Quiz matematica

matematica

I LIMITI

LIMITI DI UNA FUNZIONE

INSIEMI DEI NUMERI REALI:

-INSIEME DEI NUMERI REALI R, è l'insieme di tutti i numeri.

-INSIEME DEI NUMERI NATURALI N, è l'insieme dei numeri che vanno da 0 a +∞ (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...).

- INSIEME DEI NUMERI INTERI RELATIVI, racchiude i numeri con il segno (-;+).

-INSIEME DEI NUMERI INTERI RELATIVI Z, é l'insieme di tutti i numeri che vanno da 0 a +∞ e da 0 a -∞.

- INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI Q, racchiude i numeri riportati sotto forma di frazione.

- INSIEME DEI NUMERI IRRAZIONALI I, racchiude tutti i numeri sotto radice.

INTERVALLI

INTERVALLO: É un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo illimitato) o un segmento (intervallo limitato) della retta reale.

Ci sono diversi tipi di intervalli limitati:

Un intervallo può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo, e può essere rappresentato in tre modi diversi.

INTERVALLI ILLIMITATI

Ci sono diversi tipi di intervalli illimitati:

Un intervallo illimitato corrisponde a una semiretta di origine a; pertanto uno degli estremo con i simboli +∞ (più infinito) o -∞(meno infinito). +∞ e -∞ non sono numeri reali quindi sono esclusi dall'intervallo.

INTORNI DI UN PUNTO

DEFINIZIONE: Dato un numero reale X0, un intorno completo di X0 è un qualunque intervallo aperto I (X0) contenente X0:

I(X0)= ]X0 - S1; x0 + S2[, con S1 , S2 numeri reali positivi.

Dati un numero reale X0 e un numero reale positivo s, un intorno circolare di X0, di raggio s, è l'intervallo aperto is(X0) di centro X0 e raggio: Is(X0)= ]X0 - d; X0 + s[.

Un intorno circolare è un intervallo aperto sia a destra che sinistra e con centro nel punto X0

PUNTI DI ACCUMULAZIONE

Il numero reale X0 è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di R, se ogni intorno completo di x0 contiene infiniti punti di A.

ESEMPIO

Scegliamo come insieme a l'intervallo aperto (0;10 di estremi zero e dieci.

é un sottoinsieme di R perchè contiene al suo interno infiniti numeri.

LIM f(x)= l X X0

Consideriamo la funzione:

definita quando x ≠ 3. Il suo grafico coincide con quello della retta di equazione y=2x se si esclude il punto di ascissa 3. infatti se x≠3:

In x=3 la funzione non è definita, ma 3 è il punto di accumulazione per il dominio della funzione. Dal grafico osserviamo che se x si avvicina a 3, sia da destra sia da sinistra, f(x) si avvicina sempre più a 6. Possiamo confermare questo comportamento anche con una tabella: prendiamo dei valori di x che si avvicinano sempre più (per eccesso o per difetto ) a 3 e calcoliamo le loro immagini f(x).

LIM f(x)= l X X0 continuo

Limite finito per x che tende a X0: La funzione f(x), definita nel dominio D, ha per limite il numero reale l, per x che tende a X0 punto di accumulazione di D, quando, comunque si scelga un numero reale positivo ε, si può determinare un intorno completo I di x0, I(X0), tale che

per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da X0. Si scrive:

LIM f(x)=±∞ x x0

ESEMPIO

=0

+∞

-x3 (x4 - 4x2)= -(+∞)3 · [(

+∞)4-4( +∞)2

]=

+∞

X +∞

+∞

+∞ =

=0

=-∞(+∞-∞)=

-∞

-∞=

INDETERMINATA

+∞

LIM -x3 · x4 (X4 - 4X2)=LIM -X7 · (1-4)=

X +∞

X +∞

>

X2

+∞

X4

X4

-∞

-∞

-∞ =

+∞

-(+∞)7· (1-4)= -∞·1= -∞

+∞

+∞

k=

+∞=

X2

-∞

<

-∞

-∞

-∞

k= =

-∞

>

-∞

+∞

<

lim f(x)= l e lim f(x)=l

X +∞

X −∞

Per poter calcolare il limite di una funzione per x che tende a +∞, il dominio della funzione deve contenere un intervallo illimitato a destra, cioè superiormente, perchè vogliamo considerare valori di x grandi a piacere.

Consideriamo per esempio la funzione f(x)= , definita per x≠0. Assegnamo a x valori positivi sempre più grandi e otteniamo per f(x) i valori indicati nella tabella. Osserviamo che per valori di x crescenti, i valori della funzione si avvicinano al valore 3, ossia per x che tende a +∞ la funzione tende a 3.

lim f(x)= l e lim f(x)=l

X +∞

X −∞

Il caso in cui x tende a -∞ è uguale al precedente

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

TEOREMA

Se il limite di una funzione per x che tende a X0 è un numero l diverso da 0, allora esiste un intorno I di X0 (escluso al più X0) in cui f(x) e l sono entrambi positivi oppure entrambi negativi.

Il teorema afferma che in un intorno di X0 la funzione f(x) ha lo stesso segno di l. il teorema non è valilo nel caso in cui il limite l sia uguale a 0. Per esempio, consideriamo lim(1 - x)=0: in un qualunque intorno completo del punto 1, la funzione y=1 - x assume valori sia positivi sia negativi in ogni intorno destro. Il teorema non si applica.

TEOREMA DEL CONFRONTO

Siano f(x), h(x) e g(x) tre funzioni definite in uno stesso intorno H di X0, escluso al più il punto X0. Se in ogni punto di H diverso da X0 risulta: h(x)≤ f(x)≤ g(x) e il limite delle fue funzioni h(x) e g(x), per x che tende a x0, è uno stesso numero , allora anche il limite di f(x) per x che tende a X0 è uguale a l.

LIMITE DELLA SOMMA

ESEMPIO

LIMITE DEL PRODOTTO

LIMITE DEL QUOZIENTE

FINE

FORZA

FATTO DA:

SEBASTIANO PERGAMO VINCENZO LAMBERTI GIUSEPPE CODA SIMONE ZAPPULLO FORZA SIANo