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Interés compuesto
fernando13garcia
Created on February 16, 2024
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Interés compuesto
En el interés simple: el capital que genera el interés permanece constante durante todo el préstamo.
El interés compuesto: Es el intgenerado en un periodo dado se convierte en capital para el siguiente periodo.
El interés simple generado al final del primer periodo se suma al capital original, formándose un nuevo capital. Con este nuevo capital se calcula el interés simple generado en el segundo periodo y el interés se suma al capital, y así sucesivamente. La suma total obtenida al final del proceso se conoce como monto compuesto, o valor futuro.
El interés compuesto se puede definir también como la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos.
I = F – P Ecuación 6.1 En donde: I = Interés compuesto F = Monto compuesto P= Capital original
Tomás invierte $500,000 al 15% anual capitalizable cada mes, a un plazo de 6 meses. Calcule: a) El monto compuesto al final de los 6 meses. b) El interés compuesto ganado. c) Compare el monto compuesto con el monto simple.
Como el período de capitalización es mensual, es necesario convertir la tasa de interés anual a tasa de interés mensual: i = 15/12 = 1.25% mensual = 0.0125 por mes
Capital original: $500,000.00 Interés del primer mes = (500,000) (0.0125) (1) = $6,250.00 Monto al final del primer mes $506,250.00
El monto obtenido en el primer mes se convierte en capital al inicio del segundo mes. Con este nuevo capital se calcula el interés del segundo mes
Capital $506,250.00 Interés del segundo mes = (506,250) (0.0125) (1) = $6,328.13 Monto al final del segundo mes $512 578.13
Capital $512,578.13 Interés del tercer mes = (512,578.13) (0.0125) (1) = $6,407.23 Monto al final del tercer mes $518, 985.36
Capital $518,985.36 Interés del cuarto mes = (518,985.36) (0.0125) (1) = $6,487.32 Monto al final del cuarto mes $525,472.68
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Presentación Esencial
Capital $525,472.68 Interés del quinto mes = (525,472.68) (0.0125) (1) = . $ 6,568.41 Monto al final del quinto mes $532,041.09
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Capital $532,041.09 Interés del sexto mes = (532,041.09) (0.0125) (1) = $6,650.51 Monto al final del sexto mes $538,691.60
¡Vamos!
El monto compuesto obtenido al final de los 6 meses es de $538,691.60
El interés compuesto ganado por la inversión se obtiene usando la ecuación (6.1) I= F-P I = 538 691.60 − 500 000 = $38 691.60 Interés compuesto =Monto compuesto - capital original
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Presentación Esencial
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Si la inversión se hubiera llevado a cabo a interés simple, entonces el monto obtenido hubiera sido: F = 500 000[1+(0.0125)(6)] = $537 500
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Formula de interés compuesto:
Donde: F = Monto compuesto o valor futuro P= Capital original. i= Tasa de interés por período de capitalización (expresada en forma decimal). n= Número total de períodos de capitalización.
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Tomás invierte $500,000 al 15% anual capitalizable cada mes, a un plazo de 6 meses. Calcule: a) El monto compuesto al final de los 6 meses.
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F= 500,000( 1+0.0125)
F= $538,691.59
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Calcule el monto compuesto y el interés compuesto después de 10 años si se invierten $325 000 a una tasa del 12% anual con capitalización trimestral.
Solución: La tasa de interés dada es anual y el período de capitalización es trimestral. Por lo tanto, la tasa de interés por período de capitalización es: i = 12/4 = 3% trimestral capitalizable cada trimestre
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El tiempo de inversión es de 10 años, esto es, 40 trimestres, ya que un año consta de 4 trimestres. Por lo tanto, hay 40 períodos de capitalización. Luego, Sustituyendo los valores en la ecuación (6.2) se tiene: F = 325,000 [ 1 + 0.12/4]^40 = 325,000(1 + 0.03)^40 = $1,060,162.28 El interés compuesto que se ganó fue de: I = 1,060,162.28 − 325,000 = $735,162.28
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Ejemplo 6.2 Calcule el monto compuesto y el interés compuesto después de 10 años si se invierten $325 000 a una tasa del 12% anual con capitalización trimestral.
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Ejemplo 6.3 ¿Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al cabo de 5 años si se invierten $75 000 al 1.12% mensual con intereses capitalizables cada bimestre?
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Ejemplo 6.4 ¿Qué interés producirá un capital de $50 000 invertido al 15% anual compuesto cada 28 días, en 2 años? Utilice el a) año natural b) año comercial.
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Ejemplo 6.6 Se invirtieron $600 000 en un banco por 5 años. Cuando se realizó el depósito, el banco estaba pagando el 14% capitalizable cada trimestre. Tres años y medio después, la tasa cambió al 12.2% capitalizable cada mes. Calcule el monto al finalizar los cinco años.
