Résolution de problèmes C2

Enseigner la résolution de problèmes

Yann OLLIVIER / mars 2024 Présentation inspirée des travaux d'Audrey LEININGER (IEN mission maths cycle 2) et d'Olivier KIFFER (CPD maths)

Enseigner la résolution de problèmes...

avec méthodologie

régulièrement

progressivement

la compréhension de l'énoncé

la typologie de Vergnaud

au coeur de l'activité mathématique

1.a

3.a

2.a

chercher, représenter, modéliser

les autres variables didactiques

1.b

2.b

la question de l'emploi du temps

3.b

Enseigner la résolution de problèmes avec méthodologie

La compréhension de l'énoncé

Il ne s'agit pas...

d’ajouter des questions intermédiaires aux problèmes à étapes.

de repérer des mots-clés, des mots inducteurs, des indices (comme « plus », « ajouter », « gagner » > addition Ou « moins », « retirer », « perdre » > soustraction) : on ne serait pas dans la compréhension mais dans la recherche d’indices.

de surligner les données importantes : données utiles, données inutiles.

de trouver quelle opération effectuer.

Gardons à l’esprit qu’il n’y a pas de méthode miracle à suivre pour résoudre un problème. Les mathématiques doivent être considérées par les enseignants et les élèves comme un espace de liberté.

La compréhension de l'énoncé

Il s'agit de comprendre la situation

faire créer des problèmes aux élèves avec des contraintes : « peux-tu faire un problème avec une soustraction ? » avec une contrainte « avec le mot plus » ?

faire raconter « l’histoire » sans les nombres en jeu, pour inviter les élèves à se centrer sur la situation en se détachant des opérations à effectuer.

manipuler du matériel ou jouer la scène peut améliorer la compréhension.

Chercher, représenter, modéliser (et pas uniquement calculer)

1) Comment réussit-on à résoudre des problèmes ?

Les problèmes basiques (2 données, 1 seule étape)

les élèves doivent parvenir à résoudre ces problèmes « en mode automatique ».

Les problèmes complexes

Les modèles basiques seront des briques élémentaires qui aideront les élèves à résoudre des problèmes complexes.

Chercher, représenter, modéliser (et pas uniquement calculer)

2) Passer du « film de l’énoncé » à « l’image de l’énoncé »

Comprendre l’énoncé mathématique (« l’histoire mathématique ») consiste à se faire le film dans sa tête. Il s’agit ensuite de transformer « ce film » en « une image ». Il est fortement conseillé de proposer un enseignement structuré pour y parvenir :_ Il s’agit d’apprendre progressivement aux élèves à représenter une situation en la dessinant puis en la schématisant._ Il peut être très intéressant ensuite de proposer une modélisation.

Chercher, représenter, modéliser (et pas uniquement calculer)

3) Modéliser avec les schémas en barres

Les problèmes basiques :

Chercher, représenter, modéliser (et pas uniquement calculer)

3) Modéliser avec les schémas en barres

Les problèmes basiques :

Chercher, représenter, modéliser (et pas uniquement calculer)

3) Modéliser avec les schémas en barres

Les problèmes complexes :

Outils de référence : Il est important d’assurer la conservation par les élèves de traces écrites par eux de leçons et d’exercices résolus ayant valeur de référence.

Préconisation 1 :

Mettre en oeuvre le triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire »

Aider les élèves à passer du concret à l’abstraction, en proposant un enseignement explicite de la modélisation d’un énoncé de problème arithmétique.

Enseigner la résolution de problèmes progressivement

... dépasser l’idée qu’il y aurait 4 types de problèmes correspondant aux 4 opérations...

La typologie de Gérard Vergnaud

Il est utile de la connaitre et de l’utiliser pour programmer l’enseignement des problèmes basiques, mais il ne s’agit pas de l’enseigner aux élèves. On n’utilise pas le vocabulaire de cette classification avec les élèves. La typologie de G. Vergnaud (avec repérage de la place de l’inconnue) est un outil pour l’enseignant :_ pour construire des séries de problèmes ressemblants ;_ pour ne pas évaluer les élèves sur des types de problèmes qu’il n’aurait pas fait travailler.

Typologie de Vergnaud

Banque de problèmes

Les autres variables didactiques

D’autres variables didactiques sont également à prendre en considération : _ Le nombre d’étapes_ Le champ numérique_ Le contexte

Préconisation 2 :

S’appuyer sur une progression annuelle et une progression de cycle

Identifier les variables didactiques permettant de faire évoluer progressivement la difficulté des énoncés de problèmes proposés aux élèves.

Enseigner la résolution de problèmes régulièrement

Au coeur de l'activité mathématique

La résolution de problèmes doit trouver sa place tout au long de la séquence d’apprentissage.

