Aproximaciones finitas y la integral indefinida

Pensamiento matemático II

Aproximaciones finitas y la integral indefinida

Elaboración: Dra. Diana Denys Jiménez Suro Dr. Antonio Jesús Sánchez Hernández Campus Estado de México Campus Santa Fe

La integral definida

La integral definida es la herramienta clave en cálculo para definir y calcular importantes cantidades en matemáticas y ciencias, tales como áreas, volúmenes y longitudes de trayectorias curvas, por sólo mencionar algunas. La idea detrás de la integral es que es posible calcular dichas cantidades si las dividimos en pequeñas partes y sumamos las contribuciones de cada una

Área y su estimación mediante sumas finitas

Suponga que necesitamos determinar el área de la región sombreada 𝑅 que está arriba del eje 𝑥, debajo de la gráfica de , y entre las rectas verticales y .

Por desgracia, no existe una fórmula geométrica simple para el cálculo de áreas de formas generales que tengan fronteras curvas, como las de la región 𝑅. Entonces, ¿cómo se podrá determinar el área de 𝑅? Aunque aún no tenemos un método para determinar el área exacta de R, es posible aproximarla de una manera sencilla

Estimación en exceso del área de 𝑅 mediante dos y cuatro rectángulos que contienen a 𝑅.

Sobre estimación mediante 2 rectángulos

En la primera figura se muestra dos rectángulos que, juntos, contienen a la región 𝑅. Cada rectángulo tiene un ancho de 1/2; por otra parte, tienen alturas (si observamos de izquierda a derecha) de 1 y 3/4. La altura de cada rectángulo es el valor máximo de la función 𝑓, obtenido al evaluar 𝑓 en el extremo izquierdo del subintervalo de [0, 1] que forma la base del rectángulo. La primera estimación del área de la región 𝑅 por los dos rectángulos es

Sobre estimación mediante 4 rectángulos

La estimación anterior es mayor que el área exacta de 𝐴, ya que los dos rectángulos contienen a 𝑅. Decimos que 0.875 es una suma superior, ya que se obtiene tomando la altura de cada rectángulo como el valor máximo (mayor) de 𝑓(𝑥) para un punto 𝑥 en el intervalo que forma la base del rectángulo. En la segunda figura mejoramos la estimación usando cuatro rectángulos más delgados, cada uno de ancho 1/4, los cuales, juntos, contienen a la región 𝑅. Los cuatro rectángulos dan la aproximación

Suma superior del área de 𝑅 mediante 16 rectángulos que contienen a 𝑅.

Ahora suponga que, para estimar el área 𝑅, utilizamos rectángulos contenidos dentro de la región. Al sumar dichos rectángulos con altura igual al valor mínimo de 𝑓(𝑥), para un punto 𝑥 en cada subintervalo que forma la base, con esto obtenemos una suma inferior que aproxima el área.

Suma inferior del área de 𝑅 mediante 16 rectángulos que estan contenidos en 𝑅.

Aproximaciones finitas

Resulta claro que el valor real del área 𝐴 se encuentra entre la suma inferior y la suma superior. Para distintas particiones de rectángulos tenemos

Desmos

Antiderivada

Si tenemos una función 𝑓(𝑥) decimos que 𝐹(𝑥) es una antiderivada o primitiva de 𝑓(𝑥) si se cumple para toda 𝑥 en un intervalo 𝐼

Integral indefinida

Cuando tenemos una función 𝑓(𝑥) con una antiderivada 𝐹(𝑥) podemos observar 𝐹(𝑥)+𝐶 también es una antiderivada de 𝑓(𝑥), a partir de este hecho hablaremos de la integral indefinida de la función 𝑓(𝑥) como

Integrales indefinidas básicas

Propiedades de la integral

Si tenemos dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) y una constante 𝑐, se cumplen las siguientes propiedades: Hay que tener cuidado ya que a diferencia de la derivada no existen fórmulas para el producto ni el cociente de funciones.

Ejercicios

OneNote

Referencias

Thomas

Cálculo de una variable13a. Edición, PEARSON

2015

Prado, et al

Modelación matemática fundamental1a. Edición, PEARSON

2019

Stewart

Cálculo trascendentes tempranas8a. Edición, CENGAGE

2018

Elaboración

Antonio Jesús Sánchez Hernández Campus Santa Fe ajsanchez@tec.mx

Diana Denys Jiménez Suro Campus Estado de México ddjimenez@tec.mx