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Formula: monto compuesto con tasa de interés variable
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Ejemplo 6.7 El 01 de abril de 2017 se efectuó un deposito de $50,000 e una Sociedad Cooperativa de Ahorro y Prestamo (SOCAP) que pagaba el 20% de interés capitalizable cada mes, con fecha de vencimiento septiembre 2018. El 01 de octubre de 2018 se depostiron $38,000en la cuenta, y ese mismo día la tasa de interés cambío al 15% capitalizable cada quincena, con fecha de vencimiento 01 enero 2020. Si la tasa de interés volvio a cambiar el 01 de enero de 2020 al 9% capitalizable cada mes, con fecha de vencimiento octubre 2020.
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Realiza los siguientes ejercicios: De la página 205 ejercicios 6.1 1,2, 4,6,9
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Calculo de valor presente
Ejemplo 6.8 ¿Cuál es el valor presente de $120 000 que se pagarán dentro de 2 años si la tasa de interés es del 30% y los intereses se capitalizan cada bimestre?
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Calculo de la tasa de interes
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Ejemplo 6.14 Se desea duplicar un capital en un año. Si la capitalización se lleva a cabo cada semana, ¿a qué tasa de interés debe invertirse?
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Calculo del plazo:
Ejemplo 6.17 ¿Cuánto tiempo ha estado invertido un capital que, colocado al 17.5548% capitalizable cada quincena, ha proporcionado un interés compuesto igual al 30% del capital?
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Realiza los siguientes ejercicios: De la página 205 ejercicios 6.3 23,29,33,36,37,38,47,53,55,58
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Tasas de interés equivalentes
La tasa de interés anual que se capitaliza varias veces en un año se llama tasa de interés nominal, o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en una operación financiera y queda estipulada en el contrato; por esta razón también se llama tasa contractual. Se dice que dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización son equivalentes si producen el mismo monto compuesto al final de un plazo dado.
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Ejemplo: Al invertir $1000 al 25% capitalizable cada trimestre, el monto obtenido al final de dos años será de $1,624.17. Si el dinero se invierte al 24.372774% con capitalización quincenal, al final de dos años se tendrá un monto de $1,624.17. Como el monto compuesto es el mismo en ambos casos, se dice que las tasas de interés son equivalentes.
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Fórmula tasa de interés equivalente:
ieq= tasa equivalente m= capitalizaciones al año, de la tasa nominal q= capitalizaciones al año, de la tasa equivalente i=tasa nominal p= monto
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Ejemplo 6.21 ¿Qué tasa de interés capitalizable semestralmente produce el mismo monto que la tasa del 18% capitalizable cada mes?
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Tasa efectiva:
Tasa de interés anual capitalizable una vez al año que es equivalente a una tasa nominal anual i capitalizable m veces al año.
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ie= tasa efectiva i= tasa nominal m= capitalizaciones al año, de la tasa nominal
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Ejemplo 6.22 ¿Cuál es la tasa efectiva del dinero invertido a la tasa nominal del 22.3% capitalizable en forma trimestral?
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Realiza los siguientes ejercicios: Página 6.3 1,2,3,4,6,7,8,9,11
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Calculo de la tasa nominal a partir de la tasa efectiva: Se utiliza para determinar i, cuando conocemos la tasa efectiva y la frecuencia de capitalización.
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Presentación Esencial
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ie= tasa efectiva i= tasa nominal m= capitalizaciones al año, de la tasa nominal
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Ejemplo 6.24 Calcule la tasa de interés nominal capitalizable cada quincena que produce una tasa efectiva del 16.1292% anual
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Tasa efectiva para un periodo diferente a un año:
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Presentación Esencial
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ieq= tasa equivalente m= capitalizaciones al año, de la tasa nominal n= plazo q= capitalizaciones al año, de la tasa equivalente i=tasa nominal
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Ejemplo 6.26 Se invierten $85,000 a una tasa nominal del 18% capitalizable cada mes durante 9 meses, calcule: a) El monto final de los 9 meses b) La tasa efectiva anual c) La tasa efectiva en el perido de inversión ( 9 meses)
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Presentación Esencial
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Realiza los siguientes ejercicios: Página 6.3 12,15,16,17,18,19,29,30
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Presentación Esencial
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Ecuaciones de valor:
Una ecuación de valor es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de deudas es igual a la suma de los valores de un conjunto de deudas propuesto para reemplazar al conjunto original, una vez que sus valores de vencimiento han sido trasladados a una fecha común, llamada fecha focal, o fecha de valuación.
