Progresión 14 PM2

PROGRESIÓN DE APRENDIZAJE 14

Modela situaciones y resuelve problemas en los que se busca optimizar valores aplicando el teorema fundamental de la programación lineal y combinando elementos del lenguaje algebraico que conciernen al estudio de desigualdades y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

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Optimización matemática

Una desigualdad se define como una expresión matemática en donde se establece que dos valores son diferentes, la forma en cómo se establece dicha diferencia es a través de los signos: diferentes de ≠ , mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, Por tanto, la relación de desigualdad se emplea para demostrar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.

Ejercicios de desigualdades

Resuelve cada una de las siguientes desigualdades: a) 16 + 3x ≤ 24 b) 19 ≤ 8x + 5 c) 20 - 5x ≥ 28 d) 3 ≥ x/4 e) -5y + 12 < 20 f) 2 ≥ 4x + 11

Programación lineal

La programación lineal, es una forma de encontrar varias soluciones posibles a un problema conforme una serie de restricciones. En matemáticas la palabra "programación" hace referencia al conjunto de metodologías o técnicas que se utilizan para resolver problemas, por otro lado la palabra "lineal" se relaciona con las funciones lineales, en donde las variables son de grado 1. En la programación lineal buscaremos obtener un resultado óptimo, en donde la obtención de los mejores resultados se le conoce como "optimización" y significa que debemos maximizar o minimizar la función lineal que corresponda al problema que estamos analizando, en donde maximizar hace referencia al valor máximo y minimizar indica el valor mínimo.

Ejemplo...

Para comprender los conceptos de máximo y mínimo, supongamos que tengo una empresa de dulces que vende chocolates y bombones y cada mes debo vender estos productos, en donde las variables de mi planteamiento son: Variables x = número de chocolates vendidos. Variables y = número de bombones vendidos. Conforme a estas variables, a la fecha de corte o de balance yo deberé saber cuántos productos de chocolates y bombones tendré que vender para obtener las "máximas" ganancias, o bien podría necesitar conocer cuál sería el "mínimo" de ventas que tendría que realizar de un producto a fin de mes para este me fuese rentable. En donde, al finalizar el mes yo he vendido cierta cantidad de chocolates y cierta cantidad de bombones y mediante la suma de esas cantidades se obtiene un resultado de mis ganancias, para nuestro ejemplo diremos que es un valor k dispuesto en miles de pesos. A * Variables X + B * Variable Y = $K Función objetivo

Ejercicio...

Maximizar la función objetivo k(x,y)=35x+45y, bajo las restricciones: 1. 10x + 4y ≤ 180 2. x + 4y ≤ 90 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0 Solución: Comenzaremos por graficar las inecuaciones 1 y 2, para ello cambiaremos el símobolo (≤) por el símbolo (=). Ahora analizaremos un sistema de ecuaciones en donde en la primera ecuación x = 0 y para la segunda ecuación y = 0. 1. 10x + 4y = 180 2. x + 4y = 90 10(0) + 4y = 180 10x + 4(0) = 180 0 + 4y = 90 x + 4(0) = 90 4y = 180 10x = 180 y = 90/4 x = 90 y = 180/4 x = 180/10 y = 22.5 D(90,0) y = 45 x = 18 C(0,22.5) A(0,45) B(18,0)

Continúa...

Ahora buscaremos delimitar la región factible, para saber qué lado de la inecuación deberemos sombrear, sustituiremos un punto arbitrario, y si se cumple la condición de la inecuación colocaremos el área sombreada hacia donde se localiza el punto que se empleó. Podemos emplear un punto como el origen (0,0) para verificar si se cumple con la desigualdad. 1. 10x + 4y ≤ 180 2. x + 4y ≤ 90 10(0) + 4(0) ≤ 180 0 + 4(0) ≤ 90 0 ≤ 180 0 ≤ 90 ∴ se cumple con las desigualdades Por lo tanto, la región factible será:

¡¡ESTÁS LISTO(A) PARA REALIZAR LA ACTIVIDAD DE REFORZAMIENTO 14!!

Revisa la tarea de la actividad de reforzamiento 14 que se encuentra en la página principal del curso y así podrás avanzar a la tercera evaluación parcial.