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La geometria non euclidea
anna
Created on February 16, 2024
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Transcript
LA GEOMTRIA NON EUCLIDEa
e che cosa sono gli spazi non euclidei
indice
Chi è Euclide?
La sua storia
La geometria euclidea
La geometria non euclidea
La sua storia
I postulati euclidei
Geometria iperbolica
Geometria ellittica
Principali tipi
Spazio prospettivo
Spazio affine
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Spazi non euclidei
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LA GEOMETRIA EUCLIDEA
La geometria euclidea è una branca della matematica che studia le proprietà e le relazioni degli oggetti all'interno di uno spazio bidimensionale e tridimensionale, basandosi sui postulati euclidei.Gli oggetti geometrici studiati comprendono anche linee, punti, rette rappresentati mediante il sistema di coordinate cartesiane.
LA SToria della geometria
La geomtria risale a tempi molto più antichi rispetto alla nascita di Euclide, infatti possiamo collocare la sua invenzione durante la preistoria. Lo storico Erodoto la colloca intorno all'anno 1300a.c circa in Egitto.Il termine deriva dal greco 'ghe' terra e metria misurazione, misurazione dei terreni. Nacque dall'esigenza pratica di popoli antichissimi per consentire loro di misurare l'estensione delle loro terre. Successivamente raggiunse grande splendore intorno al 6 secolo a.c con Talete proprio in Grecia.
chi e' EUCLIDE?
Visse probabilmente nel 4 secolo a.c ad Alessandria d' Egitto durante il regno di Tolomeo 1. E' stato un matematico e filosofo dell'antica Grecia. Alcuni studiosi lo collocano tra i più giovani discepoli di Platone. Il suo nome è particolarmente noto per la più importante opera di geometria dell'antichità, gli Elementi. Infine muore nel 3 secolo a.c
I cinque postulati di euclide
I postulati di Euclide, detti anche assiomi di Euclide o assiomi euclidei o postulati di appartenenza, definiscono i legami tra gli enti geometrici fondamentali della geometria euclidea ovvero il punto, la retta e il piano. Il punto: non ha dimensioni ed è indicato attraverso lettere maiuscole A, B, C La retta: insieme infinito di punti, ha una sola dimensione, non ha un inizio ne una fine Il piano: possiede solo due dimensioni e non ha spessore, ed è infinito
il primo postulato di euclide
Il fascio di rette
LA SPIEGAZIONE
Per un punto A del piano passano infinite rette, ovvero formano un fascio di rette
il secondo postulato di euclide
Una rette per due punti su un piano
LA SPiegazione
Per due punti distinti A e B appartenenti al piano passa una e una sola retta
IL terzo postulatodi euclide
Tre punti e una retta su un piano
LA SPIEGAZIONE
Per tre punti allineati A B C apparteneti al piano passa una e una sola retta Per tre punti non allineati A B C appartenenti al piano non passa nessuna retta
IL quarto postulatodi euclide
Il fascio di piani
LA spiegazione
Per tre punti allineati A B C, o per una retta, passano infiniti piani, ovvero formano un fascio di piani
Il quinto postulatodi euclide
Punti rette e piani
LA spiegazione
Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano
La spiegazione
Per una retta e un punto al difuori di essa passa uno e un solo piano
La spiegazione
Per due rette che si incontrano in un unico punto passa uno e un solo piano
LA GEometria non euclidea
Con il termine geometria non euclidea si intende la geometria basata sulla negazione o modifica di uno o più postulati euclidei. Viene anche semplificata con il termine metageometria. La principale deviazione dalla geometria euclidea si può notare all'interno del quinto postulato, quello delle rette parallele, questo postulato viene modificarto e negato portando a conseguenze diverse.
La storia della geometria non euclidea
La storia della geometria non euclidea è un affascinante viaggio attraverso la sfida basata sulla negazione della geometria tradizionale, avviata principalmente nel XIX secolo. In particolare intorno al XVIII-XIX secolo, emersero dei dubbi sulla validità assoluta degli assiomi euclidei. Uno dei precursori della geometria non euclidea fu il matematico italiano Girolamo Saccheri, che studiò i sistemi geometrici che si discostavano dai principi euclidei. Tuttavia, il vero punto di svolta si verificò con Nikolai e János Bolyai che svilupparono sistemi geometrici non euclidei. In particolare sviluparrono questi nuovi sistemi negando il quinto postulato.
LE principali Geometrie non euclidee
La geometria ellittica
La geometrai iperbolica
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La geometria iperbolica
In questa geometria, il quinto postulato di Euclide è negato. Ciò significa che attraverso un punto esterno a una retta, possono essere tracciate più di una retta parallela a quella data. In termini intuitivi, la somma degli angoli di un triangolo in questa geometria è inferiore a 180 gradi, e il concetto di rette parallele è diverso rispetto alla geometria euclidea.
la geometria ellittica
In questo tipo di geometria, il quinto postulato di Euclide viene sostituito con una sua versione alternativa. In particolare, in geometria ellittica, non esistono rette parallele. Tutte le linee, se estese, si incontrano alla fine. Gli angoli di un triangolo sono sempre maggiori di 180 gradi.
gli spazi non euclidei
Tutte le geometrie considerate non euclidee possono avere uno spazio in cui vengono rappresentate.Però lo spazio nella geometria non euclidea ha un'accezione diversa, possiamo dunque definirlo una struttura in cui gli elementi geometrici e le loro relazioni reciproche possono essere studiate. Rispetto alla geometria questo spazio è più flessibile infatti non è piatto ma può presentare curvature iperboliche o anche ellittiche.
Gli spazi non euclidei sono sapzi geometrici in cui non entrano in vigore gli assiomi e i postulati fomulati da Euclide, quindi presentano caratteristiche e delle regole diverse dallo spazio che concepiamo noi abitualmente.
LO spazio proiettivo
lo spazio proiettivo è lo spazio ottenuto da uno spazio euclideo aggiungendo i cosiddetti "punti all'infinito". Una delle rappresentazioni più comuni dello spazio proiettivo è lo spazio proiettivo reale a n dimensioni, dove n rappresenta la dimensione dello spazio. Questo concetto ha applicazioni in campi come la grafica computerizzata, la geometria differenziale, la teoria dei gruppi e molte altre.
Lo spazio affine
Lo spazio affine è uno spazio geometrico astratto in cui non è definita alcuna misura delle distanze, degli angoli o delle proporzioni.Le sue principali caratteristiche:
- Invarianza per traslazione: le traslazioni di tutti gli oggetti geometrici nello spazio affine non cambiano la loro natura fondamentale.
- Linee rette e parallelismo: Le linee rette in uno spazio affine sono definite come l'insieme di tutti i punti tra due punti qualsiasi. In uno spazio affine, il concetto di parallelismo è definito come l'assenza di intersezione tra due linee rette
- Combinazioni affini: Un'operazione importante nello spazio affine è la combinazione affina, che coinvolge la combinazione lineare di punti con coefficienti che sommano a 1.