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Presentación Esencial
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La fecha focal, elegida de manera arbitraria, permite plantear la ecuación de valor.
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Ecuaciones de valor:
Las ecuaciones de valor son una de las técnicas más útiles de la matemática financiera, ya que permiten resolver diversos tipos de problemas financieros.
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Presentación Esencial
Para resolver las ecuaciones de valor, se pueden utilizar los diagramas de tiempo-valor.
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Éstos consisten en una línea horizontal con una escala de tiempo expresada en años, meses, días, etc., dependiendo del problema, y en ella se indican los montos de las deudas, tanto originales como propuestas.
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Ejemplo 6.28 :
Javier tiene una deuda que debe saldar de la siguiente forma: $12 200 en este momento y $16 400 dentro de dos meses. Si desea saldar completamente su deuda el día de hoy, ¿cuánto tendrá que pagar si la tasa de interés es del 25.8% anual capitalizable cada mes?
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Presentación Esencial
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Solución:
En primer lugar se establece la fecha focal, ya que ésta es fundamental para la solución del problema.
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Presentación Esencial
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Si Javier desea saldar su deuda el día de hoy, no deberá pagar $28 600 (que es la suma de $12 200 más $16 400), ya que $16 400 son un valor futuro, mientras que $12 200 vencen hoy.
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Solución:
Lo que se puede hacer es calcular el valor presente de $16 400 y, entonces sí, sumar esta cantidad a los $12 200.
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Presentación Esencial
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Por lo tanto, el día de hoy parece una fecha focal “natural”
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Solución:
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Presentación Esencial
El punto 0 representa el momento actual, o presente, y x representa la cantidad total a pagar el día de hoy para saldar la deuda; es decir, el pago propuesto.”
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El conjunto original de obligaciones se coloca en la parte superior del diagrama y la obligación propuesta en la inferior.
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Solución:
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Presentación Esencial
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Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas
12,200+p1= x 12 200 +15 716.91 = x
¡Vamos!
x =$27 916.91
Ejemplo: 6.29Resuelva utilizando como fecha focal el mes dos.
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Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas
f1+ 16,400 = f2
12,730.24 +16,400=1.04346225x
¡Vamos!
x= 27,916.91
Ejemplo: 6.30Una deuda de $30 000, con intereses incluidos, vence en un año. El deudor da un abono de $10 000 a los 4 meses y da otro de $15 000 a los 9 meses. Encuentre la cantidad por pagar en la fecha de vencimiento si se acuerda una tasa de interés del 2.3% mensual capitalizable cada mes.
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Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas
¡Vamos!
p1=15,000+ f1+p2
Ejemplo: 6.30Una deuda de $30 000, con intereses incluidos, vence en un año. El deudor da un abono de $10 000 a los 4 meses y da otro de $15 000 a los 9 meses. Encuentre la cantidad por pagar en la fecha de vencimiento si se acuerda una tasa de interés del 2.3% mensual capitalizable cada mes.
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Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas
¡Vamos!
p1=15,000+ f1+p2
Ejemplo: 6.31 Rigoberto debe pagar $27 810 dentro de 4 meses y $46 560 dentro de 8 meses, pero debido a una situación personal, le propone a su acreedor pagar mediante dos pagos iguales: el primero dentro de 5 meses y el segundo al cabo de 11 meses. Obtenga el valor de los pagos si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés del 23% capitalizable cada quincena.
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Valor total de las deudas originales = Valor total de las deudas propuestas
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f1+ f2 =f3+ x
Ejemplo 6.33 ¿Qué cantidad deberá depositar Olivia el día de hoy en una inversión bancaria que paga el 1.13% mensual capitalizable cada bimestre a fin de retirar $25 000 dentro de 5 meses y $40 000 dentro de un año y tener un monto en la cuenta, al cabo de 15 meses,igual al 25% del capital originalmente depositado?
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¿Ejemplo: 6.34 Tomás tiene las siguientes deudas con el señor De la Vega: $36 110 que debe pagar dentro de 6 meses y $52 430 que debe pagar dentro de 10 meses. El señor De la Vega aceptó recibir un abono el día de hoy de $25 000, que Tomás tenía disponibles. Si Tomás desea liquidar su adeudo mediante un segundo pago de $55 000, ¿en qué fecha deberá realizarlo? La tasa de interés acordada es del 24% capitalizable cada quincena.
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¿Realiza los siguientes ejercicios. Apartado 6.4 de la página 247 1,2,4,5,6 y 10
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¿Realiza los siguientes ejercicios. Apartado 6.4 de la página 247 7,8,9,11 y 13
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¿Realiza los siguientes ejercicios. Apartado 6.4 de la página 247 14,15,16.17,19
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