar el orden de los factores, demostró que, dado cualquier número real S, siempre es posible reordenar la suma de modo tal que su resultado sea el número S elegido.

Anteriormente se trataba a las series solo como sumas muy largas, pero después de que aparecieran paradojas, como as de multiplicar una ecuación de primer grados por una serie de términos infinitos cuál sería el resultado, pero por estas circunstancias se concluyo que las series se rigen por reglas que determinan su comportamiento.

En su artículo Riemann analizó elipsoides hechos de un gas homogéneo, estudió la variación de sus longitudes a lo largo del tiempo, así como la rotación alrededor de ellos de los diferentes componentes del cuerpo.

En 1859 expuso ante la Real Sociedad de Ciencias de Gotinga su trabajo titulado “Sobre la propagación de ondas de aire planas con amplitudes de oscilación finitas”, donde resolvía las ecuaciones que describen los movimientos de los gases bajo diferentes condiciones de presión y temperatura,publicado en 1860, en 1854 trabajó en la explicación de un fenómeno físico, es “Una contribución a la investigación del movimiento de un fluido uniforme en un elipsoide”, publicado igualmente 1860.

La idea de considerar a los gases como formados por partículas puntuales anticipa la que sería años más tarde la hipótesis fundamental de la mecánica estadística de Boltzmann.

Elipsoide: una versión tridimensional de una elipse

Riemann descubrió muchos de los teoremas de la teoría de las funciones abelianas pensando en experimentos simples sobre el flujo de corrientes eléctricas en placas delgadas. Y el segundo en 1859 donde se planteó un problema relativo a la que hoy se conoce como la función zeta de Riemann.

En 1857 Riemann retomó las ecuaciones de Abel sobre las ecuaciones y funciones abelianas y las usó para plantear nuevos problemas de minimización, los cuales resolvió haciendo uso de lo que él denominó el principio de Dirichlet, que dice que todos los fenómenos físicos siempre evolucionan en la dirección de hacer el menor esfuerzo posible.

Habilitationsschrift

Esta hipótesis es importante porque muchos de los problemas relacionados con la distribución de los números primos están asociados a ella, donde estimo mucho mejor un método para calcular la cantidad de números que hay entre dos números primos, partió de una igualdad planteada un siglo antes por Euler, en este trabajo demostró que todas las raíces no tribales están ubicadas en la franja vertical del plano complejo comprendida entre 0 y 1.

En 1860 fue nombrado miembro de la Academia Francesa de Ciencias, así como de la Real Sociedad de Londres.

Era costumbre que cada miembro de la Academia de Ciencias de Berlín expusiera ante sus colegas el resultado de alguna investigación propia y original, por lo que Riemann al formar parte de esta en 1859 lo hizo, con la investigación “Sobre el número de primos por debajo de un determinado valor”, en el planteo su famosa Hipótesis de Riemann, la cual dice que todas las raíces no triviales de la función zeta están en la recta vertical que corresponde al valor ½, un problema que hasta hoy no se ha resuelto y es considerado uno de los problemas no resueltos más importantes de todas las matemáticas.

El descenlace de su vida

Un mes después de casarse se enfermo de pleuritis que se transformó en tuberculosis. Por lo que tuvo que viajar a Italia,pues los doctores le recomendaron el clima de este país para ayudarlo a recuperarse, lo cual funcionó por un tiempo por lo que regresó en marzo de 1863 a Gotinga con la intención de retomar su deberes, pero sufrió una recaido que lo obligó a regresar a Italia, donde nació su hija, por estas circunstancias su situación económica volvió a representar un problema, pero gracias a la intervención de sus amigos en Alemania y a la Universidad de Gotinga que le envió una importante suma de dinero, puso alquilar una casa en el campo.

En 1862 se casó con Elise Koch, amiga de sus hermanas, y en 1863 nació su hija Ida.

Ninguno de los hermanos Riemann tuvo una vida larga, murieron alrededor de los 40, esto se atribuye a las precariedades que sufrieron durante su infancia, por lo que la historia para Bernhard no fue distinta.

Regresó a Gotinga por última vez en 1855 para reunirse con sus amigos y arreglar sus papeles, para poco después volver a Italia, donde se instaló en la ciudad de Selasca donde el 20 de julio de 1866 falleció.

Riemann y einstein

A Riemann le interesaba la física, tanto así que cinco de catorce artículos que publicó están dedicados a explicar este tipo de fenómenos.

Dio la idea de que cualquier fuerza que actúe entre dos partículas deben propagarse necesariamente a una velocidad finita, además, identifica esa velocidad de propagación con la de la luz, predicción corroborada por Einstein décadas después.

Riemann entendía que las leyes de la física debían formularse en términos de la geometría local del universo. Aunque Riemann no desarrolló estas ideas, fueron retomadas por Albert Einstein, constituyendo una de las bases fundamentales de la teoría de la relatividad, para Einstein el universo era diferente a como lo planteaba Riemann, para él este era una variedad tetradimensional, donde la cuarta dimensión es el tiempo.

Hasta donde se sabe, Riemann fue el primero en plantear el problema de reunir la descripción de todas las fuerzas de la naturaleza bajo una misma teoría, denominado más tarde por Einstein como “El problema del campo unificado”, aunque nunca llegó a una conclusión definitiva sobre este.

CREDITOS

Universidad Nacional Autónoma de México.Facultad de Ingeniería. Asignatura. CÁLCULO INTEGRAL Grupo. 17 Profesor. Juan Velázquez Torres Alumno. Villa García Arely Guadalupe

Información obtenida del libro: "La conjetura fundamental sobre los números primos RIEMANN"

¡GRACIAS!

-La ciencia recae sobre los hombros de gigantes-

Universidad de Gotinga

Gauss y Dirichlet fueron personajes muy influyentes en la vida de Riemann

Topología. Esta ciencia nace en 1736, en el artículo de Euler cuando resolvió el problema de los siete puentes de Konigsberg, quien usó la palabra “Topología” fue el matemático Johan Benedict en 1861.