Des problèmes sont travaillés (et réussis le plus souvent possible !) : - dans des séances décrochées (du type « ateliers de résolution de problèmes ») ; - dans les séquences des domaines « nombres et calculs » et « grandeurs et mesures » ; - dans le cadre du travail de calcul mental (proposer un contexte aux activités de calcul mental contribue à enseigner la compréhension du sens des opérations).

Au coeur de l'activité mathématique

La résolution de problèmes doit trouver sa place tout au long de la séquence d’apprentissage.

Augmenter l’activité des élèves : _ Pas de séance de vocabulaire. _ Pas de présentation longue collective du problème en début de séance qui tue le problème : « arrêter de parler sur, plutôt laisser faire les élèves ». _ Proposer un étayage de l’enseignant en situation.

Au coeur de l'activité mathématique

La résolution de problèmes doit trouver sa place tout au long de la séquence d’apprentissage.

Privilégier l’accompagnement des élèves pendant le temps de recherche individuelle : _ Accompagnement individuel : prendre le temps d’accompagner individuellement, et pas de différenciation avec 3 fiches différentes pour les élèves. _ Prise en charge d’un petit groupe d’élèves pour un travail spécifique : o Sur la compréhension (jouer le problème avec du matériel approprié, reformuler le problème, etc.) o Sur le contenu mathématique qui pose problème (numération, calcul, etc.).

La question de l'emploi du temps

10 problèmes par semaine

La question de l'emploi du temps

Comment organiser son enseignement pour proposer aux élèves de résoudre 10 problèmes par semaine ?

1) Calcul mental quotidien (4 problèmes dans la semaine)

2) En lien avec la notion travaillée du domaine « nombre et calcul » ou « grandeurs et mesures » (2 problèmes dans la semaine)

3) Choisir entre « Le problème du jour » et « L’atelier de résolution de problème » ou alterner ces 2 modalités (4 problèmes dans la semaine)

Choisir entre le problème du jour ou l'atelier de résolution de problèmes

Le problème du jour

L'atelier de résolution de problèmes

Un problème est proposé par écrit individuellement aux élèves

La séance de mathématiques est entièrement dédiée à la résolution de problèmes.

OU

Préconisation 3 :

Proposer 10 problèmes par semaine

Concevoir un emploi du temps permettant de s’assurer que les élèves seront amenés à résoudre chaque semaine une dizaine de problèmes.

En résumé... questionner sa pratique

En utilisant - pourquoi pas en équipe - la grille d'analyse ci-dessous:

Merci !

Une feuille avec environ 6 problèmes (de difficulté croissante) est distribuée aux élèves qui les font dans l’ordre sans lever la main. L’enseignant circule parmi « tous » les élèves pour valider le travail (moins de 10 sec) ou pour apporter une aide individualisée (pas plus d’1 minute). L’enseignant s’assure que tous les élèves ont résolu par exemple les 2 premiers problèmes. La mise en commun pourrait ne concerner que les problèmes 3 et 4. L’enseignant fera un retour écrit sur les problèmes 5 et 6 pour les élèves qui les ont traités.

Les catégories de Catherine Houdement

Problèmes élémentaires/basiques (« one step problems ») : sans information superflue, avec syntaxe simple.Exemple : Je fais un collier : je mets 3 perles jaunes et 2 bleues. Combien a-t-il de perles en tout ? Problèmes complexes : Problèmes à plusieurs étapes c’est-à-dire un composé de problèmes basiques « cachés »…. que l’élève doit dénicherExemple : Je fais un collier : je mets 3 perles jaunes et 2 bleues. Mon copain en ajoute 1 rouge. Combien y a-t-il de perles en tout sur son collier ? Problèmes atypiques : Problèmes qui n’ont pas de modèle mathématique identifiable, pour lesquels il faut inventer une solution. Faire preuve de stratégie et de flexibilité de raisonnement, persévérance et confiance en soi.Exemple : J’ai des cubes bleus, jaunes, verts et rouges. Quelles tours de 4 cubes puis-je construire avec ces 4 couleurs ?

Jour 1 : Entrainement Un problème est proposé pour revoir une catégorie de problème travaillée la semaine précédente. Lors de la mise en commun, l’enseignant veillera à montrer en quoi ce problème est similaire au problème de référence. On accroche au tableau l’affiche présentant la résolution du problème de référence pour se rendre compte que le problème se modélise avec le même schéma. Jour 2 : Rebrassage Un problème est proposé parmi toutes les catégories de problèmes déjà travaillées. Jour 3 : Problème à étapes Jour 4 : Activités variées Inventer une question, inventer un énoncé à partir d’une contrainte, inventer un énoncé correspondant à un schéma …