POLINOMI

POLINOMI

Prerequisiti:

1. M.C.D. e M.C.M.

2. Operazioni con i numeri naturali, interi e razionali

3. Monomi

Ripasso

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Definizione di polinomio

Un polinomio è una somma algebrica di monomi

Ciascuno dei monomi che compongono il polinomio si dice termine del polinomio.

Forma normale di un polinomio

Un polinomio è ridotto in forma normale, quando

• i suoi termini sono monomi in forma normale,
• non ci sono monomi simili.

Coefficiente di un polinomio

• I coefficienti di un polinomio ridotto sono i coefficienti dei monomi che lo compongono.

• Il termine costituito soltanto da un numero è il termine noto.

Polinomi uguali e polinomi opposti

Due polinomi ridotti sono:

• opposti, se uno è composto da tutti i termini opposti dell’altro;

• uguali, sono composti dagli stessi termini.

Grado di un polinomio

Dato un polinomio ridotto e non nullo chiamiamo:

• grado rispetto a una lettera il massimo esponente di tale lettera nel polinomio;
• grado del polinomio il maggiore tra i gradi dei suoi termini.

Un polinomio ridotto e non nullo è di grado 0 rispetto a qualunque lettera che non compare esplicitamente.

Polinomi omogenei, completi e ordinati.

Un polinomio è:

• omogeneo se è ridotto e tutti i suoi termini hanno lo stesso grado;
• ordinato rispetto a una lettera se ha i termini disposti in modo che gli esponenti di quella lettera siano decrescenti o crescenti;
• completo rispetto a una lettera se nei suoi termini compaiono tutte le potenze di tale lettera, da quella con esponente massimo a quella con esponente 0.

Polinomi come funzioni

Ogni polinomio con una lettera è una funzione di una variabile, perché a ogni numero reale attribuito alla lettera, fa corrispondere uno e un solo valore (che si ottiene sostituendo alla lettera il numero dato).

Funzione polinomiale

Il valore P(x) di una funzione polinomiale si può calcolare per qualsiasi valore di x, quindi: il dominio di una funzione polinomiale è ℝ. I valori che annullano un polinomio si chiamano zeri del polinomio.

Polinomi come funzioni

Ogni polinomio con una lettera è una funzione di una variabile, perché a ogni numero reale attribuito alla lettera, fa corrispondere uno e un solo valore (che si ottiene sostituendo alla lettera il numero dato).

Addizione e sottrazione di polinomi

Dati due polinomi, la loro:

• somma è la somma algebrica dei termini del primo polinomio con quelli del secondo;
• differenza è la somma algebrica del primo polinomio con l’opposto del secondo.

Moltiplicazione di un monomio per un polinomio

Il prodotto di un monomio per un polinomio è la somma algebrica dei prodotti del monomio per ciascuno dei termini del polinomio.

Interpretazione geometrica della moltiplicazione monomio-polinomio

Moltiplicazione di polinomi

Il prodotto fra due polinomi è la somma dei prodotti di ognuno dei termini del primo polinomio per ciascuno dei termini del secondo.

Interpretazione geometrica della moltiplicazione di polinomi

Quadrato di binomio

Il quadrato di un binomio è uguale alla somma dei quadrati dei due termini e del loro doppio prodotto.

Interpretazione geometrica del quadrato di binomio

Somma di due termini per la loro differenza

Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale alla differenza tra il quadrato del primo termine e il quadrato del secondo.

Interpretazione geometrica del prodotto somma per differenza

Cubo di binomio

II cubo di un binomio è uguale alla somma di:

• cubo del primo termine;
• triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo;
• triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo;
• cubo del secondo termine.

Interpretazione geometrica del cubo di binomio

Quadrato di un trinomio

Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei tre termini e dei doppi prodotti di ogni termine per ciascuno di quelli che lo seguono.

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